壹、從知識到教材:簡單來說。
1.掌握知識
在小學數學教學中，教師要想思路清晰、目標明確地掌握這部分教材，就必須完整地學習概率知識，理清邏輯順序，梳理知識結構，理解基本概念。老師們不妨參考江蘇教育出版社出版的高中標準實驗教材《數學三(必修)》第七章。本文摘錄部分內容並參考相關資料，整理為以下兩部分:
表1:隨機事件的相關概念
概述
壓力
決定性現象
在壹定條件下必須發生或不能發生的現象。
隨機現象
在現實世界中，給定的條件下，重復同樣的實驗，有些現象有時會發生，有時不會發生。它有兩個特點:①在壹次實驗和觀察中，這種現象的發生是不確定的、無規律的、不可預測的；②在大量的實驗和反復的觀察中，總體來說，這種現象的發生呈現出壹種非偶然的規律性，即具有統計規律性。這些現象被稱為隨機現象。
事件
事件是指在壹定條件下的某種結果。結果與某些條件相對應。在壹組基本條件下，事件根據結果發生與否可分為三類:不可避免的事件稱為必然事件；結果不可能的事情叫做不可能的事件；結果可能發生也可能不發生的事情叫做隨機事件。
隨機事件
隨機事件有兩個特點:①可以在相同的條件下重復進行大量的實驗或觀察；②每壹次實驗或觀察的結果不壹定相同，無法預測下壹次實驗或觀察會是什麽。
隨機實驗
隨機試驗具有以下特點:①在相同條件下可重復；②測試的結果可能不止壹種，但所有的結果都可以事先明確；③每次測試前，無法預測會出現哪種結果。
表2:隨機事件概率的相關概念
概述
壓力
頻率
對於事件A，如果事件A在n次試驗中發生的次數為m，則m稱為事件A在這n次試驗中的頻率。
頻率F0(A)
F0(A)= n個實驗室中事件A的頻率。
頻率穩定度
在大量的實驗中，事件A的頻率總是隨著實驗次數的增加而在壹個恒定值附近擺動。這種規律性叫做頻率穩定度，這個恒定值就是概率。
概率P(A)
能代表隨機事件發生概率的數稱為隨機事件概率4，記為戶(A)。不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1，隨機事件的概率是0到1之間的某個數。在經典概率模型中，當實驗有n個結果，且每個結果的可能性相反時，如果事件有m個可能的結果，那麽概率F(A)=。
從上面可以看出:
(1)客觀世界中存在著大量的必然和隨機現象。人們在實踐中經常會遇到各種隨機現象，所以我們需要從大量的偶然性中找出規律性和必然性。概率的研究對象是分析隨機現象的可能結果，研究事故中所包含的規律性和必然性。
(2)概率的描述性統計定義可以理解為:在壹組不變的條件S下，重復n次實驗，m是事件A在n次實驗中發生的次數。當實驗次數n較大時，如果頻率穩定在某個值p，則p值稱為隨機事件A在條件集A下發生的概率，記為p (a) = p..
(3)“統計與概率”的內容是壹種“不確定數學”，與傳統的“確定性數學”有很大區別。概率知識研究的基礎主要是定義和假設。
2.掌握教材
通過比較這些概念的定義，仔細推敲，可以把握小學數學教材中概率知識教學的本質。下面是蘇教版教材的壹個例子。
(1)了解教材的編排特點。單從知識的角度來說，在小學教書的概率並不大。因此，根據課程標準的要求和學生的認知水平，教材分四次安排了第壹、二期的教學可能性知識。
高二上學期:《可能》。通過使用“碰球”、“轉盤”等遊戲活動，我們初步體會到有些事件是確定的，有些是不確定的。能描述壹些簡單事件的可能性，與同行交流。
初三上學期:《統計與可能性》。通過摸球實驗，我們知道壹個事件發生的可能性有大有小。
四年級上學期:“遊戲規則的公平性”。體驗事件的平等可能性和遊戲規則的公平性。
六年級上學期:《可能》。會用分數來表示壹些簡單事件的可能性；能夠設計出符合規定事件概率要求的遊戲方案；預測簡單事件的可能性，並說明妳的理由。
(2)了解教學內容的重點和難點。二年級上學期的教學內容是“可能性”，教學重點是在相同的實驗條件下體驗確定性和不確定性。教學難點是用恰當的語言正確描述壹些簡單事件的可能性。初三上學期的教學內容是《統計與可能性》，教學重點是在碰球測試中認識壹個事件的可能性；教學中的難點是通過觀察和分析觸球的次數(頻率)來推斷可能性相等和可能性大的結論。四年級上學期的教學內容是“遊戲規則的公平性”，教學重點是體驗遊戲規則的公平性。教學難點是通過均等的可能性讓學生理解公平，強調遊戲中輸贏的可能性是均等的，遊戲的結果是不可預測的，有贏有輸。六年級上學期的教學內容是“可能性”，教學重點和難點是聯系分數的意義，理解和學習用分數表示事件可能性的基本思想和方法，即理解和學習用分數表示事件的概率。
二、從問題到分析:追根溯源找原因
1.問題陳述
在平時的聽課和教研活動中，我發現小學數學“統計與概率”的教學存在以下問題:
高二上學期《可能性》教學中存在的問題有:(1)碰球試驗前，試驗要求不明確，不強調“試驗條件相同”(如攪拌均勻，隨意碰壹個，碰完放回去)；(2)教師錯誤地將漢語造句練習視為教學中的壹種不確定現象。例如，讓學生用“必須”、“可能”、“不可能”填空:我姐姐(必須)比我哥哥大，小明(可能)比小剛大。
初三上學期《統計與可能性》教學中存在的問題有:(1)試圖用有限的觸摸次數直觀地得出可能性相等或可能性大的結論；(2)接觸次數越多，接觸XX球越近，可能性相等的結論。
四年級上學期“遊戲規則的公平性”教學中存在的問題是:(1)用“猜-驗證”的方法證明遊戲規則公平或不公平；(2)用遊戲結果來說明遊戲規則是否公平。
六年級上學期教學《可能》中的問題有:(1)教師對頻率、頻率、頻率穩定性、概率等概念理解不清；(2)拋硬幣測試“正面朝上”和“反面朝上”的次數相等，則可能性為；(3)過於強調計算，忽略了概率的基本思想；(4)有問題的練習:比如①壹個籃球運動員隨意投籃，命中的可能性為；②將壹枚硬幣隨意拋40次，有多少次可能是正面朝上？頭可以擡起多少次？
2.原因分析
造成以上問題的主要原因是老師沒有很好的理解簡單的概率知識。下面筆者結合上面列舉的簡單概率知識點來分析以上問題。
高二上學期，“可能性”的教學重點是讓學生在隨機實驗(摸球)中經歷必然事件和隨機事件。隨機實驗的前提必須是在給定的條件下，也就是在壹組不變的條件S下，重復實驗n次，才能正確體驗隨機事件a的發生，所以在摸球之前，老師必須明確兩點:(1)球除了顏色(包括大小、質量、手感等)都是壹樣的。);(2)觸球前先攪拌，攪拌均勻(攪拌均勻是研究隨機事件，保證觸球測試公平性的前提)，然後隨意觸壹個球。觸球後，教師要指導學生結合操作，正確應用“可能”、“不可能”、“壹定”等詞語來描述觸球的結果。教師還要註意明確數學學習的內容和研究對象，不要把語文實踐中“可能”、“壹定”等詞語的使用與數學研究中的不確定現象混為壹談。比如讓學生用“壹定”、“可能”、“不可能”填空:姐姐(肯定)比弟弟大，小明(可能)比小剛大。小明和小剛的年齡是客觀數據，但因為我們不知道他們的年齡，所以可以在句子中用“可能”這個詞填空。不能因為壹個句子中出現了“壹定”、“可能”、“不可能”等詞語，就認為這個句子屬於數學“可能性”的研究範疇。因此，教師應該正確理解教學內容。在實際教學中，他們不應該設計這樣的問題和學生的“思維”，而應該根據學生的實際水平來設計可以判斷的不確定的或隨機的現象，比如“隨意找兩個自然數，它們的和可能是偶數，也可能是單數”。
第三學期的“碰球”，第四學期的“遊戲規則的公平性”，第六學期的“拋硬幣”等教學內容都涉及隨機實驗。對於這些隨機實驗的條件和結果，教師要註意根據學生的認知水平和教學需要進行引導和解釋。但在實際教學中，由於缺乏知識準備和對隨機實驗的深入體驗和深刻理解，壹些老師往往下意識地對測試結果抱有壹些錯誤的希望，比如“摸XX球，摸夠次數XX球和XX球就相等”、“摸夠次數XX球和XX球就小”、“摸的次數越多，XX球和XX球的差別就越小”、“公平”。有些老師試圖用概率的統計意義(即用頻率估計概率的方法)來引導學生通過“猜-驗證”來理解可能性，或者證明設計的遊戲規則是否公平。這是不合適的。
因此，當課堂上有限次數的實驗結果不符合老師們的虛假希望——比如學生發現觸摸XX球和XX球的次數相差很大，或者遊戲的實際結果有時遠高於平均次數，有時輸和贏的次數並不接近——老師們無法做出正確的解釋，無法從實驗結果中證明遊戲規則的公平性，於是選擇忽略課堂測試數據。出示大量課前準備的反復實驗後的數據，匆忙得出結論:摸球次數越多(拋硬幣)，摸紅球和黃球越近(正面和反面)。
根據定義，壹個隨機事件的發生既有隨機性(針對單個實驗)，又有統計規律性(針對大量重復實驗)，是偶然性和必然性的統壹。隨機事件的統計規律如下:隨機事件的頻率，即該事件發生的次數(頻率)與總實驗次數的比值，是穩定的，總是圍繞壹個常數擺動(概率論中的“頻率圍繞壹個常數擺動”和“頻率在概率上穩定”與壹般意義上的不同。壹般來說，隨機實驗次數越多，頻率與概率偏離越大的可能性越小。這個常數叫做隨機事件的概率。結合上面提到的隨機實驗的特點，筆者發現造成上述現象的原因是教師往往忽略了以下三點:在隨機實驗中，每次實驗前，(1)結果是不可預測的，無法說會出現哪種結果，但每次實驗後，實際結果是客觀存在的，如果進行大量重復實驗，實際結果具有統計規律性；(2)只有觀察大量隨機實驗的結果，排除壹些罕見現象，才能抽象出統計規律性；(3)實驗得到的頻率只是概率的壹個估計，通常需要大量的實驗才能得到更高的概率的近似估計，在有限的課堂時間內不容易做到。而且在概率論中，“等可能性”是壹個公認的未定義概念，其作用和地位類似於幾何學中的“點”和“線”。雖然沒有定義，但在此基礎上可以建立邏輯兼容的理論。只有通過經驗，人們才能決定任何實際事件是否符合理論。所以“等可能性”可以從概率的經典定義的角度來理解——因為投擲的結果只有兩種可能性，而兩種結果的可能性是相等的，所以這個隨機事件的概率是，但無法通過實驗和遊戲來驗證和證明；實驗和遊戲可以讓學生體驗到可能性和隨機性的辯證統壹，培養學生的隨機思維。課堂上引入隨機實驗，既不是為了讓學生得到相等的結果，也不是為了驗證和證明規則的公平性，更不是為了通過實驗得到概率的估計值，而是希望學生在進行隨機實驗和收集數據的過程中，進壹步體驗隨機思想、感受和理解的可能性。
另外，人教版教材訓練和蘇教版教學參考中都提供了“隨著實驗次數的增加，硬幣正面朝上的數量和硬幣反面朝上的數量會越來越接近”的說法。雖然這是嚴格意義上的不科學的說法，但由於小學生認知水平的限制，學生很容易理解。教師在引導學生理解可能性的時候，要註意引導學生在分析比較數據的過程中參考實驗的總次數，滲透頻率是壹個相對數據的意識，不要打亂這個概念；避免學生使用絕對數據(如差值)進行比較。當然，有壹個結論是錯誤的:在這樣的口袋裏，如果妳隨意摸壹個球，摸多次，摸到紅球的可能性和摸到黃球的可能性幾乎是壹樣的。正確的說法可以是:包裏有三個紅色的球和三個黃色的球。壹次摸壹個，摸多次，摸紅球和黃球的次數差不多；在這樣的口袋裏，隨便摸壹個球，都同樣有可能摸到壹個紅球和壹個黃球。
在六年級上學期的例題和習題教學中，不僅要教給學生計算概率的正確方法，還要註意引導學生理解概率的意義。如果妳擲出壹個骰子，骰子的六個面分別是1、2、3、4、5、6，老師要引導學生明白，擲出的結果只有六種可能性，而這六種結果的可能性是相等的，所以數字1的可能性是；因為1，3，5都是奇數，每個數的可能性分別是，所以奇數的可能性是三，也就是；因為有三個奇數和三個偶數，所以奇數或偶數的可能性為零。再比如，前述問題(4)中的練習①，由於籃球投籃的條件無法控制，不能定義為隨機測試，所以“籃球運動員投籃壹次，兩次結果‘命中’或‘未中’的可能性相等，P(命中)=P(未中)=”的說法是不正確的；練習②老師要明白的是，無論拋多少次硬幣，正面朝上的概率都是0，但拋40次硬幣的次數可能是0-40次中的任意壹次，這反映的是隨機事件的隨機性，而不是統計規律性。
三、從反思到探索:獨辟蹊徑的探索策略
1.調整教材編排體系，理解“可能性”
聽過很多老師教的“可能性”這壹課，也研究過很多“可能性”的教學設計。但是有壹個問題壹直沒有解決，就是學生在開始實驗和分析數據之前，也就是在進行猜測的時候，對碰球、拋硬幣等隨機現象有了壹些體驗。然而，在分析實驗數據時，學生感到困惑，對自己的猜測產生懷疑。他們認為自己的猜測是對的，卻得不到與猜測相符的結果。怎麽會呢？筆者認為原因有二:壹方面，尋找隨機事件的統計規律需要大量的實驗，由於課堂實驗不多，很難從得到的數據中找到統計規律；另壹方面，學生的猜測可能是基於葫蘆畫瓢，他們可能會錯誤地認為“只要投擲硬幣壹定次數，正面或反面就會出現同樣多的次數，盡管現在沒有那麽多，因為扔得不夠多。”對於小學生(尤其是三年級學生)來說，認知水平和知識準備不足，很難理解隨機事件的偶然性和必然性，所以很可能老師講得越多，學生就越迷茫。基於以上意見，教材可以把簡單概率知識的教學放在第二期或以後，應該是簡單的:先知道確定現象和不確定現象，學完比的概念，知道相等和可能的可能性，知道用分數表示事件的可能性，最後學習遊戲規則的公平性。這種編排系統可能更適合學生的認知水平，有利於教師組織教學。
2.體驗實驗的活動過程，體驗“可能性”
小學生第壹次學習可能性時，由於可能性研究的是隨機事件偶然性中的必然規律，不經過隨機體驗過程，學生很難建立相關概念。通過隨機實驗、數據分析和結論推斷，讓學生體驗日常生活中大量不確定的現象，有些事情可能發生，有些事情可能不發生，通過分析這些現象找出規律；滲透隨機性和概率的思想。例如，當六年級的教學是“可能的”時，教學過程就可能按照這個線索來設計:
(1)合作實驗指導探索。
①預測試猜想
問題:隨意扔壹枚硬幣，猜猜會扔向哪邊？頭和尾朝上的可能性呢？
②學生分組測試，收集分析數據。
實驗壹:老師拋壹次硬幣。
體驗:事件的隨機性和結果的客觀存在性。
實驗二:平等分組，在相同的實驗條件下，每人嘗試拋硬幣兩次。
引起學生的懷疑，再次體驗事件的隨機性，引發認知沖突。我們的猜測正確嗎？怎麽才能猜測出自己的猜測是正確的呢？
實驗三:分成相等的組。在相同的實驗條件下，每組嘗試投擲硬幣40次。
收集數據，統計數據，計算比值，做折線統計圖。
指導學生看圖，初步體驗比例(頻率)會高壹點或低壹點，但基本會左右搖擺。
(2)正確推斷，理解概率
(1)出示科學家數據表，進行推論。
在展示了科學家的數據表，計算了比例之後，還做了折線統計圖。
進壹步認識到，隨著測試次數的增加，比率(頻率)將穩定在。
(2)結合意義，理解分數表達的可能性。
想想看，隨意拋硬幣的可能性有多大，正面朝上？
引導學生從某種意義上理解:投擲結果只有兩種可能，而這兩種結果的可能性是相等的，所以其中壹種的可能性是。
3.提高對概率的理解水平，理解“可能性”
我們常說:給學生壹杯水，老師要有壹桶水；給學生壹杯水，教師要有“源源不斷的流水”。客觀地說，很少有小學數學教師系統地學習過概率論的知識，但為了引導學生理解事件的隨機性、事件結果的必然性以及大量隨機現象中的統計規律性，教師必須深入學習這些知識。只有這樣，教師才能在概念清晰的前提下幫助學生理解可能性，及時發現並糾正學生片面、膚淺的理解，避免學生越說越糊塗的現象。因此，教師在教學過程中應註重以下幾點:
(1)試驗要求要明確，同等條件下要突出大量重復試驗。
(2)測試前不可能知道事件的結果，因為事件是隨機的；但實驗後的結果是確定的，同時由於課堂實驗數量少，學生也不容易看到統計規律。
(3)弄清頻率、頻度、概率等概念的含義，註意在教小學生的時候，語言描述可以通俗，不用專業術語，但要盡量準確，符合概念的定義。如描寫頻率:應該說出現的次數差不多；比如描述頻率:理解它是壹個比值，壹個概率的近似值，它總是圍繞壹個常數擺動；如描述概率:應該說可能性相等，可能性大，可能性小，可能性是什麽。
(4)等可能性是用“以部分推斷整體”的統計推斷方法從大量數據中抽象出來的，因此無法驗證。所以教學方法不應該是簡單的猜測-驗證，而是猜測-實驗-分析-推斷。
(5)正確處理課堂上的“壞”數據。實際上，隨機事件的統計規律應該排除“長系列正(負)臉連續出現”和“正(負)臉出現頻率偏差較大”的極端情況，因為這些情況在大量實驗中都會是小概率事件。但是學生沒有系統的概率知識，無法向他們解釋。當他們面對手中10或者40個實驗的亂七八糟的結果，找不到規律，思維就會遇到障礙。為了幫助學生跳出困境，充分利用已有的數據，在課堂上探索更多的實驗結果，找到規律，教師可以引導學生積累數據:10次，20次，40次，160次...然後聯系歷史上數學家的實驗數據，啟發他們以總投擲次數為“參考”，用相對的眼光觀察數據。組織學生體驗可能性更符合概率的思想。
(6)小學生知識準備不足，認知水平有待提高。所以小學概率知識的教學重在體驗和領悟，不要求理解深刻。教師在教學中永遠不要提高自己的要求。
“可能性”教學是新課程標準的核心內容。對於壹線教育工作者來說，需要不斷學習、實踐、反思、創新，才能熟練掌握這些知識，引導學生真正理解。文中觀點僅代表我們目前的思路，未必正確。小學數學的教材和教學方法既要考慮知識的科學性，又要考慮小學生的可接受性，這是壹個非常復雜的問題。寫這篇文章的目的是希望老師們能參與討論，提出意見，在實踐中創新。我相信，小學數學中“可能性”的教學，最終會“吹散黃沙，看見黃金”。