傅立葉級數，尤其是連續函數的傅立葉級數，是否壹定處處收斂？1876年，P . d . g . Dubois-Raymond首先發現存在壹個連續函數，其傅裏葉級數在某些點發散。後來證明了連續函數的傅立葉級數可以在無窮點集上處處發散。這壹否定結果的發現提醒人們對傅裏葉級數的收斂性要謹慎。進壹步的研究使G.H. Hardy和F. (F.) Rees建立了單位圓上H空間的理論。他們研究了單位圓內的有界解析函數F(z ),其中0
用傅裏葉級數描述函數類是傅裏葉分析中的壹個重要課題。著名的Pasheval公式和Reese-Fisher定理反映了函數類l(0，2π)的特征。若P≠2，則有如下豪斯多夫-楊定理。設1 < P≤2,p┡=p/(p-1)，若∈l(0，2π)和Cn為復傅立葉系數，則
另壹方面，如果{сn }(-∞< n & lt；；∞)是滿足的復序列，那麽{сn}壹定是函數in的傅立葉系數，並且。哈代和利特伍德的許多其他貢獻也應該在20世紀50年代以前的重要作品中提及。特別是在20世紀30年代，他們研究了具有極大函數的傅立葉級數，取得了深刻的成果。極大函數是壹個算子，它的定義是極大函數M ()(x)大於函數本身。用它來控制傅立葉分析中的某些算子，可以達到估計其他算子的目的。
20世紀50年代以前，傅立葉分析的研究領域基本局限於壹維的具體空間，20世紀50年代以後，研究逐漸擴展到多維的抽象空間。積分理論名稱:卡爾德龍-藏蒙奇異積分理論
由於偏微分方程等多個數學分支的發展，20世紀50年代出現了calderon-Zangger奇異積分理論，這標誌著調和分析進入了壹個新的歷史時期。例如，當∈l(Rn)時，泊松方程δ u =的基本解u(x)的二階導函數在壹定條件下(如Lipα連續性)可以表示為如下奇異積分。
сn是常數，只與維數n有關，積分(8)壹般發散為勒貝格積分；註意到ω j (y)在r的單位球面s上的積分為0，可以證明積分?在柯西主值意義下存在，且作為x的函數連續，所以u(x)是泊松方程的解。
Calderon和Zangmeng研究了壹類相當廣泛的奇異積分算子⑼的性質，其中ω (y)是具有壹定光滑性的零級齊次函數，並滿足條件。他們證明了該積分算子具有L有界性(p & gt1);利用這些性質，我們可以得到某個微分方程解的“先驗估計”。
H-空間理論的現代發展20世紀60年代，E.M. Stein和G. Weiss在上半空間中引入了H-空間，它是n=1的推廣。當n=1時，h(p & gt；0)空間R=(-∞，∞)中函數的邊值函數在L範數下幾乎處處存在。Stein和Weiss定義的多維空間顯然是壹維H (rì)空間的推廣。人們自然要問，經典h(R)空間中最基本的性質，比如邊值函數的存在性，在多維空間中是否還保留著？Stein和Weiss首先發現p & gt(n-1)/n，答案是肯定的；例如，他們證明了如果F∈，p & gt(n-1)/n，那麽它幾乎無處不在，並且在L範數意義下存在。在1964中，calderon和Zangemont用高階梯度的概念把H空間p & gt(n-1)/n被放寬到p & gt0，但是他們的方法比較復雜。隨著指數P的不同，當時H空間定義的壹致性並不明確。
在20世紀70年代早期，H空間的現代理論經歷了顯著的發展。在1971中，D.L. Berkhold，R.F. Gundy和M.L .銀色啤酒杯樂隊首先證明了F(x+iy)的實部的角極大函數是壹維情形的充要條件，
後來，c .費福曼和斯坦將上述特征推廣到多維，並進壹步指出當0
不叫傅裏葉級數(1)，叫傅裏葉變換。
傅裏葉級數(1)和傅裏葉積分(10)的具體形式不同，但都反映了壹個重要的事實，就是都把函數分解成許多分量e(-∞< z & lt；；∞)或e的和(n=0，1，2，…)。比如對於傅裏葉級數(1)，(x)分解為сne(n=0，1，2，…)的和；傅立葉積分⑽表明(x)可以分解成無窮個φ(z)e(-∞< z & lt；；∞)的“和”。系數сn(n=0，1，2，…)和с(z)(-∞< z & lt；；∞)，有相似之處。事實上，它們都可以用以下形式表示:
。⑾
當它是周期為2π的周期函數時，g = (0，2π)，
，測度是G=[0，2π]上的勒貝格測度，此時也就是傅立葉系數(4)；X (t) = (-∞)
將壹個函數分解成許多“特殊”函數之和的想法{e}激勵人們考慮更深刻的問題。其實從群的角度來看，無論是周期函數還是非周期函數，它們的定義域都是壹個拓撲群G，也就是說G有壹個代數運算叫做群運算，與之協調的極限運算叫做G拓撲。傅裏葉級數或傅裏葉積分的任務是研究定義在G上的函數(x)可以分解為壹個群上的許多“特殊”函數(如e或e)之和的可能性，並通過傅裏葉系數或傅裏葉變換研究其自身的性質。對於壹般拓撲群G，什麽樣的“特殊”函數等價於{e}或{e}?將這個“特殊”函數x(t)代入公式⑾，必須確定g上的測度μ才能得到傅立葉變換，這是建立群上的傅立葉分析理論必須解決的兩個基本問題。對於線性群R=(-∞，∞)，其“特殊”函數X(t)= E(-∞< X & lt；；∞)的特殊性在於它們滿足以下三個條件:①x(t+s)=x(t)x(s)，②|x(t)|=1，③x(t)是t的連續函數在群表示論的術語中，條件①、②、③的組合正好說明x(t)是群R的酉表示，可以進壹步證明滿足①、②、③的所有不可約酉表示都是{ e }(-∞< 1)；∞)。對於圓群T，所有的“特殊”函數xn(t)=e(n=0，1，2，...)除了① ~ ③之外還滿足條件④xn(2π)=1。從群表示論的觀點來看，條件① ~ ④的組合表明T的“特殊”函數就是群T的酉表示；此外，還可以證明T的所有不可約酉表示都恰好是{e|n=0，1，2，…}。這樣，在壹般抽象群G上尋找合適的“特殊”函數的問題就轉化為研究和尋找群G上所有不可約酉表示的問題，對於緊群或局部緊交換群，群表示理論的成果相當豐富，對相應“特殊”函數的研究也比較成熟。對於既不交換也不緊的拓撲群，尋找相應的“特殊”函數仍然是壹個難題。
研究拓撲群上的測度是建立群上傅立葉分析的另壹個基礎課題，因為群上的積分⑾離不開相應的測度。以可加局部緊拓撲群R=(-∞，∞)為例，經典勒貝格測度的主要特征是:①R中任意緊集的勒貝格測度必是有限的；②R中任意可測集的勒貝格測度相對於右(或左)平移不變。人們很自然地會問，壹般拓撲群中存在條件為①和②的測度(現在稱為Hal測度)嗎？如果存在，是唯壹的嗎？從1930開始，這個問題就被a .哈爾、a .魏和我.м討論過。蓋爾範德等人的努力已經證明，在局部緊拓撲群上，滿足條件①和②的Hal測度壹定存在，而且它們只相差幾倍。例如，所有以乘法運算為壹個群的正實數構成壹個拓撲群R，它的拓撲是歐氏空間的拓撲，那麽測度dμ=xdx就是R上的Hal測度.這是因為，對於任何壹個，
這表明測度dμ=xdx相對於位移是不變的。如果進壹步得到群R的所有不可約酉表示，則可以證明群R的所有不可約酉表示都是{x |-∞的
上式中的表達式“t”正是經典的所謂梅林變換M (x)，是由R.H .梅林在19末引入的，用來研究狄利克雷級數的相關性質。這個特例說明，對群的傅立葉分析不僅把梅林變換統壹到了傅立葉變換中，更重要的是群論的引入使得隱藏在壹些現象背後的內在聯系更加清晰深刻。A.Zygmund，三角級數，第2版。劍橋大學出版社，劍橋，1959。
E.M.Stein，奇異積分和函數的可微性，普林斯頓大學出版社，普林斯頓，1970。
G.M.Stein和G.Weiss,《歐幾裏得空間的傅立葉分析導論》,普林斯頓大學出版社，普林斯頓，1971。
E.Hewitt和K.A.Ross，抽象harmonicanalysvol . 1 ~ 2，施普林格出版社。柏林，1963.1970。