函數的概念最早是由德國數學家萊布尼茨在公元17世紀提出的。起初萊布尼茨用“函數”這個詞來表示冪，比如y=kx+b，都叫函數。後來，他用函數來表示直角坐標系中曲線上壹點的橫坐標和縱坐標。1718年，萊布尼茨的學生、瑞士數學家伯努利將函數定義為:“由壹個變量和壹個任意常數組合而成的量。”意思是任何由變量x和常數組成的公式都稱為x的函數，伯努利強調的是函數要用公式來表示。後來數學家覺得函數的概念不應該局限於公式。只要某些變量發生變化，其他變量也會隨之變化。至於這兩個變量之間的關系是否應該用公式來表示，並不是作為判斷函數的標準。1755年，瑞士數學家歐拉將函數定義為:“如果某些變量以某種方式依賴於其他變量，即當後者變量發生變化時，前者變量也發生變化，我們稱前者變量為後者變量的函數。”在歐拉的定義中，並沒有強調函數要用公式來表示。因為函數不壹定要用公式表示，歐拉曾經把在坐標系中畫的曲線叫做函數。他認為:“函數是壹條隨意畫出的曲線。”當時有些數學家不習慣不用公式表達函數，有些數學家甚至持懷疑態度。他們把能用公式表達的函數稱為“真函數”，把不能用公式表達的函數稱為“假函數”。在1821中，法國數學家柯西給出了壹個類似於現行中學課本的函數定義:“某些變量之間存在壹定的關系。當給定壹個變量的值，並用它可以確定其他變量的值時，初始變量稱為自變量，其他變量稱為函數。”在柯西的定義中，自變量壹詞首次出現。1834年，俄國數學家羅巴切夫斯基進壹步提出了函數的定義:“X的函數是對每個X都有壹定值並隨X變化的數..函數值可以由壹個解析式或壹個條件給出，提供了壹種尋找所有對應值的方法。函數的這種依賴性是可以存在的，只是現在還不得而知。”這個定義指出了對應關系(條件)的必要性，通過對應關系可以得到每個x的對應值。1837年，德國數學家狄利克雷認為如何建立X和Y的對應關系是無關緊要的，所以他的定義是:“如果對於X的每壹個值，Y總有壹個完全確定的值與之對應，那麽Y是X的函數”，這個定義抓住了概念的本質屬性。變量Y叫做X的函數，只需要有壹個規則，使得這個函數的值域中的每壹個值都有壹個確定的Y值與之對應，不管這個規則是公式還是圖像還是表格或者其他形式。這個定義比以前的定義更具有普適性，為理論研究和實際應用提供了方便。所以這個定義壹直沿用了很久。自從德國數學家康托的集合論被大家接受後，現在在高中課本上用集合對應來定義函數的概念。中國數學書上用的“函數”壹詞是譯名。是清代代數學家李在翻譯《代數》(1895)壹書時，將“函數”譯為“函數”。在中國古代，“信”字和“含”字是通用的，都有“含”的意思。李對的定義是:“每壹個公式都包含天道，是天道的壹個函數。”中國古代用天、地、人、物四個字來代表四種不同的未知或變量。這個定義的含義是:“每當壹個公式包含變量X時，這個公式就稱為X的函數”，所以“函數”是指公式包含變量。我們可以預言，函數的爭論、研究、發展和延伸不會結束，正是這些影響著數學及其相鄰學科的發展。
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