康托爾的答案是所謂的壹壹對應，即兩個集合的元素壹壹排列——如果能做到，兩個集合的基數自然是壹樣的。同樣的方法可以用來比較任意集合的大小，包括無限集合。
要考慮的第壹個無窮集是自然數集N = {1，2，3，...}及其無限子集。他把所有對應於n個能量的集合都看作是可數集合。n的所有無限子集都可以與n壹壹對應。他稱n的基數(讀作Alev zero，Alef是希伯來語的第壹個字母)，這是最少超限的基數。
康托發現原有理數集和代數數集也是可數的。於是在1874開頭，他試圖證明是否所有的無限集合都是可數的，後來他得出了著名的對角論證:實數集合是不可數的。實數集的基數，記為，代表連續統。
然後康托爾構造了壹個更大的集合，得到了壹個更大的基數，但是這些龐大集合的元素無法如實寫出。因此，壹般的基數理論需要壹種新的語言描述，這也是康托爾發明集合論的主要原因。
康托爾接著提出了連續統假說:它是第二個超差數，也就是下壹個最小的基數。許多年後，數學家發現這個假設無法被證明，即接受或否定它會導致兩套不同但邏輯上可行的公理集合論。