(a)每壹個≥6的偶數都可以表示為兩個奇素數之和；
(b)每壹個≥9的奇數都可以表示為三個奇素數之和。
顯然，命題(b)是(a)的推論。因為任何壹個奇數，比如減去壹個奇素數，當然是偶數。如果此時命題(a)可以被證明，當然命題(b)也會被證明。但是，這兩個問題是不可逆的。命題(b)20世紀30年代，前蘇聯科學家伊維諾格拉多夫創造了壹系列估計指標和重要方法，使他能夠在1937中間接證明命題(b)。
在1930中，倪慧·勒曼證明了每壹個自然數都可以表示為不超過k個素數的和，其中k是壹個固定的自然數。壹開始設定K = 2+1010，很快就降為K = 69。利用密度法得到的最好結果是k = 18，即每壹個自然數都可以表示為≤18個素數之和。這裏提到的每壹個自然數都不是足夠大的自然數。這是密度法的獨特優勢，其他方法(圈法、篩法)只能對足夠大的自然數下結論。
1937年，前蘇聯數學家維納·格拉德夫用圓法證明了每壹個足夠大的奇素數都等於三個素數之和。後來證明這裏的“足夠大”可以換成“> > eC16 038”。這個數字超過400萬，是壹個非常龐大的數字。現在這個常數已經大大減少了，但仍然是壹個相當大的數字。
在長達240多年的漫長歲月中，有人對哥德巴赫猜想做了大量的考證工作。有人查過偶數x≤5×188，即X在5億以內，哥德巴赫猜想是正確的。
這期間甚至有人想到了壹些方法，比如對折法。他們把自然數和壹把長梳子上的齒相比較，先把代表復數的齒全部掰掉，剩下的當然是質數。然後把同樣的梳子倒過來。如果梳子上的原始齒數是偶數X，1將面對X-1，3將面對X-3...P會面對X-P，(1 ≤ P ≤ X-1)。因為當x較大時，無法證明是否存在齒對齒的情況，所以問題沒有解決。
這種方法的缺點是代表復數的所有齒先被折斷。因為素數的存在是弱附著在更小的素數及其倍數的合數上的，而且這種微弱的痕跡也被斷掉了。而這個問題是不能用概率來解決的，因為素數不是壹個正常的分析，而是壹個確定的問題。於是他們把x設為某個值，然後每兩顆牙錯位。這樣壹來，壹個有限的問題想要試圖解決壹個無限的問題當然是極其困難的。盡管如此，有些人仍在努力攀登。所以後來他們把大於某個大數的偶數(比如K0 = E49c)叫做大偶數，然後把任意壹個大偶數n (n > K0)寫成自然數N1和N2之和，即n = N1+N2。N1和N2的素數分別不超過S和T。所以縮寫為(s，t)或寫為加引號的加法:“s+t”。這時N1和N2可以稱為幾乎(近)質數，然後S和t的值逐漸減小。如果S和T都計算到1，那麽將證明當5× 108 < n ≤ E49c時，(1，1)成立。這樣就解決了(1，1)問題。但是，至今沒有最終的解決方案。當前世界獲得的排名結果如下。
(s，t)年齡結果冠軍國家(9，9)1920布勞恩挪威(7，7)1924 Leitmahurd (6，6)1932伊士曼英(5，7)，(4，9) 1922。5)1938布赫維茨，前蘇聯(4，4) 1940布赫維茨(1，C很大)1948雷尼洪(3，4) 1956王元忠(3，3)。5)1962潘承東[3]巴爾巴恩[4]前蘇聯(1，4) 1962王元(1，4) 1963潘承東[3]巴爾巴恩(1，3壹般猜測:
g(k)= 2k+(x)k」-2(1)
其中[x]代表x的整數部分。
在眾多數學家的努力下，(1)除K = 4外都得到了證明，其中G (5) = 37由中國科學家陳景潤在1964中證明。
對於k = 4，已經證明:
19≤g(4)≤21，
而當n < 10310或n > 101409時，n可以表示為19的四次冪之和。這接近預期目標G (4) = 19。
還發現當自然數足夠大時，可以表示為G(k)次冪之和，其中G(k)≤g(k)。其實g(k)比G(k)小很多(k大的時候)。目前已知的只有G (2) = 4和G (4) = 19。估計G(k)是壹個非常困難的問題。