壹.數學模型
所謂數學模型，就是為了特定的目的，對現實世界中的特定對象進行壹些必要的描述和假設，然後運用適當的數學工具而得到的數學結構。它既可以解釋特定現象的實際形式，也可以預測對象的未來情況，還可以提供處理對象的最優決策或控制。地下水數學模型是運用數學語言和工具對水文地質條件和水資源信息進行概括、轉化和歸納的結果。數學模型經過演繹推理，給出數學分析、預測、決策或控制，解釋後再回歸實際應用。最後，經過實踐檢驗，如果結果正確或基本正確，就可以用來指導實踐；否則要重新考慮概括歸納的過程，修改數學模型，如圖15-1。
圖15-1水文地質問題與數學模型的關系
從目前的實際應用來看，地下水數學模型可分為三類，即解析模型、數值模型和多元統計模型。解析模型由描述地下水流的微分方程的各種解析解組成，如泰斯公式、秋布依公式等。該解析模型僅適用於含水層相對均勻、幾何形狀簡單、範圍小、源匯項簡單的地下水流問題。在建立地下水分析模型時，通常用壹個具有直線邊界、有效寬度、厚度和長度的“模型含水層”來模擬研究區的地下水條件。模型的解是利用具有平均水力性質的理想含水層，根據鏡像理論和壹定的地下水流方程得到的。
對於不適合解析模型的復雜條件，可以利用數值模型建立相應的偏微分方程，得到數值解。為了建立數值模型，需要將參數連續的含水層系統離散成若幹個細分單元，並對時間變量進行均等離散。然後利用有限差分原理、有限元原理或邊界元原理形成壹組線性代數方程組。然後，借助於數字計算機，對這組線性代數方程組進行數值求解。根據建立方程的原理不同，可以產生有限差分法、有限元法、邊界元法等不同的數值模型。
由於地下水系統是壹個多變量系統，壹些多元統計模型也可以用來解決地下水流問題。利用多元統計分析方法處理各種水文地質觀測數據，評價地下水的某些特征或規律，預測和探索地下水化學成分的分布和變化規律等。，可以得到壹定的定量信息。例如，多元回歸分析可以定量地建立地下水系統中壹個變量與另壹個變量或幾個變量之間的數學關系表達式，從而研究變量之間的制約關系和相關性，進行評價和預測。再比如，因子分析模型或對應分析模型，就是將地下水系統中的壹些復雜因素，通過某種內在聯系，歸結為少數幾個綜合因素，然後分析地下水樣本與變量之間的分布和成因關系，得出規律性的信息。隨著科學技術的發展，近年來出現了壹些新的地下水多元分析模型，如時間序列模型和灰色系統模型。它們都在地下水管理過程中發揮了積極的作用。
二、地下水數學模型的建立及應用
建立數學模型的步驟沒有壹定的模式，但壹般有以下過程。
首先要了解和掌握現場水文地質條件、各種現象、信息和統計數據，明確建立模型的目的和要解決的實際問題；然後對具體的水文地質條件進行概化，建立水文地質概念模型。這個過程是建立模型的關鍵，不同的概括會導致不同的模型。如果泛化不合理或過於簡單，會導致模型失效或部分失效；如果概括得太細，試圖把復雜的實際現象的所有因素都考慮進去，可能很難甚至無法繼續下壹步的工作。因此，在這壹階段，要求建模者具有豐富的水文地質理論和實踐經驗，以便區分問題的主要因素和次要因素，並試圖將問題均質化和線性化。
水文地質概念模型建立後，利用適當的數學工具建立各種量(常數和變量)之間的關系，如利用偏微分方程來描述地下水的運動。這是建立模型的第二步。這項工作往往需要廣泛的數學知識，如微積分，微分方程，線性代數，概率統計和規劃理論。
第三步是模型求解和參數識別。在應用模型之前，應該對建立的模型進行驗證。這對於模型的成敗也是非常重要的。在水資源研究中，在利用地下水模型進行評價和預測之前，必須利用地下水的歷史數據對地下水模型的可靠性和可信度進行模擬和驗證。
因為地下水系統的響應是由系統外的脈沖激發產生的，對於地下水數量模型來說，響應是地下水位，脈沖是地下水補給或開采。因此，系統對歷史上脈沖的響應也反映在系統的歷史水位數據中。如果地下水模型能夠很好地模擬地下水系統的原型，那麽模型應該能夠再現歷史地下水位及其變化，這是模型驗證思想的基本出發點。
對於地下水模型的驗證，根據野外和室內試驗結果及區域水文地質調查資料，給出壹系列水文地質參數的上下限範圍值，利用壹組系統的最佳參數初始值，確定系統對外界脈沖隨時間的響應。這種響應的結果就是系統狀態變量的計算值，可以表示為地下水位或水中鹽濃度的變化。然後，將計算值與系統的已知歷史數據進行比較。如果數據整理和建模工作更加準確和完整，模型在第壹次運算中會得到更好的擬合結果。但模型與實體存在壹定差異，需要對模型系數(如蓄水系數、導水系數、入滲率、彌散和彌散系數等)進行合理調整。)，並通過計算機重新計算，然後將計算值與歷史數據進行比較。在參數的限度內，這種調整和擬合過程經常重復，直到計算結果與歷史數據很好地擬合。這裏的“適配”壹般有兩層意思:壹是指觀測井之間的適配；第二，系統的整體流場得到了很好的擬合。實踐證明，過分強調模型的最終“擬合”而忽視水文地質概念模型失真的檢驗是不正確的。記住張伯倫在這方面的警告是非常重要的。他說:“數學分析的嚴謹給人深刻的印象，給人精確細致的感覺，但這不應該使我們對制約整個過程的前提的缺陷視而不見。建立在不可靠前提上的壹絲不茍的數學過程，大概比其他任何欺騙手段都更加隱蔽和危險。”
壹旦地下水模型得到校正和驗證，就可以用於評價和預測。通過研究地下水系統對各種輸入的響應規律，可以合理、全面地評價不同的地下水管理方案。通過耦合地下水模型和優化模型，我們可以對每個地下水管理方案進行綜合的經濟、生態和環境評價。因此，利用模型技術，不僅可以選擇技術經濟最優的管理方案，還可以滿足系統的各種約束條件。
在水文地質學中，數學模型技術起著非常重要的作用，使用的數學模型有很多種，如本書前面提到的解析模型和數值模型，此外還有利用隨機數學理論和最優化理論建立的模型。因為模型種類繁多，這裏只介紹幾種模型方法。