1）
構造函數：y=arctanx+arctan(1/x)
其定義域為：x>0
在任意其定義域區間（b,a）a>b>0，顯然該函數滿足拉格朗日中值定理，因此：
ξ∈(b,a)，則：[f(a)-f(b)]/(a-b)
= f'(ξ)
= 1/(1+ξ?) + 1/[1+(1/ξ)?] * (-1/ξ?)
=0
即：
f(a)=f(b)
上式表明該函數在任意定義域內都有f(a)=f(b)，因此：
函數f(x)是常數函數
令a=1，則：
f(1)=π/2
∴arctanx+arctan(1/x) =π/2
2)
構造函數：y=arctanx - (1/2)arccos[2x/(1+x?)]
其定義域：x≥1
顯然在定義域的任何區間內，該函數滿足拉格朗日中值定理，因此：
對於定義域內任意區間(b,a)，?ξ∈(b,a)，則：
[f(a)-f(b)]/(a-b)
= f'(ξ)
= 1/(1+ξ?) -(1/2)/√{1-[2ξ/(1+ξ?)]?} · {[2(1+ξ?)-4ξ?]/(1+ξ?)?}
=0
即：
f(a)=f(b)
上式表明該函數在任意定義域內都有f(a)=f(b)，因此：
函數f(x)是常數函數
令a=1，則：
f(1)=π/4
∴arctanx - (1/2)arccos[2x/(1+x?)]=π/4