最小平方反濾波是地震勘探中用得最廣的壹種反濾波。
1.基本原理
最小平方反濾波是最小平方濾波（或稱維納濾波、最佳濾波）在反濾波領域中的應用。
最小平方濾波的基本思想在於設計壹個濾波算子，用它把輸入信號轉換為與給定的期望輸出信號在最小平方誤差的意義下最佳接近的輸出。
設輸入信號為x（t），它與待求的濾波因子h（t）相褶積得到實際輸出y（t），即y（t）＝x（t）*h（t）。由於種種原因，實際輸出y（t）不可能與預先給定的期望輸出 完全壹樣，只能要求二者最佳地接近。判斷是否最佳接近的標準很多，最小平方誤差準則是其中之壹，即當二者的誤差平方和為最小時，則意味著二者最佳地接近。在這個意義下求出濾波因子h（t）所進行的濾波即為最小平方濾波。
若設計壹濾波器a（t），當輸入信號x（t）是某個濾波器的輸出，而其期望輸出 又是該濾波器的輸入，則按此思想求得的濾波因子a（t）稱為最小平方反濾波因子，用它進行的濾波是最小平方反濾波。
2.基本方程
地震勘探反濾波“反”的是大地濾波。大地濾波器的脈沖響應是地震子波，它必為物理可實現的。將地震子波作為反濾波的輸入，則期望輸出應是δ脈沖。為了不失壹般性，可以先假設期望輸出是窄脈沖d（t）。另外，反濾波因子壹般是無限長的，但用計算機運算時只能取有限項。假設待求的反濾波因子a（t）的起始時刻為-m0，延續長度為（m＋1），即
a（t）＝（a（-m0），a（-m0＋1），a（-m0＋2），…，a（-m0＋m））
已知輸入（地震子波）為
b（t）＝（b（0），b（1），b（2），…，b（n））
則實際輸出為
地震波場與地震勘探
實際輸出與期望輸出的誤差平方和為
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要使Q為最小，數學上就是求Q的極值問題，即求滿足
地震波場與地震勘探
的濾波因子a（t）
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因為
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為地震子波的自相關函數，而
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為地震子波與期望輸出的互相關函數，故（4-3-5）式可寫為
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這是壹個方程組，寫成矩陣形式為
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式中利用了自相關函數的對稱性。該方程中，系數矩陣為壹種特殊的正定矩陣（托布裏茲矩陣），它以主對角線為對稱，也以次對角線為對稱，主對角線及與主對角線平行的直線上的元素均相同。
方程（4-3-6）式或（4-3-7）式稱為最小平方反濾波的基本方程、正規方程或法方程，可以用專門的萊文森遞推法求解。
利用上述基本方程求出的濾波因子有時稱為脈沖整形濾波因子，因為在應用中它可以將輸入子波變換為任意形狀的期望輸出，相當於對子波進行整形。
不難發現方程（4-3-6）式的左邊為褶積運算，因此方程可改寫為
a（t）*rbb（t）＝rbd（t）
轉換到頻率域，有
A（ω）Rbb（ω）＝Rbd（ω）
即
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說明這種最佳脈沖整形濾波器也可以將輸入子波的自相關函數變換為子波與給定期望輸出的互相關函數。
若希望輸出是δ脈沖，則互相關為
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基本方程（4-3-7）變為
地震波場與地震勘探
由方程（4-3-9）可以看出，只要事先知道大地濾波器的脈沖響應即地震子波b（t），求出其自相關函數rbb （t），代入此方程求解即可得到反濾波因子a（t），用它與地震記錄褶積可得到：
a（t）*x（t）＝a（t）*b（t）*R（t）≈R（t） （4-3-10）
即反濾波結果接近於理想地震記錄（反射系數序列），因而大大提高了縱向分辨率。
值得指出的是，m0 的選取與地震子波b（t）的性質有很大關系。地震子波不外乎如圖4-3-4所示的三種情況［ （a），（b），（c）］。
A.b（t）是最小相位子波，其Z變換B（Z）的零點必然全部在單位圓外，也即反濾波因子a（t）的Z變換A（Z）＝1/B（Z）的分母多項式的零點全在單位圓外，故a（t）是穩定的、物理可實現的。當t ＜ 0時a（t）的值全部為零，因此，取m0＝0，方程（4-3-9）右邊自由項只有第壹項有值，即
圖4-3-4 三種類型地震子波及相應的反濾波因子
（a） （b） （c）說明見正文
地震波場與地震勘探
B.b（t）是最大相位子波，其Z變換B（Z）的零點必然全部在單位圓內，也即反濾波因子a（t）的Z變換A（Z）＝1/B（Z）的分母多項式的零點全在單位圓內，故a（t）是穩定的、物理不可實現的。其主要部分在t的負向上，a（t）只有在-（m＋n）到-n時刻的值不為零，因此取m0＝m＋n；又因為在t＞n時b（t）＝0，故有
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C.比較麻煩的是b（t）為混合相位子波時，a（t）是物理不可實現的，但其主要部分在何處要視具體子波形狀而定，可以假設a（t）只有在-m1 到m2 時刻的值不為零，因此，有：
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3.子波未知情況下的基本方程
雖然有了上述基本方程，但問題仍沒有解決，因為地震子波即大地濾波器的濾波因子往往事先並不知道，故仍然無法利用上述方程求解反濾波因子。
為了在未知子波的情況下求出反濾波因子，必須對地震子波及反射系數序列加上壹定的限制或稱假設條件，它們包括：
A.假設反射系數序列R （t）是隨機的白噪序列，即其自相關為
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B.假設地震子波是最小相位的。
根據假設A，地震子波的自相關可以用地震記錄的自相關代替，因為
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根據假設B，前面已經討論，可知反濾波因子是穩定的、物理可實現的，基本方程變為（4-3-11）式。此時，令a′（t）＝a（t）/b（0），結合假設A，則基本方程變為
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這就是地震勘探中常用的未知子波情況下求取反濾波因子的基本方程，其系數矩陣中各元素可以直接由地震記錄求得。求出的反濾波因子a′（t）僅與a（t）相差常數倍，不影響壓縮子波、提高分辨率的反濾波作用。通常也稱之為尖脈沖化反濾波。
4.解基本方程的預白噪化問題
直接求解上述基本方程效果往往不好，求得的反濾波因子收斂很慢，振蕩激烈。究其原因，是因為地震子波的頻譜中存在有零值或接近零的值，由（4-3-3）式可以看出，此時A（Z）趨於無窮大，當然不可能穩定。
為了解決反濾波因子收斂慢或不穩定的問題，可以將壹小白噪加入到地震子波或輸入道的頻譜中，相當於在地震子波或輸入道的零延遲自相關上加壹個穩定的常數λ，也即在托布裏茲矩陣的主對角線上用（1＋λ）rbb（0）代替rbb（0），或（1＋λ）rgg（0）代替rgg（0）。這種處理方法稱為預白噪化。λ壹般是壹個很小的正數，叫做白噪系數，可根據記錄中的噪聲水平人為的調節。
預白噪化後，雖然可以使反濾波因子收斂得快，但反濾波的效果會受到影響，反濾波結果會在尖脈沖（極大壓縮後的地震子波）後面跟上壹個小的擺動，小擺動的出現降低了分辨率。λ取得越大，影響越大。