數論的終結和壹種全新的數論純理論研究方法的正式開始，把數論的研究提高到了壹個新的高度，所以壹般認為1801是歷史上現代數論的誕生年。
高斯曾把數論描述為“壹個倉庫，儲存著取之不盡、能引起人們興趣的真理”。
數論是壹門高度抽象的數學學科，其發展處於純理論研究狀態，大多數人並不清楚其實際意義。數論始於對整數的研究，稱為整數論。後來整數的理論得到了進壹步的發展，被稱為數論。
在1896中，鮑爾說:“這門學科本身是壹門特別吸引人和優雅的學科，但它的結論沒有任何實際意義。”的確，如果按照通常的劃分方法將數學分為“純”數學和“應用”數學，那麽數論可能是數學中所能達到的最純粹的。
費馬，歐拉，拉格朗日，勒讓德，高斯等。都是出於數論的內在趣味和獨特美感而研究出來的。
由於現代計算機科學和應用數學的發展，數論得到了廣泛的應用。例如，初等數論範圍內的許多研究成果被廣泛應用於計算方法、代數編碼、組合論等；許多深刻的數論研究成果也在近似分析、差集、快速變換等方面得到了應用。
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數論分類
1.初等數論是在沒有其他數學學科幫助的情況下，僅依靠初等方法研究整數性質的數論分支。比如中國古代著名的“中國剩余定理”，就是初等數論中非常重要的內容。
2.解析數論是以數學分析為工具解決數論問題的壹個分支。數學分析是以極限概念為基礎，以函數為研究對象的數學學科。用數學分析方法解決數論問題是由歐拉奠定的，俄羅斯數學家切比雪夫也為其發展做出了貢獻。解析數論是解決數論難題的有力工具。
3.代數數論是將整數概念擴展到代數整數的壹個分支。數學家們把整數的概念推廣到壹般的代數數域，相應地建立了素數和整除的概念。
4.德國數學家和物理學家閔可夫斯基創立並奠定了幾何數論的基礎。幾何數論研究的基本對象是“空間網格”。
5.堆疊數論數論研究把整數表示為壹些整數之和的問題。
哥德巴赫猜想算術演繹所論證的數論命題的分支叫做初等數論，而解析數論是把算術問題變成解析問題，然後用分析的結果和方法去處理，從而推導出算術的結果。
壹些研究數論的數學家
古希臘，畢達哥拉斯，歐幾裏得，丟番圖
十七世紀:費馬
十八世紀:歐拉，拉格朗日
十九世紀
代數數論:高斯，庫默
解析數論:黎曼，阿達瑪，瓦萊普桑，塞爾伯格，阿爾迪。
二十世紀:素數判定，哥德巴赫猜想，費馬大定理，黎曼假設
20世紀30年代:華、閔四合、柯昭。
數論的應用
費馬大定理經過很多數學家的努力已經解決了，包括歐拉、勒讓德、費雷特、威爾斯等等。
哥德巴赫猜想壹直沒有解決，雖然陳景潤已經證明了1+1=2。
數論還在發展，既簡單又復雜，魅力就在不斷的探索中展現出來。
大素數分解問題壹直與密碼解碼緊密相連。
解析數論起源於對素數分布、哥德巴赫猜想、韋林問題和格問題的研究。
解析數論的方法主要有復變積分法、圓法、篩選法、指標與方法、特征與方法、密度等。模形式主義與解析數論密切相關~