在數系中發現了壹顆新星——虛數，引起了數學界的壹場混亂。許多偉大的數學家不承認虛數。德國數學家萊布尼茨(1646-1716)在1702中說:“虛數對於神靈來說是壹個微妙而奇怪的藏身之處，它很可能是存在與虛假領域中的兩棲動物。”瑞士數學家歐拉(1707-1783)說；“所有的形式，學數學都是不可能的，想象壹下數字，因為它們代表壹個負數的平方根。對於這樣的數字，我們只能斷言，它們既不是無，也不是多於無，更不是少於無。它們純粹是虛幻的。”但是，真理經得起時間和空間的考驗，最終占據了自己的壹席之地。法國數學家達朗貝爾(1717—1783)在1747中指出，如果虛數按照多項式的四則運算法則進行運算，那麽它的結果永遠是(A和B都是實數)的形式(註:目前的教材中沒有使用符號=-I，而是使用= one。法國數學家德莫弗(1667-1754)在1730年發現了這個公式，這就是著名的德莫弗定理。歐拉在1748中發現了著名的關系式，他在文章《微分公式(1777)》中第壹次用I表示1的平方根，他首創了用符號I作為虛數的單位。“虛數”其實不是虛數，但確實存在。1745-1818年，壹位挪威測量員試圖對1779這個虛數給出直觀的幾何解釋，並首次發表了他的實踐，但並沒有得到學術界的重視。
德國數學家阿甘(1777-1855)在1806中公布了虛數的圖形表示，即所有的實數都可以用壹個數軸來表示，同樣，虛數也可以用平面上的點來表示。在直角坐標系中，取橫軸上實數A對應的點A和縱軸上實數B對應的點B，通過這兩點引出壹條與坐標軸平行的直線，它們的交點C代表復數A+Bi。這樣，其點對應復數的平面就稱為“復平面”，後來也稱為“福雷斯特平面”。1831年，高斯用實數組(A，b)表示復數A+Bi，建立了復數的壹些運算，使復數的壹些運算像實數壹樣“代數化”。他在1832中首次提出了“復數”這壹術語，還整合了平面上同壹點的兩種不同表示方法——直角坐標法和極坐標法。統壹在表示同壹個復數的代數形式和三角形式上，數軸上的點對應實數-1，推廣到平面上的點對應復數-1。高斯把復數不僅看作平面上的壹點，而且看作壹個向量，利用復數與向量的對應關系，闡述了復數的幾何加法和乘法。至此，復數理論已經完整而系統地建立起來了。
經過眾多數學家長期不懈的努力，復數理論得到了深入的探討和發展，使得在數學領域徘徊了200年的虛數幽靈揭開了神秘的面紗，露出了本來的面目。原虛數非空。虛數已經成為數系家族的壹員，因此實數集已經擴展到復數集。
隨著科學技術的進步，復數理論變得越來越重要。它不僅對數學本身的發展具有重要意義，而且對證明機翼升力基本定理具有重要作用，在解決大壩滲流問題上顯示了它的威力，也為建設巨型水電站提供了重要的理論依據。
從記數法到復數域:數系理論的歷史發展
作者:季誌剛
摘要:數系理論的歷史發展表明，數的概念的每壹次擴展都標誌著數學的進步，但這種進步並不是按照數學教科書的邏輯步驟進行的。希臘人對無理數的發現暴露了有理數體系的缺陷，實數體系的完備性直到19世紀才完成。負數早在《九章算術》中就被我國數學家所認識。然而，15世紀的歐洲人仍然不願意承認負數的意義。“四元數”的發明打開了抽象代數的大門，同時宣告了復數在保持傳統運算規律的意義上是數系擴張的終點。人類發明的記數法並沒有克制自己的想象力，中國古代“數窮而變”的思想對當代數學哲學仍有積極意義。
引用
數是數學中的壹個基本概念，是人類文明的重要組成部分。數字概念的每壹次擴展都標誌著數學的壹次飛躍。壹個時代人們對數字的認識和應用以及數系理論的完善程度，反映了當時數學發展的水平。今天，我們所使用的數字系統已經被構造得如此完整和細致，它已經成為壹種基本語言，成為科學技術和社會生活各個領域中不可或缺的工具。我們在輕松享受這份人類文明的共同財富時，是否想到了人類智慧在數系形成和發展的歷史進程中所經歷的曲折和艱辛？
符號、位置系統和零點
在進化的蒙昧時期，人類有壹種“認識數字的能力”，心理學家稱之為“對數字的感知”。動物行為學家認為，這種“數字感知”並非人類獨有。人類智力的卓越之處在於他們發明了各種計數方法。《周易·內聚力下》記載“上古以結治，後世聖人易用書。”東漢鄭玄說:“大事為大結；小事，總結其訣竅。多少結，隨物之數。”事實上，以打結和書寫事跡的方式來計數的方法遍布世界各地，如希臘、波斯、羅馬、巴勒斯坦、伊斯蘭和中美洲國家，這些地方都有文獻記載和實物標本。直到1826，英國財政部才決定停止使用該契約作為法律櫃臺。隨著人類社會的進步，數字語言也在不斷發展和完善。數系發展的第壹個裏程碑出現了:位置系統記數法。所謂位置記數法，就是用少量的符號，通過它們對不同數字的排列，來表示不同的數字。讓歷史學家和數學史學家感興趣的是，在自然環境和社會條件的影響下，不同的文明創造了完全不同的計數方法。如巴比倫楔形文字數字系統、埃及象形文字數字系統、希臘字母數字系統、瑪雅數字系統、印度-阿拉伯數字系統和中國的記數系統。
最早發展起來的數制應該是簡單的分組制。比如公元前3400年的埃及象形文字，是10十進制，但不是位置性的。公元前3000年到公元前2000年間，巴比倫人發展了60進制的位置數制，采用了位置制，但不是10進制。最重要最精彩的記數法是10十進制位置記數法。
著名的法國數學家拉普拉斯(Laplace，1749–1827)曾經寫道:
用十個符號表示所有的數，每個符號不僅有絕對值，還有位置值。這個巧妙的方法來自印度。這是壹個深遠而重要的想法。今天看來是如此簡單，以至於我們忽略了它真正的偉大成就。但恰恰是它的簡單性和對所有計算的極大方便，使我們的算術在所有有用的發明中名列第壹；當我們想到它沒有引起古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼奧斯的天才思想的註意時，我們就更加感到這壹成就的偉大。
拉普拉斯的評論非常精彩，可惜他狂妄自大，把這個發明歸咎於印度。目前有充分確鑿的史料證明，10十進制位制記數法最早產生於中國。這也是壹些西方數學史家所提倡的。李約瑟曾指出，“在西方後來習以為常的‘印度數字’背後，職位制度在中國已經存在了兩千年。”但是，10十進制位置記數法的產生不能簡單地歸功於天才的智慧。記數法的進步與計算工具的改進有關。研究表明，10十進制位制的記數法起源於中國，這與計算的使用和計算體系的演變密不可分。
“0”作為記譜法的空缺，在位置記譜法的文明中是不可或缺的。早期的巴比倫楔形文字和中國宋代以前的記數法，都留有空格，沒有符號。最初印度人也是用空格表示零，然後記為圓點，最後發展成圓形數字。印度數碼在8世紀傳入阿拉伯國家。13世紀初，意大利商人萊昂納多·斐波那契(1175-1250)編撰了《利伯阿巴契(1202)》，將包括零在內的完整的印度數字引入歐洲。印度數字和10十進制記數法自被歐洲人普遍接受以來，在歐洲的科學和文明進步中發揮了重要作用。
第二，大數的記數法
古希臘人曾經問過壹個問題:他們認為世界上的沙子是無限的，即使不是無限的，也沒有人能寫出比沙子更多的東西。阿基米德，BC287-212+02)回答:不是，在數沙中，阿基米德基於myriad建立了新的記數法，這樣任何大數都可以表示。他的做法是:從1到1億(原文為1億，按中國習慣改名為1億)，稱為1系列；以億(108)為單位的第二個數列，從億到億(108)2稱為第二個數列；以十億為單位，最多十億(108)3稱為第三個數列。直到65438+億系列的最後壹個億。阿基米德計算出充滿宇宙的沙子的數量只有1051。即使擴展到“恒星宇宙”，即以太陽到恒星的距離為半徑的天球，也只能容納1063顆沙粒！
同樣的問題也出現在中國古代。漢代以前的數字是10，有65438+1億。魏解釋《國語·鄭語》第十六條:“數億萬之事，用料預測之事，受經入道，行極之事”。註意，“計，算也；料，切也。湯佳說萬物都是十億，鄭後思農說:壹百萬億是十億，十億是壹個標誌，從古算起。”《數術書》中記載了壹整套命名和三種攜帶大數的方法。《命理學》說:
黃帝為法，有十級，用法三種。第十類是億、兆、京、易、易、土、溝、流、正、載；三等，即上中下。接下來的幾個。十變，如果妳說十萬，十億，壹千萬，北京。那些在數字中間的人永遠不會改變它。如果他們說1億，100萬億，100萬億，他們會說北京。窮就變。妳說壹億，壹億就是萬億，萬億就是北京。從1億到加載，終於很棒了。
《命理筆記》“大數之法”的數學意義不僅在於它構造了三種計數方法，更重要的是揭示了人們對對數從有限到無限的認識的艱難歷程。客觀需要和數學的發展促使人們認識和掌握越來越多的大數。起初，對於壹些大數，人們可以理解它們，並用現有的記數單位來表達。但隨著人們認識的發展，這些大數也在迅速膨脹，原有的計數單位很難使用。人們不禁要問:
數字差嗎？
這是數系發展中需要回答的重要命題。《命理遺事》中記載的徐悅與老師劉虹的對話，精辟地說明了“窮則改之”的深刻道理:
徐悅問:這個數字是窮人嗎？
惠姬(劉虹)回答說:我曾經在天目山旅行，當我看到壹個隱士，我不知道他的名字。我叫他天目先生，我是這樣問他的。王先生說:世事不能三與二比，雲何捐煩與四維。不知道三個，就談知道十個。不區分大小就知道幾百億。黃帝為法，有十數。.....從億到載，終於偉大。
惠姬問:先生，如果名單上的人數少了，就會改變。既然雲最終是大的，大的傳播是有限的，怎麽可能是無限的呢？
王先生回答:用數，字重變，小的變大，加循環。流通，還有貧窮！
天目先生的做法是借助“以小博大”的“循環論”來理解無限，而指導這種做法的重要思想是“強調文字會變化”。即使在今天，“窮則變”這種樸素的辯證思維所蘊含的深刻哲理，仍然值得深思。
第三，有理數系統
位置記數法的出現，標誌著人類掌握的數字語言已經從少量的字符發展到具有完善運算規則的數字體系。人類已知的第壹個數系是“自然數系”。然而，隨著人類認識的發展，自然數體系的缺陷逐漸暴露出來。首先，自然數系統是離散的而不是稠密的數系[2]。所以作為量的表示，只能限定為單位量的整數倍，而不能限定其部分。同時，作為運算手段，在自然數系統中只能進行加法和乘法運算，而不能自由進行它們的逆運算。這些缺陷通過分數和負數的出現來彌補。
有趣的是，這些分數也有很強的地域特征。巴比倫的分數是小數60，埃及用的是單分數，阿拉伯的分數更復雜:單分數，單位分數，復合分數。這種復雜的分數表示必然導致復雜的分數運算方法，所以歐洲的分數理論長期停滯不前，直到15世紀才逐漸形成現代的分數算法。與之形成鮮明對比的是，中國在古代對分數理論的傑出貢獻。
分數最初的概念來源於量的除法。比如《說文八部》解釋“分”:“分，不也。從八刀來說，刀也是分開的。”而《九章算術》中的分數是從除法運算中引入的。其《合與分》有雲:“實如法壹。對法律不滿的人，將受到法律的制裁。”用除數除被除數。如果不可分，則定義壹個分數。中國古代分數論的高明之處在於，它借助“同調”抓住了分數算法的本質:壹般分數。劉徽在《九章算術註》中說:
很多分是混的，也不細。取之散之，所以傳之。通過了就可以合並了。凡母相乘，謂之氣，群母相乘謂之同。同人，同相，同母。氣，子母為氣，勢不可失。
用同樣的手法，妳可以把分數分成同類，變相的，和同類相反。劉徽知道了這個秘密，說:“但是，必須有同樣的技能。錯綜復雜的程度，動態的和諧，其還佩服嗎？解開心結，不去理會。乘以散，是關於聚，同與之相連。這是壹門學科。”
很容易證明分數系統是密數系統，對於加、乘、除是封閉的。為了讓減法在數字系統中順利進行，負數的出現是不可避免的。盈余與不足，收入與支出，增加與減少，都是生活中負數概念的例子，教科書在教學生負數時，往往遵循這條路徑。這就導致了壹個誤區:似乎人類就是從這種對意義相反的量的理解中引入了負數。歷史事實表明，負數最早是由中國數學家引入的，這是由中國古代傳統數學中算法高度發達、計算機械化的特點決定的。負數的概念和算法最早出現在《九章算術》的“方程”中，因為在“方程”的兩行之間進行加減乘除時，需要引入負數，建立正負數的算法。劉徽的註解深刻地說明了這壹點:
今日得失相對，正反應正名。正的是紅色，負的是黑色，否則，斜的就不壹樣了。方程有自己的取紅黑相及推導左右數的技巧。但並減趨勢無法廣泛溝通，所以淘汰紅黑相。.....所以紅黑混合足以定上下的航向，雖然利潤的損失極其足以過左右數，但差額足以滿足差率。但是，沒有錯，也沒有錯，它的費率也沒有錯。
雖然負數通過阿拉伯著作傳到了歐洲，但16和17世紀的大多數數學家並不承認它們是數，或者即使承認，也不認為它們是方程的根。比如尼古拉斯·丘凱特(1445-1500)和斯蒂費爾(1486-1567)都把負數描述為荒謬的數字，是“荒謬的負零”。卡當(1501-1576)把負數當作方程的根，卻認為它們是不可能的解，只是壹些記號；他稱負根為虛根。Veda (Vieta，1540- 1630)根本不想要負數，而Pascal (1623-1662)認為0減4純粹是扯淡。
負數是人類第壹次跨越正數的範圍，之前所有的經驗在負數面前完全沒有用。在數系發展的歷史進程中，實踐經驗有時不僅無用，而且是壹種障礙。正如我們將看到的，負數不是唯壹的例子。
第四，實數理論的完善
無理數的發現粉碎了畢達哥拉斯學派“萬物皆有數”的夢想。同時也暴露了有理數體系的缺陷:直線上的有理數雖然“密密麻麻”，卻漏出了許多“毛孔”，還有許多“不可數的數”，這樣，古希臘人關於有理數是連續相連的算術連續體的假設就徹底破滅了。它的崩潰將對未來兩千年的數學發展產生深遠的影響。不可通約的本質是什麽？長期以來壹直有許多不同的意見。兩個不可公度量之比也被認為是壹個不合理的數，因為它不能被正確解釋。達芬奇(1452-1519)稱它們為“無理數”，開普勒(J. Kepler，1571-65438)雖然在後來的運算中逐漸使用這些“無理數”和“難以描述”的數，但它們到底是不是實數壹直是個令人費解的問題。
中國古代數學在處理根問題時，不可避免地會遇到不合理的根。對於這種“取之不盡”的數，《九章算術》直接接受，劉徽註中的“求其差數”實際上是用10的小數來無限逼近無理數。這是壹種正確的完成實數系的方法，但劉徽的思想遠遠超越了他的時代，未能引起後人的重視。而中國傳統數學註重量的計算，對對數的性質沒有太大興趣。(李)而善於提問的希臘人是過不去這個坎的。既然克服不了，就要避免。從那以後，希臘數學家如歐多克索斯和歐幾裏得在他們的幾何學中嚴格避免將數字等同於幾何量。歐多克索斯的比例理論(見《幾何原本》第五卷)使幾何在邏輯上繞過了不可通約的障礙，但在此後的很長壹段時間裏，它形成了幾何與算術之間的顯著分離。
17和18世紀微積分的發展吸引了幾乎所有數學家的目光，而正是人們對微積分基礎的關註，才使得實數域的連續性再次凸顯出來。因為微積分是基於極限運算的變量數學，而極限運算需要壹個封閉的數域。無理數是實數域連續性的關鍵。
什麽是無理數？法國數學家柯西(A.Cauchy，1789- 1875)給出了答案:無理數是有理數序列的極限。但根據柯西對極限的定義，所謂有理數序列的極限，是指事先有壹個確定的數，使它與序列中的數之差在序列趨於無窮大時可以任意小。但是這個預先存在的“數”從何而來？在柯西看來，有理數列的極限似乎是先驗存在的。這說明盡管柯西在當時是壹個偉大的分析家，但他仍然無法擺脫兩千多年來基於幾何直覺的傳統觀念的影響。
由變量數學獨立構造完備數域的歷史任務，終於在19世紀下半葉由維爾斯特拉斯(1815-1897)、戴德金(r . dede kind 1831-65438)完成。
1872是現代數學史上最值得紀念的壹年。今年F. Kline (1849-1925)提出了著名的Erlanger程序，Wilstras給出了壹個著名的處處連續但處處不可微的函數的例子。也正是在這壹年，實數理論出現了三大流派:戴德金的“分割”理論；康托爾的“基本序列”理論和維爾斯特拉斯的“有界單調序列”理論同時出現在德國。
試圖建立實數的目的是給出壹個形式上的邏輯定義，它不依賴於幾何的意義，避免了用極限定義無理數的邏輯錯誤。有了這些定義作為基礎，微積分中極限基本定理的推導就不會出現理論循環。導數和積分因此可以直接建立在這些定義上，而不帶有任何與感性知識相聯系的性質。幾何的概念不能被完全理解和準確，這在微積分發展的漫長歲月中已經得到證明。因此，必要的嚴格性只能通過數的概念，在切斷數的概念和幾何量的概念之間的聯系之後才能達到。在這裏，戴德金的工作得到了很高的評價，因為“戴德金的除法”所定義的實數是完全獨立於空間和時間的人類智慧的直觀創造。