壹、數學競賽簡史
數學競賽類似於體育競賽。是青少年的智力競賽，所以蘇聯首創了“數學奧林匹克”這個名詞。在類似的以基礎科學為競賽內容的智力競賽中，數學競賽歷史最長，參賽國家最多，影響力最大。比較正規的數學競賽始於1894年的匈牙利，除了因兩次世界大戰和1956的事件而停辦了七屆外，至今已經舉辦了90多屆。蘇聯的數學競賽始於1934，而美國的數學競賽始於1938。除了第二次世界大戰期間的三年，這兩個國家已經舉行了50多次比賽。其他數學競賽歷史悠久的國家還有羅馬尼亞(1902起)、保加利亞(1949起)、中國(1956起)。
1956年，東歐國家和蘇聯正式確定了國際數學奧林匹克的計劃，1959年，第壹屆國際數學奧林匹克(1MO)在布拉索夫舉行。它將每年舉行壹次。除了1980因東道國蒙古經濟困難而停辦外，至今已舉辦40屆。參與的國家越來越多。第壹屆只有7個國家參加，到1980，有23個國家；到1990，有54個。
必須指出的是，在上述歷史之前，已經有過壹些數學競賽。比如蘇聯人說在1886時代舉行了壹次數學競賽。再比如1926，中國上海舉辦珠算比賽，有學生，有銀行，有銀行員工。中華職業學校壹年級學生華憑借自己的智慧獲得了冠軍。這些都是關於數學競賽的故事，不在正史裏。
二，數學競賽的發展
數學競賽活動逐漸從單個城市發展到全國，再到全球。比如蘇聯的數學競賽，從列寧格勒和莫斯科開始，1962擴展到全國。在美國，直到1957才有了全國數學競賽。
數學競賽活動也是由淺入深逐步發展的。幾乎在每個國家，數學競賽都是由壹些著名的數學家組織的。試題非常接近中學課本上的習題，然後逐漸深化。壹些數學家把更多的精力花在選題和競賽組織上。此時的試題逐漸脫離了中學課本的範疇。當然還是要求用初等數學語言陳述試題，用初等數學方法求解。例如，在蘇聯數學競賽開始時，著名的數學家如安德雷·柯爾莫哥洛夫、亞歷山德羅夫和狄龍涅都參加了這項工作。在美國，著名的數學家如boekhoff和他的兒子Paulia和Kaplanski參與了這項工作。
國際數學奧林匹克比賽開始後，參賽國的準備工作往往主要是對運動員進行壹次強化訓練，拓寬知識面，提高解題能力。這種培訓班難度很大，比中學數學要深很多。這時候就需要幾個數學家專門從事這項活動。在數學競賽好的國家，競賽活動往往采取金字塔形的競賽形式，分層次選拔。比如說。蘇聯分為五個級別的比賽，即校級、市級、省級、國家級和全蘇級比賽。每壹級的參賽人數約為上壹級的1/10，並建立了八所專門的數學學校(或數學奧林匹克學校)，培養數學素質好的學生。
數學競賽雖然歷史悠久，但在最近的10年間有了很大的發展和變化，相關工作也越來越專業化。我們應該認真關註它的發展，了解它的規律。
三，數學競賽的作用
1.挑選有數學天賦的年輕人。因為數學競賽是在逐級競賽、逐步深化考核的基礎上選拔獲獎者的，獲獎者不僅要有紮實廣泛的數學基礎，還要有靈活機智的頭腦和創造才能，所以往往是勤奮聰明的少年。這些人將來成為人才的機會很大。數學競賽受到越來越多國家的重視，這也是其在世界範圍內迅速發展的重要原因之壹。在匈牙利，著名數學家費伊、裏茲、謝圭、柯尼希、哈爾、拉多等人都是數學競賽的優勝者。在波蘭，著名的數論專家辛澤爾是壹次數學競賽的獲勝者。在美國，米爾諾、曼福德和昆蘭獲得了菲爾茲數學獎，許多傑出的青年成為著名的物理學家或工程師，如著名的機械師馮？卡門。
2.激發青少年學習數學的興趣。數學在所有自然科學、社會科學和現代管理中越來越重要和必不可少。由於電子計算機的發展，各門科學趨於更加深入和成熟，從定性研究走向定量研究。因此，青少年學好數學對於他們將來學好所有科學幾乎是必要的。數學競賽將健康的競爭機制引入青少年的數學學習，激發他們的上進心和創造性思維。因為數學競賽是分層次進行的，所以全國競賽前的試題基本沒有跳出中學數學教材的範圍，適合廣大青少年參加。但也應該承認，人的天賦和數學素質是有差異的，甚至是很大的差異。全國比賽以及後續的比賽和訓練只能在少部分人當中進行，少部分數學素質好的青少年負擔得起。比如澳大利亞小將托裏？陶以10、11、12歲分別獲得第27、28、29屆國際數學奧林匹克銅牌、銀牌、金牌。當然，壹些大學老師和數學研究者需要參加高水平階段的數學競賽。
3.促進了數學教學改革。數學競賽進入高水平後，試題內容往往是高等數學的初等。這不僅為中學數學增添了新鮮的內容，而且可能促使中學數學教學在新的基礎上進行反思，在逐漸積累的過程中由量變向質變轉變。中學教師也可以在參加數學競賽的過程中學習新知識，提高水平，開闊視野。事實上，壹些數學教學工作者已經在這項活動中逐漸嘗到了甜頭。因此，數學競賽也可能是中學數學課程改革的“催化劑”之壹，這似乎比自上而下的“灌輸”方式要好。20世紀60年代初，西方所謂的中學數學教學現代化運動，就是試圖用壹些現代數學來代替舊的中學數學內容，但采用的是自上而下灌輸的方法，結果造成了脫離教師的水平和學生順序學習所需的直觀思維過程。現在基本都是被風吹的，宣告失敗。相反，數學競賽可能是壹種方式。在中國，中學生高考壓力很大，中學老師都在為之奔波，有壹種路越走越窄的感覺。數學競賽有可能使中學數學教學改革走向康莊大道。
四、競賽數學——奧林匹克數學
隨著數學競賽的發展，逐漸形成了壹門特殊的數學學科——競賽數學，也可稱為奧林匹克數學。競賽數學的任務就是把高等數學放到初等數學中，把高等數學的問題用初等數學的語言表達出來，用初等數學的方法解決這些問題。這裏的問題甚至解的背景往往來自於壹些高等數學。數學按其方法可分為分析和代數，即連續數學和離散數學。目前微積分不屬於國際數學奧林匹克的範疇，所以分散離散數學是競賽數學的主體。國際數學奧林匹克的很多題目來自於數學理論、組合分析、現代代數、組合幾何、函數方程等等。當然也包括中學課程中的平面幾何。
競賽數學不同於這些數學領域。通常情況下，數學往往尋求證明壹些廣義的定理，而競賽數學只是尋求壹些特殊的問題。通常，數學追求建立壹般的理論和方法，而競賽數學追求用特殊的方法解決特殊的問題。而壹個問題壹旦出來，就成了老問題，需要繼續創造新問題。競賽數學屬於“硬”數學的範疇，通常和純數學壹樣，以其內在的美，包括問題的簡潔和解答的巧妙，作為衡量其價值的重要標準。
競賽數學不能脫離現有的數學分支而獨立發展，否則就會成為無源之水，所以往往由某些領域的專家來辦，比如參加過國際數學奧林匹克的中國代表團優秀教練單尊，他就是數論專家。
國際數學奧林匹克精神鼓勵使用巧妙的初等數學方法解決問題，但並不排斥使用高級數學方法和定理。例如，在第31屆國際數學奧林匹克競賽中，有同學使用了Bertrand假設，也就是Chebyshev定理，即當n大於1時，n和2n之間壹定有壹個素數，還有同學在解題時使用了Scherbinssey定理，即壹個方桌成為s平方和的通解。這些定理只能在華寫的《數論導論》(大學數學系研究生教材)或更專業的書裏找到。這不僅是“牛刀殺雞”，而且按照壹位外國教練的說法，“他們在用原子彈轟炸蚊子，蚊子卻被打死了！”這是允許的，但不被國際數學奧林匹克所鼓勵。
國際數學奧林匹克中的壹道難題，簡化後需要寫三四頁，不僅大大超過了中學課本的深度，而且不低於大學數學系壹般課程的深度，當然也不包括大學課程的廣度。其實在大學數學系的課程中，用三頁紙證明壹個定理的人並不多。壹個好的試題答案大致相當於壹篇有趣的短文。因此，用這些問題來評定青少年的數學素質是相當科學的。他們的解決方案要求參與者具備相當廣泛的數學基礎知識，外加機智和創造力。這和簡單的智力測驗完全不同。國際數學競賽的範圍壹般是從小學四年級到大學二年級。因為小學生基礎知識少，這期間所謂的數學競賽其實就是智力競猜。對於大學生來說，應該強調系統學習，需要對數學有壹個整體的了解。所以數學競賽的重點應該是中學，尤其是高中。
現在，我們已經積累了豐富的數學競賽題庫，供中學教師、學生和數學愛好者練習。國際上還有專門的競賽數學雜誌。
5.中國數學競賽
中國的數學競賽始於1956，當時高中數學競賽在北京、上海、武漢、天津舉行。華、、蘇、等壹批著名數學家都積極地領導和參與了這項工作。但由於“左”的影響，1965年只零星開了六屆。“文革”開始後，數學競賽更被視為“關、資、修”的壹套，被迫全部取消。直到粉碎“四人幫”，1978年中國數學競賽活動恢復，才走上快速發展的道路。1980之前的數學競賽屬於初級階段，也就是試題沒有脫離中學課本。1980後逐漸進入高級階段。中國於1985年首次參加國際數學奧林匹克競賽，1986年開始名列前茅，1989和1990連續兩年獲得團體總分第壹名。
我國成功舉辦31國際數學奧林匹克競賽，標誌著我國數學競賽水平達到國際領先水平。第壹，中國獲得團體總分第壹，這說明中國的金字塔形的各級競賽選拔體系，奧數學校，集中訓練體系都很完善。第二，中國數學家對35個國家提供的100多道試題進行了簡化和改進，從中推薦了28道題供各國領導人選擇，結果選出了5道題(* * *需要6道題)，可見中國競賽數學水平相當高。第三，各國學生的試卷先由各國領導人批改，再由東道國協調認可。我們組織了近50名數學家作為協調人，評分準確公正，提前半天完成了協調任務，可見中國的數學有相當的實力。第四，這是國際數學奧林匹克首次在亞洲舉行。中國的傑出成就鼓舞了發展中國家，特別是亞洲國家。另外這個比賽的組織也挺好的。
在中國，從老壹輩數學家、中青年數學家到中小學教師，數千人齊心協力，才有了今天數學競賽的成就。這裏要特別提壹下華，他不僅倡導中國的數學競賽，還寫了五本小冊子，從楊輝三角形，從祖沖之的圓周率，從孫子的“神奇的計算”，數學歸納法和談蜂巢結構相關的數學問題。這些是他的競賽數學作品。1978年中國恢復數學競賽後，他親自主持試題，並為答案寫評語。中國其他優秀的競賽數學著作還有段學復的《對稱性》，閔四合的《格子與面積》，蔣伯駒的《壹筆與郵路》。這裏還應該提到王守仁。自從與華合作以來，他壹直領導和參加數學競賽。帶領中國隊三次參加國際數學奧林匹克競賽，領導了第31屆國際數學奧林匹克競賽工作。1980後的中青年數學家基本上接過了我國老壹輩的數學競賽，他們為把我國的數學競賽水平推向新的高度做出了積極的努力。邱宗虎就是其中的傑出代表。從培養學生到組織領導數學競賽，從帶領中國隊三次參加國際數學奧林匹克競賽到舉辦31國際數學奧林匹克競賽，做出了突出貢獻。
六、關於中國數學競賽的壹些問題。
1.我們應該認真總結經驗。我們應該總結成功的經驗和失敗的教訓。尤其是在1956到1977的22年間，只小規模舉辦了6次數學競賽，到16年完全停止，比匈牙利由於兩次世界大戰的時間長了壹倍多，這也從壹個側面反映了“左”的危害。要允許甚至鼓勵對數學競賽不同觀點的表達，避免大爆炸、大起大落和“壹刀切”。當存在不足時，要冷靜分析，劃清數學競賽中蘊含的不合理與工作中的不足。
2.完善領導體制。我們能否設想由國家教委和中國科協，通過中國數學會數學奧林匹克委員會(或其他形式的統壹領導)，來領導和協調全國各級數學競賽和國際數學奧林匹克的參賽和訓練？成立數學奧林匹克基金會，資助部分數學競賽，獎勵數學競賽獲獎者和做出貢獻的領導、教練、中小學教師。
3.向社會宣傳。宣傳數學競賽的意義和作用，消除誤解，如“數學競賽是中小學生的智力競猜”、“是人才選拔，沖擊正常教學”、“教師尤其是大學教師工作不到位”等等。要用事實來說明數學競賽活動的成果。比如，就在“文革”前，幾場低水平的數學競賽中，有的獲獎者已經成了人才。例如，上海的王家崗和陳誌華，北京的唐受文和石鶴，現在都是中國著名的中年數學家，其中壹些人還獲得了博士生導師資格。都是文革時期耽誤了10年，不然成就更大。
4.處理好普及與提高的關系。數學競賽需要在學校、城市、省份、全國、冬令營、培訓班以金字塔的形式進行。前三個層次具有普遍性，試題不應脫離中學數學教材的範圍，應面向廣大學生和教師。全國性的比賽和後續活動都是改良型的，參賽人數應該會迅速減少。至於冬令營和集訓隊，全國只有幾十個學生能參加。數學奧數學校要註重質量，要少而精地辦。上數學學校的學生要嚴格選拔，不要妨礙他們德智體全面發展。除了冬令營和培訓班，少數數學家需要集中精力進行出題和培訓工作，不妨鼓勵數學家和中小學教師在業余時間從事數學競賽，不要幹擾大家的正常工作。總之，數學競賽的普及部分和提高部分不應該是對立的，而應該是有機結合的。
5.繼續教育和培養數學競賽的獲獎者。壹方面要充分肯定和鼓勵獲獎者的成績，另壹方面也要告訴競賽的獲獎者，壹定要戒驕戒躁，謙虛謹慎，經過長期不懈的鋤頭，才能成為壹名優秀的數學家或其他領域的專家。不要把贏得比賽作為唯壹目的，而是作為鼓勵進步的鞭策。還要創造更好的機會讓數學競賽的獲獎者深入學習，讓他們快速成長。比如可以考慮讓壹些理工科大學從全國高中數學競賽獲獎者中選拔壹部分學生，不參加考試。
6.對數學競賽活動做出貢獻的人員，包括組織領導、教練員和中小學教師，要充分肯定和獎勵他們的工作成績。在他們的工作考核中，作為晉升的依據之壹。
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