實在論承認數學對象獨立於我們的思想而存在，而反實在論認為數學對象不存在或獨立於我們的思想而存在，唯名論則斷言數學對象根本不存在。這種分類似乎被大多數作者所接受。
數學實在論和數學反實在論的爭論是二十世紀數學哲學爭論的焦點。從歷史上看，當代數學實在論與數學反實在論之爭與西方傳統哲學中實在論與唯名論之爭既有聯系又有區別。首先，抽象的數學對象不同於西方傳統哲學中所謂的共相或理念。宇宙和觀念都與壹種具體事物有關，可以看作是壹種具體事物的代表或抽象。
比如柏拉圖想象完美的圓真的存在，而物質世界中那些具體的不完美的圓只是完美圓的影子。反過來，我們也可以說，所謂的正圓，在某種意義上是壹個具體的、不完美的圓的表象或抽象。但是，如果宇宙是有限的、離散的，那麽歐幾裏德幾何中的正圓在物質世界中其實是沒有“影子”的。同樣，那些非常大的數字也可能不是宇宙中任何真實具體事物或其物理量的表示或抽象。更不用說那些抽象的函數空間，拓撲空間，無限基數甚至大基數等等。，它們在物質世界中沒有“影子”，也不是任何具體事物或其屬性的直接抽象。
它們不同於傳統哲學中的共性或理念。傳統哲學中的柏拉圖主義、實在論和唯名論是指肯定或否定普遍主義理念獨立存在的理論。因此，現代數學哲學中的實在論或柏拉圖主義超越了傳統意義上的實在論和柏拉圖主義。現代數學哲學中的實在論，就是斷言壹個完全獨立於物質世界，與物質世界沒有相似性的抽象數學世界的客觀實在性。這是由於現代數學的壹些前所未有的特點，即現代數學所談論的對象不是具體事物的簡單抽象，它們的眼光遠遠超出物質世界中的任何具體事物，物質世界中不可能有“影子”。
現代數學的特點使得實在論和反實在論的爭論更加尖銳，也更有意義。
現代數學的這壹特點使得實在論和反實在論的沖突更加尖銳，也使得上述單純的數學實在論和單純的反實在論所面臨的問題更加突出。
壹方面，如果壹個抽象的東西，如共相或理念，只是壹種相應的具體事物的代表，或者相應的具體事物在某種意義上是“抽象的”，那麽現實主義者可能會說，斷言抽象事物的存在並不那麽不可思議。他們可能會說，我們可以通過具體的事物來認識那些抽象的事物，那麽抽象事物的認識論問題就可以得到解答了。
相反，反實在論者也可以說，當我們談論所謂的抽象事物時，我們只是采用了某種談論那些相應的具體事物的方式，而不是真正地斷言那些所謂抽象事物的存在。也就是說，柏拉圖所謂的正圓只是壹個幻想。我們只是把這樣壹個正圓想象成現實世界中的許多不完美的圓，而我們幾何學中所謂的正圓，應該理解為關於各種不完美圓的相應(近似)結論。
反實在論者據此可以認為，共相和理念獨立於具體事物而存在的論斷，沒有真正的意義，不能增加我們真正的知識，而只是某些哲學家的理論，是壹種累贅的哲學。換句話說，關於共性和觀念是否獨立於那些具體事物的問題，是基於對語言的錯誤使用，是壹個無事生非的問題。
但是，現代數學似乎確實在談論完全獨立於具體事物、與具體事物沒有相似性的抽象數學對象，而數學被認為提供了最可靠的知識和科學的基礎。
數學真理被認為是最可靠的真理。許多我們尊敬的數學家和科學家似乎持有這種信念。所有這些似乎都支持實在論，它們表明實在論似乎是壹種被科學實踐證實的信仰，不僅是某些哲學家妄想的結果，也是基於對語言誤解的信仰。
另壹方面，現代數學所研究的對象，尤其是無限對象和抽象的數學結構，遠遠超出了對宇宙中具體事物的簡單抽象，與具體事物沒有任何相似性。很難說我們能通過有限的具體事物認識那些無限抽象的數學對象。至少，它需要構建壹個復雜的哲學理論來解釋。
而且，我們不能像回避談論正圓(但只是物質世界中的不完美圓)壹樣回避談論實數、函數、拓撲空間等數學對象(因為物質世界中沒有任何與它們足夠相似的東西可以替代它們)。
因此，現代數學的這兩個特點，即它是科學的基礎及其(至少在表面上)超越性，不僅強化了支持實在論的理由，也增加了解決實在論認識論問題的難度。這讓我們相信這裏面真的有玄機，而不僅僅是壹些糊塗的頭腦所想象的無事生非的問題。
——二十世紀葉楓的數學哲學