分析:
矩陣
矩陣是由方程的系數和常數組成的方陣。用它解線性方程組既方便又直觀。例如，對於方程式:
a 1x+b 1y+c 1z = d 1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
壹般來說，我們可以形成兩個矩陣:
a 1b 1c 1a 1b 1c 1d 1
a2b2c2a2b2c2d2
a3b3c3a3b3c3d3
因為這些數字有規律地排列在壹起，形狀像矩形，數學家稱之為矩陣。通過變換矩陣，可以得到方程的解。
矩陣的具體概念最早是由英國數學家凱利在19世紀提出的，並形成了矩陣代數的系統理論。
不過追根溯源，矩陣最早出現在中國的九章算術中。第九章算術方程，提出線性方程的系數和常數按順序排列成矩形。那麽這個方程的解就可以通過移動地方找到。在歐洲，用這種方法解線性方程組，比中國晚了2000多年。
數學上，m×n矩陣是壹個具有m行n列的矩形陣列。矩陣由數字組成，或者更壹般地說，由環中的元素組成。
矩陣在線性代數、線性規劃、統計分析和組合數學中很常見。請參考矩陣理論。
歷史
矩陣的研究歷史悠久，拉丁方、幻方在史前就有研究。
矩陣作為解線性方程組的工具，也有很長的歷史。1693年，微積分的發現者之壹戈特弗裏德·威廉·萊布尼茨建立了行列式理論。1750年，加布裏埃爾·克萊姆後來制定了克萊姆法則。1800s，高斯和威廉·喬丹建立了高斯-喬丹消去法。
詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特在1848首次創造了矩陣這個詞。研究過矩陣理論的著名數學家有格洛裏亞、威廉·羅文·漢密爾頓、格拉斯曼、弗羅貝紐斯和馮·諾依曼。
定義和相關符號
下面是壹個4 × 3的矩陣:
矩陣A的第I行和第J列，或者I和J比特，通常被記錄為A=7。
在c語言中，也表示為A[i][j]。(值得註意的是，與壹般的矩陣算法不同，在C中，“行”和“列”是從0開始計數的。)
另外，A = (aij)，意思是a [I，j] = aiji在數學著作中常見於所有的I和j。
壹般環上構造的矩陣
給出壹個環R，M(m，n，R)是R中元素排列的所有m× n矩陣的* * *若m=n，通常記為M(n，R)。這些矩陣可以相加相乘(見下)，所以M(n，R)本身就是壹個環，這個環與左R模Rn的自同態環同構。
如果R是可置換的，那麽M(n，R)是有單位元的R-代數。行列式可以用萊布尼茨公式來定義:壹個矩陣是可逆的當且僅當它的行列式在r內可逆。
在* * *，除非特別說明，矩陣大多是實矩陣或者虛矩陣。
分塊矩陣
分塊矩陣是指將壹個大矩陣分成“矩陣”的矩陣。例如，下面的矩陣可以分成四個2×2的矩陣。
這種方法可用於簡化運算、數學證明和某些計算機應用，如VLSI芯片設計。
對稱矩陣
對稱矩陣相對於其主對角線(從左上到右下)對稱，即ai，j = aj，I。
Hermite矩陣(或自* *軛矩陣)以復* * *軛的形式相對於其主對角線對稱，即ai，j = a * j，I。
Teplic矩陣的所有元素在任壹對角線上都是相反的，即ai，j=ai+1，j+1。
隨機矩陣的所有列都是概率向量，用於馬爾可夫鏈。
矩陣運算
給定m×n矩陣A和B，可以定義它們的和A+B是m×n矩陣，I和J的項是(A+B) [i，j] = A [I，j]+B [I，J]。例如:
替代加法見矩陣加法。
給定壹個矩陣a和壹個數c，可以定義壹個標量積ca，其中(cA)[i，j] = cA[i，j]。例如
這兩種運算使得M(m，n，R)成為維數為mn的實線性空間。
如果壹個矩陣的列數等於另壹個矩陣的行數，則這兩個矩陣的乘積可以定義。比如a是m×n矩陣，b是n×p矩陣，它們是乘積。AB是m×p矩陣，其中
(ab) [i，j] = a [i，1] * b [1，j]+a [i，2] * b [2，j]+...+a [i，n] * b [n，j]對於所有I和。
例如
這種乘法具有以下特性:
(AB)C = A(BC)對於所有的k×m矩陣A，m×n矩陣B和n×p矩陣C(“結合律”)。
(A+B)C = AC+BC對於所有m×n矩陣A和B以及n×k矩陣C(“分布律”)。
C(A+B) = CA+CB對於所有m×n矩陣A和B以及k×m矩陣C(“分布律”)。
需要註意的是，可替代性不壹定成立，即有矩陣A和B使得AB ≠ BA。
對於其他特殊乘法，請參見矩陣乘法。
線性變換、秩、轉置
矩陣是線性變換的方便表達，因為矩陣乘法和線性變換的合成具有以下關系:
N×1矩陣(即長度為n的向量)用Rn表示。對於每個線性變換f:rn->；Rm有壹個唯壹的m×n矩陣a，使得f(x) = Ax對於所有的x ∈ Rn。這個矩陣a“代表”線性變換f，目前另壹個k×m矩陣b代表線性變換g:RM->；Rk，那麽矩陣乘積BA表示線性變換g o f。
矩陣A表示的線性代數的象的維數稱為A的矩陣秩，矩陣的秩也是A的行(或列)生成空間的維數。
m×n矩陣A的轉置是由行列交換角公式生成的n×m矩陣Atr(也稱為AT或tA)，即對於所有I和j，Atr[i，j] = A[j，i]，如果A表示線性變換，則Atr表示其對偶算子。換位具有以下特點:
(A + B)tr = Atr + Btr，(AB)tr = BtrAtr .