I证明:
解:(1)当直线l的倾斜率不存在时,P,Q两点关于X轴精确
所以x2=x1,y2= -y1。
因为P(X1,Y1)在椭圆上,因此X1的2次方/3 Y2的2次方/2=1 1
又因为S三角形OPQ=√6 /2,
所以|X1|.|Y1|=√6 /2<2
由(1)、(2)得|X1|=√6 /2,|Y1|=1,
此时X1的平方X2的平方=3,Y1的平方Y2的平方=2。
(2)当直线I的斜率存在时,设直线l的方程为Y=KX m
由题意知m不等于0,其代入X?/3 Y?/2=1得
(2 3k?)X? 6mX 3(m?-2)=0
其中△=35k?m?-12(2 3k?)(m?-2)gt;0
即3k? 2gt;m?
所以|OM|?.|PQ|?=1/2×(3-1/m?)×2×(2 1/m?)=(3-1/ m?)2 1/m?)<=[(3-1/m? 2 1/m?)÷2]?=25/4
所以|OM|.|PQ|lt; =5/2,当且仅当3-1/m?=2 1/m?,即m= √2或-√2时,等号成立。综合(1)(2)得|OM|.| PQ|的顶峰为5/2
(III)平坦C上不存在三点D,E,G,使得△ODE=S△ODG=△OEG=√6/2
证明:假设存在D(u,v),E(X1,Y1),G(X2,Y2),满足△ODE=S△ODG=△OEG=√6/2
由(I)得
u?+X1?=3,u?+X2?=3,X1?+X2?=3;v?+Y,1?=2,v?+Y2?=2, Y1?+Y2?=2
解得u?=X1?=X2?=3/2;v?=Y1?=Y2?=1
因此u,X1, X2只能从+√6/2和-√6/2中若干,v,Y1,Y2只能从+1和-1中若干。
因此D,E,G只能在( +√6/2和-√6/2,+1和-1)这四点中出现三个不同的点,而这三点的两两连线中必有一条过原点,与△ODE=S△ODG =△OEG=√6/2
矛盾,所以卫星C上不存在三点D,E,G。