反函數的性質主要有:函數的定義域與值域是壹壹映射的;壹個函數與它的反函數在相應區間上單調性壹致等。下面我就帶領大家詳細盤點壹下,供各位考生參考。
反函數的定義
壹般來說,設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到壹個函數g(y)在每壹處g(y)都等於x,這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數,記作y=f-1(x) 。反函數y=f-1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數就是對數函數與指數函數。
反函數的性質
函數f(x)與它的反函數f-1(x)圖象關於直線y=x對稱;函數及其反函數的圖形關於直線y=x對稱;函數存在反函數的充要條件是,函數的定義域與值域是壹壹映射等。反函數性質:函數f(x)與它的反函數f-1(x)圖象關於直線y=x對稱;函數及其反函數的圖形關於直線y=x對稱;函數存在反函數的充要條件是,函數的定義域與值域是壹壹映射的。
反函數和原函數之間的關系
1、反函數的定義域是原函數的值域,反函數的值域是原函數的定義域。
2、互為反函數的兩個函數的圖像關於直線y=x對稱。
3、原函數若是奇函數,則其反函數為奇函數。
4、若函數是單調函數,則壹定有反函數,且反函數的單調性與原函數的壹致。
5、原函數與反函數的圖像若有交點,則交點壹定在直線y=x上或關於直線y=x對稱出現。
質:
(1)函數f(x)與它的反函數f-1(x)圖象關於直線y=x對稱;
(2)函數存在反函數的充要條件是,函數的定義域與值域是壹壹映射;
(3)壹個函數與它的反函數在相應區間上單調性壹致;
(4)大部分偶函數不存在反函數(當函數y=f(x), 定義域是{0} 且 f(x)=C (其中C是常數),則函數f(x)是偶函數且有反函數,其反函數的定義域是{C},值域為{0} )。
奇函數不壹定存在反函數,被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數。若壹個奇函數存在反函數,則它的反函數也是奇函數。
(5)壹段連續的函數的單調性在對應區間內具有壹致性;
(6)嚴增(減)的函數壹定有嚴格增(減)的反函數;
(7)反函數是相互的且具有唯壹性;
(8)定義域、值域相反對應法則互逆(三反);
(9)反函數的導數關系:如果x=f(y)在開區間I上嚴格單調,可導,且f'(y)≠0,那麽它的反函數y=f-1(x)在區間S={x|x=f(y),y∈I }內也可導,且:
(10)y=x的反函數是它本身。?
擴展資料:
反函數定義:
設函數y=f(x)的定義域是D,值域是f(D)。如果對於值域f(D)中的每壹個y,在D中有且只有壹個x使得f(x)=y,則按此對應法則得到了壹個定義在f(D)上的函數。
並把該函數稱為函數y=f(x)的反函數,記為由該定義可以很快得出函數f的定義域D和值域f(D)恰好就是反函數f-1的值域和定義域,並且f-1的反函數就是f,也就是說,函數f和f-1互為反函數,即:
反函數與原函數的復合函數等於x,即:
習慣上我們用x來表示自變量,用y來表示因變量,於是函數y=f(x)的反函數通常寫成
。例如,函數?
的反函數是?。
相對於反函數y=f-1(x)來說,原來的函數y=f(x)稱為直接函數。反函數和直接函數的圖像關於直線y=x對稱。
這是因為,如果設(a,b)是y=f(x)的圖像上任意壹點,即b=f(a)。根據反函數的定義,有a=f-1(b),即點(b,a)在反函數y=f-1(x)的圖像上。而點(a,b)和(b,a)關於直線y=x對稱,由(a,b)的任意性可知f和f-1關於y=x對稱。
於是我們可以知道,如果兩個函數的圖像關於y=x對稱,那麽這兩個函數互為反函數。這也可以看做是反函數的壹個幾何定義。
在微積分裏,f?(n)(x)是用來指f的n次微分的。
若壹函數有反函數,此函數便稱為可逆的(invertible)。