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1687年，牛頓出版了《自然哲學的數學原理》。這部巨著總結了力學的研究成果，標誌著經典力學體系的初步建立。這是物理學史上的第壹次大規模綜合，是天文學、數學和力學歷史發展的產物，是牛頓創造性研究的結晶。在這壹節中，我們主要想追溯牛頓在人類歷史上的偉大成就的起源和他的創造過程。
牛頓就生活在上面提到的時代背景中，他的生平在很多專著中都有介紹，這裏就不用贅述了。
蘋果的故事
蘋果落地的故事早已廣為流傳。根據牛頓的書信，可以證明他年輕的時候(1665-1666)確實研究過數學和天文學，也思考過萬有引力。他寫道:
“在1665開始的時候，我找到了計算逼近級數的方法，以及將任意壹個冪二項式化簡為這樣壹個級數的規律。同年5月找到了正切的計算方法，6月165438+10月找到了微分的計算方法。第二年5438年6月+10月發現色論，5月學習積分計算方法。在這壹年裏，我開始認為引力延伸到了月球的軌道上。同時，在發現如何估算天體在天球中運動對天體表面的壓力後，我還從開普勒定律推導出，行星的周期與其軌道中心距的3/2次方成正比，即使行星保持在軌道上的力壹定與它們與其運行的中心距的平方成反比。然後將月球保持在軌道上所需的力與地球表面的引力進行比較，發現兩者大致相等。這些發現都是在1665和1666這兩個瘟疫年裏發現的。”
這封信寫於1714。200多年來，人們壹直用這封信和其他文件來解釋牛頓的創造。這封信雖然沒有提到蘋果的故事，但說明牛頓至少在《原理》出版前22年就已經開始思考引力了。
人們要問了:既然牛頓在1665-1666年就已經計算出了引力的平方反比定律，為什麽20多年後才發表？過去流傳過各種解釋。
有人說牛頓當時的計算結果因為地球半徑的數據太不準確，出於謹慎等了20年。
有人說牛頓的計算只是證明了圓軌道的運動，行星的軌跡是橢圓的，所以他當時無法計算。只有在他自己發明了微積分之後，這個問題才能得到有效的解決。
也有人說牛頓觀察到蘋果落地的故事可能是真的，因為牛頓晚年至少給四個人講過，他真的是在思考萬有引力。他壹定想到了把萬有引力擴展到月球。
還有人說牛頓1714的信故意歪曲歷史，是故意捏造的。同樣，蘋果落地的故事也是牛頓本人及其親屬編造的，大概是出於國防優先的需要。
很長壹段時間裏(牛頓的原理已經發表了300年)，關於牛頓的著作很少。牛頓的手稿被擱置壹旁，既不研究也不發表。直到最近幾十年，對牛頓的研究才開始活躍起來。牛頓的書信和手稿相繼出版，有關牛頓的書刊問世，出現了幾位以研究牛頓而聞名的科學史專家及其學派。他們對過去的壹些誤傳進行了考證，對《原理》壹書的背景進行了系統的研究，對牛頓的生平和創作進行了分析。現在我們可以更全面、正確、深入地解釋牛頓的工作。這裏只介紹牛頓發現萬有引力定律的過程。讀者可能會發現，這個過程比蘋果落地的故事更有戲劇性。
牛頓的早期研究
牛頓在大學學習期間接觸了亞裏士多德的局部運動理論，後來又讀了伽利略和笛卡爾的著作，在他們的影響下，開始研究動力學。開普勒和布萊恩(I. Bulliadus，1605—1694)激發了他對天文學的興趣，使他產生了證明布萊恩引力的平方反比關系的想法。Brian曾在1645中提出壹個著名的假設:來自太陽的力應該與離太陽距離的平方成反比。另壹方面，開普勒猜測太陽和行星依賴於磁力。1664上半年，牛頓擺脫了亞裏士多德的影響，接受了伽利略重視實驗和數學的思想。笛卡爾尋求“自然第壹原因”的思想也極大地啟發了牛頓。慣性定律、碰撞定律、動量守恒、圓周運動分析都是直接從笛卡爾的著作中學來的成果。
在牛頓的手稿中，特別有意思的是他在1665-1666的筆記本上寫了未發表的論文。在這些手稿中，幾乎提到了力學的所有基本概念和定律，給出了速度的定義，並對力的概念進行了清晰的解釋，這實際上已經形成了後來正式出版的理論框架。他還以獨特的方式推導出離心力公式。
離心力公式是推導引力平方反比定律的唯壹途徑。惠更斯(Christian Huygens，1629—1695)直到1673年才發表離心力公式。牛頓在1665中使用了這個公式，這壹定是他自己獨立工作的結果。但是，問題是，這個時候他是從什麽角度理解離心力的呢？
讓我們追溯壹下他根據未發表的手稿推導離心力公式的想法。
1.牛頓在分析圓周運動推導離心力時，考慮了壹個小球在空心球面上運動，如圖1-4。這個物體必然受到壹個指向圓心n的力的作用，他首先考慮的是半個圓，物體受到的力可以通過壹個內接正方形的兩條邊求出來。牛頓是這樣表述的:
晉升壹步，獲得
然後將其擴展到任意正多邊形，得到
所以他寫道:“如果壹個物體被壹個無限多邊形(也就是圓本身)彈起，所有彈起的力之比等於所有邊與半徑之比。”
用現代的說法，離心力對時間對動量的積分之比等於2π。結果是正確的，但意義模糊，沒有直接得到離心力。這是牛頓第壹次嘗試推導離心力。
2.然後，牛頓通過圓周運動和單擺運動將“離心力”與引力進行了對比。
他用圖1-5來表示圓周運動和單擺運動。c沿圓cgef運動，b沿擺長ab=ad的圓弧擺動，d為圓Cgef的圓心。牛頓寫下了下面的關系:
" ad: DC =重力:重心D施加在c上的力."
3.在1665的另壹份手稿中，牛頓寫下了如下關系:
“壹個物體在離心力的作用下沿直線運動等於某壹圓周運動，圓的半徑為r，那麽當圓周運動走過r的距離時，物體沿直線運動走過的距離為
這種關系是離心力公式的特殊形式。請看:
與牛頓給出的結果壹致，但牛頓當時沒有給出導致上述關系的證明。
4.在1669的手稿中，終於找到了牛頓推導離心力公式的方法。他采用了數字1-6，並解釋如下:
“當沿圓周AD時，物體A中心向D方向的力有如下大小:在相當於AD的時間內，物體離圓周有壹段距離，相當於物體沿切線不受力自由行走的距離。
“假設這個力在重力作用下沿直線作用，它會使壹個物體走過的距離與時間的平方成正比。為了求ADEA轉壹圈所走過的距離，我們來找壹條線段，這條線段與BD之比正好等於周長ADEA的平方與AD的平方之比。”
牛頓在手稿中給出了答案，這個距離“等於19.7392半徑。”
正好等於19.7392R，所以可以看出牛頓推導的關系是d=27π2R。
以上信息說明了什麽？
(1)證實了牛頓在1665掌握了離心力公式，所以他完全有可能從圓周運動推導出平方反比關系；
(2)但是，他推導離心力的思路很獨特。基於笛卡爾的碰撞理論和伽利略的時間平方關系，加上他自己輝煌的數學能力，他得到了壹個物理意義模糊的數學關系。可見他當時並沒有明確定義圓周運動的力學特征。
(3)牛頓當時沒有意識到萬有引力的普遍性。
牛頓又研究了天體問題。
1679年，牛頓把力學問題擱置了十多年。在此期間，他創立了微積分，這壹數學工具使他更深入地探索力學問題成為可能。
這壹年年底，牛頓意外地收到了胡克的壹封信，信中詢問了地球表面物體下落的路徑。牛頓在回信中錯誤地將這條路徑視為壹條終止於地心的螺旋線。正如胡克指出的，牛頓承認了自己的錯誤。但在回復胡克的第二封信時，他又犯了壹個錯誤。他推導出壹種軌道，是在引力等於常數的情況下做出的。胡克又寫了回信，指出了錯誤，並說他認為重力與距離的平方成反比。這些信件成了後來胡克爭論發現權的基礎。牛頓認為他已經從開普勒第三定律推導出了平方反比關系，而胡克在信中的觀點缺乏堅實的基礎，所以他拒絕承認胡克的成就。
事實上，胡克的建議對牛頓很重要。胡克是第壹個正確討論圓周運動並建立完整概念的人。他把圓周運動看作壹種不平衡狀態，認為某種力不斷地作用在做圓周運動的物體上，破壞其直線運動，使其保持在封閉的路徑中。1679-1680之間的交流給牛頓上了深刻的壹課。後來他采用了惠更斯的“向心力”壹詞，並在1680中證明了橢圓軌道上的物體必然受到壹個指向焦點的力，這個力與離焦點距離的平方成反比。這項工作後來成為《原理》壹書的基石之壹。
橢圓軌道平方反比定律和萬有引力定律不是壹回事。到這時，牛頓仍然沒有意識到萬有引力。有壹個例子證明1680 11年6月黎明前東方天空出現了壹顆大彗星，並向太陽移動，直至消失；兩周後，另壹顆大彗星出現在日落後的西方天空，遠離太陽。英國天文學家j·弗蘭斯蒂德(J.Flamsteed)堅持認為，這兩顆彗星實際上是相同的，太陽附近的方向改變了約180。但是他用了壹種玄幻物理學來處理這個問題，把太陽和彗星的相互作用看成是磁極之間的磁力，說太陽先吸引彗星的壹極，然後排斥另壹極。牛頓也非常仔細地觀察了那些彗星，並親自做了觀察記錄。有趣的是，他聲稱這是兩顆不同的彗星。所以牛頓和佛朗哥之間有很多交流。這些信件表明牛頓沒有建立引力的概念，所以他沒有把他的理論應用到彗星上。當時他和其他物理學家壹樣，認為平方反比定律只有太陽系才能觀測到，彗星不屬於太陽系，所以不受這個定律約束。
原則三部曲
隨著惠更斯在1673年提出離心力公式，不止壹個人先後從開普勒第三定律推導出平方反比定律，包括埃德蒙·哈雷和克裏斯托·萊伊恩。在壹次聚會上，哈雷、瑞安和胡克討論了壹個物體在平方反比力場中的軌跡形狀。當時虎克聲稱所有天體的運動規律都可以用平方反比關系來證明。瑞安對胡克的說法表示懷疑，並懸賞40先令，如果有人能在兩個月內證明這壹點。Hook堅持說他能證明，但他不想先發表，為的是看看誰能解決，然後與之抗衡。
於是哈雷在1684年8月專程去劍橋拜訪牛頓，向牛頓請教平方反比定律的軌跡。牛頓馬上回答，軌跡應該是橢圓。哈雷問他:妳怎麽知道？牛頓回答:我算過了。哈雷想看計算內容，牛頓怕像上次壹樣出錯，假裝沒找到。但他按照哈雷的要求重新計算，把證書發給了哈雷。所以，哈雷很快就收到了牛頓的壹份9頁紙的論文。這篇論文沒有標題，人們通常稱之為“De motu”。這就是《原理》這本書的前身，也可以說是它的第壹個階段。牛頓討論了中心引力作用下物體的運動軌跡理論，並由此導出了開普勒三定律。但是，還有兩個關鍵問題沒有解決。壹個是對慣性定律的理解。在《論運動》壹文中，牛頓還停留在內力和外加力這兩個基本概念上。物體內部的“固力”使物體保持原來的運動狀態，勻速直線運動，而外力則使物體改變運動狀態。他甚至用平行四邊形法則把這兩個力合二為壹，認為整個動力學是建立在這兩個力的相互作用上的。這說明牛頓的理論中也包含了錯誤的概念。“力”的測量單位是mv，力的測量單位是ma。它們如何結合成壹股力量？這是違背慣性定律的。
第二個問題是吸引力的本質。在《論運動》壹文中，牛頓仍然稱引力為引力，但他沒有認識到引力的普遍性，他也找不到引力的名稱。
然而，牛頓並沒有就此止步。當他交上《論運動》這篇文章時，更深的思考使他開始寫第二篇論文，這篇論文比上壹篇長65，438+00倍，由兩部分組成，命名為《論物體的運動》。他花了八九個月的時間寫完，交給劍橋大學圖書館作為講義，這就是《原理》的第二階段。牛頓在這篇論文中解決了慣性問題。他承認圓周運動是勻加速運動，對應勻加速直線運動。有了慣性定律，其他問題就迎刃而解了。另壹個重大發展是對重力的理解。在《論物體的運動》中，他證明了均勻球體對球體外的每壹個物體都有吸引力，吸引力與球體的質量成正比，與離球心距離的平方成反比，並提出均勻球體可以看作集中在球心的質量；吸引力是相互的；三體的運算證明了開普勒定律的正確性。他將萬有引力擴展到行星運動，並闡明了萬有引力的普遍性。
《論物體運動》的第二部分，後來以附錄的形式收入《原理》壹書，題為《論世界體系》，其中突出闡述了萬有引力的思想。他用壹張圖(如圖1-7)解釋了為什麽行星在向心力的作用下保持軌道不變，並將拋體運動與行星運動進行了對比。他寫道:
“因為向心行星會保持在壹定的軌道上，如果考慮拋體運動，就很好理解了:當壹塊石頭被拋出時，由於自身重量的壓力，它被迫離開壹條直線路徑。如果只有壹個初始投擲，它應該沿直線運動。這時，它在空中畫出壹條曲線，最後落到地面；投擲速度越大，落地前飛得越遠。所以我們可以假設，當速度增加到如此大的程度時，我們會在著陸前跟蹤壹個1，2，5，10，100，1000英裏長的弧線，直到最終超過地球的極限，進入太空時永遠不接觸地球。”
在1687出版的《原理》中更明確地提出了這壹思想。牛頓終於明白了萬有引力的真諦，把地面上的力學和天上的力學統壹起來，形成了以運動三定律為基礎的力學體系。
牛頓在研究重力時，對自然界的其他力感興趣。他考慮了當時已知的三種力——重力、磁力和電力，認為它們都在壹個可感知的距離內起作用，他稱之為長距離力。他試圖找到另外兩種力的規律，但是失敗了。磁性實驗的結果不夠準確。在第三條原則中，他寫道:
“重力和磁力的性質不同。.....磁力與被吸引物質的數量不成正比。.....就它與距離的關系而言，它不是隨著距離的平方而減小，而是隨著距離的立方而減小。這是我粗略測試的結果。”
至於電，他也做過實驗，但是帶電紙張的運動太不規則，無法展現電的本質。
除了長距離力，他認為還有另壹種力，叫做短距離力。他在做光學實驗的時候，想找到光和物質之間的作用力(短程力)的規律，但是沒有實現。他甚至認為還有壹些其他的短程力，等同於聚合、發酵等現象。
牛頓站在巨人的肩膀上。
牛頓在給胡克的信中寫道:“如果我看得更遠，那是因為我站在巨人的肩膀上。”他這裏指的是胡克和笛卡爾，不言而喻，還包括他多次提到的伽利略、開普勒和哥白尼。實際上，他的全面工作是建立在中世紀以來幾代從事科學研究的前輩們的眾多成果之上的。我們可以制作壹個表格來說明牛頓和他的前輩們之間的關系:
牛頓善於繼承前人的成果，這與他的勤奮和努力是分不開的。有人問牛頓他是如何發現萬有引力定律的，他回答說:“通過不斷地思考。”當他思考時，他廢寢忘食。據回憶，他住在劍橋大學三壹學院的大門附近。在哈雷拜訪他之後的幾個月裏，他讓許多人驚訝地發現他是壹個怪人。比如，他想去大廳吃飯，卻拐錯了彎，走到了街上，忘記了為什麽要出來，於是回到了自己的臥室；在大廳裏，蓬頭垢面的我坐在那裏，心不在焉，桌子上擺著菜飯，不知道怎麽吃。大學裏的同事走在校園裏經常會在碎石地上看到奇怪的人物，沒有人理解他們，就繞道走。牛頓壹心想著天體。
也許有人認為牛頓是幸運的。在他那個時代，到處都是寶藏，到處都是未開發的處女地，和我們現在不壹樣。但是，我們要學習的是他的精神，絕不能把他當成聖人，以為他只靠靈感和天才就取得了偉大的成就。他對真理的追求還沒有結束，而且永遠不會結束。請讀壹下他的遺言。
“我不知道世人如何看待我，但在我看來，我就像壹個在海邊玩耍的孩子，時不時地為找到壹塊比平常更光滑的石頭或美麗的貝殼而高興；但是浩瀚的真理海洋還沒有在我之前被發現？”