(1)公因子法
(1)公因式:每壹項的公因式稱為這個多項式項的~。
②公因式的提取方法:壹般來說，如果多項式的每壹項都有壹個公因式，可以把這個公因式放在括號外，把多項式寫成因子積的形式。這種分解因子的方法叫做提取公因子。
am+bm+cm=m(a+b+c)
③具體方法:當所有系數都是整數時，公因數公式的系數應取所有系數的最大公約數；字母取每項的同壹個字母，每個字母的索引取最低的度數。如果多項式的第壹項為負，通常會提出壹個“-”號，使括號中第壹項的系數為正。
⑵運用公式法。
①方差公式:。a 2-b 2 = (a+b) (a-b)
②完全平方公式:a 2 2ab+b 2 = (a b) 2。
能用完全平方公式分解因子的多項式壹定是三項式，其中兩個可以寫成兩個數(或公式)的平方和，另壹個是這兩個數(或公式)的乘積的兩倍。※ 。
③立方和公式:A 3+B 3 = (A+B) (A 2-AB+B 2)。
三次差分公式:a 3-b 3 = (a-b) (a 2+ab+b 2)。
④完全立方公式:a 3 3a 2b+3ab 2 b 3 = (a b) 3。
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a m+b m =(a+b)[a(m-1)-a(m-2)b+...-b (m-2) a+b (m-1)] (m是奇數)。
⑶分組分解法
分組分解:將多項式分組，然後分解因子的方法。
分組分解法壹定要有明確的目的，就是分組後可以直接提取公因子或者使用公式。
(4)拆分和補充項目的方法
分解補充法:將多項式的壹項分解或填充兩項(或幾項)彼此相反，使原公式適用公因式法、公式法或群分解法；需要註意的是，變形必須在與原多項式相等的原則下進行。
5]交叉乘法。
①x2+(p q)x+pq型公式的因式分解。
這類二次三項式的特點是:二次項的系數為1；常數項是兩個數的乘積；線性項的系數是常數項的兩個因子之和。所以我們可以直接分解壹些系數為1: x 2+(p q) x+PQ = (x+p) (x+q)的二次三項式因子。
②kx2+MX+n型公式的因式分解
如果可以分解成k = AC，n = BD，AD+BC = M，那麽
kx^2+mx+n=(ax b)(cx d)
a \ - /b ac=k bd=n
c / - \d ad+bc=m
多項式分解的壹般步驟。※:
(1)如果多項式項有公因子，那麽先提公因子；
(2)如果沒有公因子，那就嘗試用公式和交叉乘法來分解；
(3)如果以上方法無法分解，可以嘗試分組、拆分、添加條目的方式進行分解；
④必須進行因式分解，直到每個多項式因子都不能再分解為止。
(6)應用階乘定理:若f(a)=0，則f(x)壹定包含階乘(x-a)。如果f (x) = x 2+5x+6，f(-2)=0，則可以確定(x+2)是x 2+5x+6的因子。
經典例子:
1.分解因子(1+y)2-2x 2(1+y 2)+x 4(1-y)2。
解:原公式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)。
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2.證明對於任意壹個數x，y，下面公式的值不會是33。
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解:原公式=(x ^ 5+3x ^ 4y)-(5x ^ 3y ^ 2+15x ^ 2y ^ 3)+(4xy ^ 4+12y ^ 5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
當y=0時，原公式= x 5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，33不能分成四個以上不同因子的乘積，所以原命題成立。
十二種因式分解方法
把壹個多項式變換成幾個代數表達式的乘積稱為這個多項式的因式分解。因式分解有多種方法，總結如下:
1，公益事業法
如果多項式的每壹項都包含壹個公因子，那麽可以提出這個公因子，這樣多項式就可以轉化為兩個因子的乘積。
例1，因式分解因子x -2x -x(2003年淮安市中考)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、公式法的應用
因為因式分解和代數表達式乘法有倒數關系，如果把乘法公式倒過來，就可以用來分解某些多項式。
例2，因式分解因子a +4ab+4b (2003年南通市中考)
解:a +4ab+4b =(a+2b)
3.分組分解法
對多項式am+an+bm+bn進行因式分解，可以先將其前兩項分成壹組並提出公因子A，再將其後兩項分成壹組並提出公因子B，從而得到a(m+n)+b(m+n)，我們也可以提出公因子m+n，從而得到(a+b) (m+)。
例3。分解因子m +5n-mn-5m
解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n。
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4.叉乘法
對於壹個mx +px+q形式的多項式，若a×b=m，c×d=q，ac+bd=p，則該多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)。
示例4，因子分解因子7x -19x-6
分析:1 -3
7 2
2-21=-19
解決方案:7x -19x-6=(7x+2)(x-3)
5.匹配方法
對於那些不能用公式法的多項式，有的可以用它做壹個完全平坦的方式，然後用平方差公式進行因式分解。
例5，因子分解因子x +3x-40
溶液x +3x-40=x +3x+() -() -40
=(x+ ) -()
=(x++)(x++)
=(x+8)(x-5)
6、拆除和添加方法
多項式可以分成幾部分，然後進行因式分解。
例6:分解因子bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解法:BC(B+C)+CA(C-A)-AB(A+B)= BC(C-A+A+B)+CA(C-A)-AB(A+B)。
= BC(c-a)+ca(c-a)+BC(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7.替代方法
有時候在因式分解的時候，可以選擇多項式的相同部分，用另壹個未知數替換，然後因式分解，最後再轉換回來。
示例7，因子分解因子2x -x -6x -x+2
解:2x-x-6x-x+2 = 2(x+1)-x(x+1)-6x。
=x [2(x + )-(x+ )-6
設y=x+，x [2(x+)-(x+ )-6。
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、根式法
設多項式f(x)=0，求其根為x，x，x，…x，...x，那麽多項式可以分解成f (x) = (x-x) (x-x)...(x-x)。
例8，因式分解因子2x +7x -2x -13x+6
解法:設f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0。
根據綜合劃分，f(x)=0的根是-3，-2，1。
那麽2x+7x-2x-13x+6 =(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)。
9.鏡像法
設y=f(x)，作函數y=f(x)的圖像，求交點x，x，x，…x，...x在函數圖像和x軸之間，那麽多項式可以分解成f (x) = f (x) = (x-x) (x-x)...(十
例9，因式分解x +2x -5x-6
解法:設y= x +2x -5x-6。
使其成像，如右圖，與X軸的交點為-3，-1，2。
那麽x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)。
10，主成分法
首先選擇壹個字母作為主元素，然後按照字母的個數從高到低排列項目，再進行因式分解。
示例10，因式分解因子a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
解析:本題可以選擇A作為主元素，從高到低排列。
解法:a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)= a(b-c)-a(b-c)+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11，使用特殊值方法
將2或10代入X，求出數P，將數P分解為質因數，適當組合質因數，將組合後的各因數寫成2或10的和與差，將2或10化簡為X，從而得到因式分解。
示例11，因式分解因子x +9x +23x+15
解法:設x=2，則x+9x+23x+15 = 8+36+46+15 = 105。
105分解成三個質因數的乘積，即105=3×5×7。
註意多項式中最高項的系數是1，而3，5，7分別是x+1，x+3，x+5，當x=2時。
那麽x+9x+23x+15 =(x+1)(x+3)(x+5)。
12，待定系數法
首先判斷因式分解因子的形式，然後設置相應代數表達式的字母系數，求出字母系數，從而分解多項式因子。
示例12，分解因子x -x -5x -6x-4
解析:很容易知道這個多項式沒有壹次因子，所以只能分解成兩個二次因子。
解法:設x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x+(a+c)x+(AC+b+d)x+(ad+BC)x+BD
所以解決方案是
那麽x-x-5x-6x-4 =(x+x+1)(x-2x-4)