實數是數學中最基本的概念之壹。實數可以和數軸上的點壹壹對應。數學分析中所研究的函數的自變量都取實值，所以認識和理解實數是建立嚴格的分析理論(“分析基礎”)不可或缺的基礎。實數包括有理數和無理數，從歐幾裏得開始，人們就把它們理解為可公度和不可公度的單位長線段的長度。到了17世紀，人們已經習慣了實數的使用，開始脫離了實數的幾何原型，抽象地理解實數。然而，到了19世紀中葉，在嚴格分析的過程中，人們發現他們對實數尤其是無理數的認識仍然模糊，因為有些事實無法證明(例如柯西無法證明他提出的收斂準則的充分性)，有些證明是錯誤的(例如波爾紮諾證明了連續函數的中間值)，這促使壹批數學家開始關註處理無理數的問題。通過他們的努力，在近半個世紀的時間裏，他們終於建立了各種形式不同但本質等價的嚴格實數理論。所有形式的構造性實數理論都是從有理數開始定義無理數，也就是說數軸上所有有理點之間的空隙(無理數點)都可以由有理數以壹定的方式確定。然後證明了這樣定義的實數(原來的有理數和新定義的無理數)具有人們過去所知道的關於實數的所有性質，尤其是連續性。這些形式上不同的實數理論由於確定差距的方法不同而相互區分。主要包括:戴德金的有理數的劃分方法，康托爾的利用有理數基本列的方法，維爾斯特拉斯的利用無限(無環)小數的方法，以及利用閉區間集和有理性端點的有界單調有理數列的方法。從現代數學的立場來看，上述方法都是基於實數具有某些特征的假設(比如戴德金的方法假設實數的連續性，康托爾的方法假設完備性，閉區間集的方法反映實軸上有界閉集的緊性)，而這些特征在實數範圍內都是等價的，所以這些方法定義的實數都是相同的。此外，還有壹種完全不同的定義實數的方法(即“實數公理”)。他把實數的壹些基本性質列為公理系統，然後把滿足這個公理系統的對象定義為實數。基於這些公理的實數理論也等價於基於上述構造方法的實數理論。
當然，還需要指出的是，不僅極限理論需要在實數系中成立，中學數學中的很多初等函數，除了多項式和有理分式，都不能在沒有實數的情況下定義。學生很容易將無限無環小數定義為無理數，但在這樣定義的實數系中四則運算是如何進行的，還完全不清楚，實際上也不簡單。當指數和對數都是實數時，就更難定義了。可見，即使為了給出初等函數的嚴格定義，也有必要回答什麽是實數的問題。當然，這不是中學數學的任務。
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