算術壹般是指自然數和正分數的四則運算，同時作為現代小學課程的內容，主要通過計數和測量來介紹壹些簡單的應用題。雖然算術的主要內容並不難，但它是數學中最古老的分支。千百年後，它作為經驗逐漸積累並固化在人們的意識中。自然數是為了滿足生產生活中計算和計數的需要而提出的抽象概念。除了計數要求，還計算包括長度、重量、時間在內的各種量，於是分數進壹步出現。現代初等算術運算方法的發展起源於10世紀或11世紀的印度。通過阿拉伯人傳播到歐洲。在15世紀，它被改造成現在的形式。19世紀中期，格拉斯曼首次成功地選擇了壹個定義加法和乘法運算的基本公理系統。作為邏輯的結果，算術的其他命題可以從這個系統中導出。後來皮亞諾進壹步完善了格拉斯曼的體系。算術的基本概念和邏輯推理的規則，以人類的實踐活動為基礎，深刻地反映了世界的客觀規律，形成了數學其他分支最堅實的基礎。
初等代數是古代算術的演變、普及和發展。在古代，當算術積累了豐富的數量問題的解法時，為了找到壹種更系統、更通用的方法來解決各種數量關系問題，產生了以方程的解為中心問題的初等代數。以至於很長壹段時間以來，數學家們都把代數理解為方程的科學，並把精力集中在方程的研究上。也就是說，數和字的代數運算的理論和方法，更確切地說，是多項式的代數運算的理論和方法，其研究方法是計算性的。
討論方程，首先是如何把實際中的數量關系表示成代數表達式，並根據等價關系列出方程。代數表達式包括代數式、分式和根式。代數表達式可以進行加減乘除四則運算，也可以進行乘法和開方運算，並且遵守基本的運算規律。
在解方程問題的發展中，數系得到了擴展。算術中討論的整數和分數的概念擴展到有理數的範圍，所以初等代數可以解決更多的問題。但仍有壹些方程在有理數範圍內無解。於是，數的概念又壹次擴展到實數，並進壹步擴展到復數。
那麽在復數的範圍內還會有無解的方程嗎，復數需要展開嗎？不要！代數中的壹個著名定理——代數基本定理說明壹個n次方程有n個根。1742 15年2月15日，歐拉在壹封信中明確闡述了代數的基本定理，德國數學王子高斯在1799年給出了嚴格的證明。
基於以上描述，初等代數的基本內容是:
有了以上的基本內容，我們可以看到，現代中學課程中設置了初等代數內容的學習。作為算術的延續和推廣，主要問題是代數的有限次代數運算和生成方程組的求解。
解代數方程的簡史；
初等代數進壹步向兩個方向發展:未知數較多的線性方程組；未知量較高的高階方程。這兩個方向的發展使得代數發展到了高等代數的階段。高等代數作為代數學發展到高級階段的總稱，包括很多分支。現在大學開設的高等代數壹般包括兩部分:線性代數和多項式代數。
高等代數的研究對象在初等代數的基礎上進壹步拓展，引入了包括集合、向量、向量空間、矩陣、行列式等新概念。這些新概念具有與數相似的運算特征，但其研究方法和運算手段更為抽象和復雜。新對象的運算並不總是符號數的基本運算法則。於是代數就被納入了代數體系，包括群論、環論、場論。其中，群論是研究數學和物理現象對稱性規律的有力工具，也成為現代數學中最普遍、最重要的數學概念，在其他部門中被廣泛應用。
高等代數的基本內容
多項式可以看作是壹種簡單函數，它的應用非常廣泛。多項式理論的中心問題是代數方程根的計算和分布，也稱為方程理論。多項式理論的學習主要在於討論代數方程的性質，尋找求解的方法。
多項式代數研究的內容有整除論、最大公因式、多重因子等。整除性對於求解代數方程非常有用。求解代數方程對應的多項式的零點問題，零點不存在，對應的代數方程無解。
線性代數中最重要的概念是行列式和矩陣。行列式的概念最早是由日本數學家關曉和在1683年出版的《解題方法》壹書中提出的，並有詳細的描述。萊布尼茨是第壹個提出行列式概念的歐洲人。1841年，德國數學家雅可比總結並提出了行列式的系統理論。
行列式有壹定的計算規則，可以作為解線性方程組的工具，把壹個線性方程組的解表示成壹個公式，這也意味著行列式是壹個數或者是壹個運算。
因為行列式的行數和列數相同，所以排列的表是正方形的。通過對行列式的研究，發現了矩陣的理論。矩陣就是數組，行數和列數不要求相等。利用矩陣，可以將線性方程組中的系數形成向量空間中的向量；基於矩陣理論，多元線性方程組解的結構性問題得到了徹底解決。此外，矩陣還廣泛應用於力學、物理學、科學和技術中。
抽象代數又稱現代代數，其創始人之壹是伽羅瓦，被譽為天才數學家。伽羅瓦通過研究代數方程根解存在所滿足的條件，給出了全面而徹底的解答，解決了困擾數學家幾百年的難題，提出了“伽羅瓦域”、“伽羅瓦群”、“伽羅瓦理論”作為近代代數研究中最重要的課題。伽羅瓦群論是公認的19世紀最傑出的數學成就之壹。伽羅瓦群論也給出了判斷幾何圖形能否用直尺畫的壹般方法，圓滿地解決了任意角的等分和立方體相乘的問題。更重要的是，群論開辟了壹個全新的研究領域，用結構研究代替了計算，改變了從強調計算研究到運用結構概念研究的思維方式，對數學運算進行了分類，使群論迅速發展成為壹個全新的數學分支，對近代代數的形成和發展產生了重大影響。
1843年，漢密爾頓發明了不滿足乘法交換律的“四元數”。第二年，格拉斯曼又推導出了幾個更壹般的代數。1857年，Gloria設計了另壹個非交換矩陣代數。這些研究打開了抽象代數的大門。實際上，通過弱化或刪除普通代數的某些假設，或者用其他相容的假設代替某些假設，可以得到很多種代數系統。
抽象代數的創始人和理論
抽象代數的研究對象是各種抽象的、公理化的代數系統。由於代數可以處理實數和復數之外的向量、矩陣、變換等對象，並且分別依靠各自的微積分定律，數學家對其部分內容進行了升華和抽象，達到了抽象代數的更高層次，使其成為當代大多數數學的共同語言。抽象代數本身包含群、環、伽羅瓦理論、格理論等許多分支，並與數學的其他分支交叉產生代數幾何、代數數論、代數拓撲、拓撲群等新的數學學科。