設f' (x) > 0,x > e-
1
2
如果f′(x)< 0,我們可以得到0 < x < e-
1
2
∴f(x)具有單調遞增的區間(e-
1
2
,+∞),單調遞減區間為(0,e-
1
2
);
(2)證明:F(x)= 1
f(x)
x+1
+x-lnx=xlnx+x,則F'(x)=2+lnx,
∴F(x)在(0,e-2)處單調遞減,在(e-2,+∞)處單調遞增。
∴f(x)≥f(e-2)=-e-2;
(3)解:∫f(x)=(x2-2ax+a2)lnx,
∴f′(x)=
x-a
x
(2xlnx+x-a),
設g(x)=2xlnx+x-a,則g'(x)=3+2lnx,
∴g(x的單調遞增區間)是(e-
1
2
,+∞),單調遞減區間為(0,e-
1
2
);
∴g(x)≥g(e-
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2
)=-2e-
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2
-答。
①當a ≤ 0時,∵函數f(x)沒有極值點,∴-2e-
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2
-a≥0,
∴a≤-2e-
1
2
②當a > 0時,g(x)min=-2e-
1
2
-a < 0,即函數g(x)在(0,+∞)處有壹個零點,記為x0,
函數f(x)沒有極值點,
∴x=a是方程f′(x)= 0的重根,
∴2alna+a-a=0,∴a=1,
0 < a < 1,x0 < 1且x0≠a,函數f(x)的極值點為a和x0;
當a > 1,x0 > 1且x0≠a時,函數f(x)的極值點為a和x0;
當a=1,x0=1,函數f(x)沒有值。
綜上所述,a≤-2e-
1
2
或者a=1。