設f' (x) > 0，x > e-
1
2
如果f′(x)< 0，我們可以得到0 < x < e-
1
2
∴f(x)具有單調遞增的區間(e-
1
2
，+∞)，單調遞減區間為(0，e-
1
2
);
(2)證明:F(x)= 1
f(x)
x+1
+x-lnx=xlnx+x，則F'(x)=2+lnx，
∴F(x)在(0，e-2)處單調遞減，在(e-2，+∞)處單調遞增。
∴f(x)≥f(e-2)=-e-2；
(3)解:∫f(x)=(x2-2ax+a2)lnx，
∴f′(x)=
x-a
x
(2xlnx+x-a)，
設g(x)=2xlnx+x-a，則g'(x)=3+2lnx，
∴g(x的單調遞增區間)是(e-
1
2
，+∞)，單調遞減區間為(0，e-
1
2
);
∴g(x)≥g(e-
1
2
)=-2e-
1
2
-答。
①當a ≤ 0時，∵函數f(x)沒有極值點，∴-2e-
1
2
-a≥0，
∴a≤-2e-
1
2
②當a > 0時，g(x)min=-2e-
1
2
-a < 0，即函數g(x)在(0，+∞)處有壹個零點，記為x0，
函數f(x)沒有極值點，
∴x=a是方程f′(x)= 0的重根，
∴2alna+a-a=0,∴a=1，
0 < a < 1，x0 < 1且x0≠a，函數f(x)的極值點為a和x0；
當a > 1，x0 > 1且x0≠a時，函數f(x)的極值點為a和x0；
當a=1，x0=1，函數f(x)沒有值。
綜上所述，a≤-2e-
1
2
或者a=1。