分析方法和綜合方法
在數學證明中，如果推理的方向是從驗證到已知，或者從未知到已知，這種思維方法就叫分析。反之，如果推理的方向是從已知到驗證，或者從已知到未知，這種思維方法就叫綜合法。
示例1
已知A和B是不相等的正數。證明:
a3+B3 & gt；a2b+ab2
證明方法壹
分析
想證明
a3+B3 & gt；
a2b+ab2
只是想證明
(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b).
∵a & gt；b，b & gt0，a+b & gt；0,
∴只要證書a2-a b+ B2 & gt；ab，a2-2ab+B2 & gt；0,
即(a-b)2 >；0，而這顯然是真的。
所以a3+B3 & gt；
a2b+ab2 .
證候方法2
綜合法
∵a≠b，
∴a-b≠0,(a-b)2>；0,
也就是
a2-2ab+B2 & gt；0，a2-a b+ B2 & gt；ab .
和
a & gt0，b & gt0，a+b & gt；0,
∴
(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)，
因此
a3+B3 & gt；
a2b+ab2
二
直接證據法和間接證據法
在數學證明中，從正面證明命題真值的方法稱為直接證明。任何通過演繹證明命題為真的東西都是直接證明。是中學數學中常用的證明方法。證明題目真實性的方法不是直接證明題目的真實性，而是通過證明題目的否定命題不真實或者證明其等價命題成立，稱為間接證明。間接證明方法主要有歸謬法和同歸法。
1.
歸謬法
通過證明題目的否定題目是不真實的，來肯定題目的真實性的方法叫歸謬法。
有歸謬法和窮盡法兩種。
反證法的壹般步驟如下:
(1)假設命題的結論不成立(即結論的否定成立)；
(2)從否定結論出發，逐步推理，得出與公理或前述定理、定義或條件相矛盾，或與臨時假設相矛盾的結論(即結論不能被否定)；
(3)根據排中律，原命題最終得到證實。
在應用歸謬法時，如果命題結論的否定只有壹種可能的情況，那麽只要這種情況被推翻，結論就可以被肯定。這種歸謬法叫做歸謬法(見例2)。如果命題結論的否定方面的情況不止壹種，那麽否定方面所有可能的情況都必須壹壹反駁，才能確定結論成立。這種歸謬法叫做窮舉法(見例3)。
示例2
驗證:
cos10
這是壹個無理數。
證明假設
cos10
記住，這是壹個有理數。
cos10
=
(p和q是質數)，
然後cos30
=4cos310
-3cos10
=4(
)3-3(
)
是壹個有理數，
和cos30
=
是壹個無理數，
這與已知的假設相矛盾，所以cos10。
這是壹個無理數。
示例3
如圖，在△ABC中，已知BE和CF分別是B和C的平分線，BE=CF，驗證:AB=AC。
證明:若AB≠AC，則有AB >；AC或AB
AC，那麽∠ACB & gt；∠ABC，
∴∠bcf>；∠CBE，BF & gtCE，
∵
BF=EG，
∴
EG & gtEC，∠ECG & gt；∠EGC .
和
∠FCG=∠FGC，
∴∠fce<；FCE=∠FBE .
規則
∠ACB & lt；∠ABC(與假設相矛盾)，
也就是
AB & gtAC，那不可能
(2)
同樣的道理也可以證明，AB
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