？既然已經決定重拾平行線的概念，那麽應該從哪裏去探索呢？我覺得應該是從如何確定兩條直線成平行線的關系，雖然平行線的構圖標準早就知道了:在壹個平面內，兩條直線不相交。但是，如果給妳看兩條直線的壹小部分，不知道是什麽關系，如何快速分辨這兩條直線是否平行？延伸？但是如果這兩條直線不是平行線，但是離平行線也不遠，相交也就幾百公裏，那豈不是太麻煩判斷了？因此，我們迫切需要壹種能夠快速區分平行線的方法。
可以只用這兩條直線來判斷嗎？用尺子蓋住其中壹條直線的壹段，向上平移。如果平移軌跡完全重合，看起來兩條直線是平行的，但是看起來會有很多誤差，比如向上平移的時候會握手，那麽不是壹個極其不準確的結果嗎？如果不用尺子，怎麽測量？這時妳可以引入另壹條直線，想把這兩條直線交叉起來，這樣就形成了八個角:
？如果這兩條直線平行(直線A和直線C)，那麽貫穿這兩條直線的直線X Y的入射角實際上是相等的。這樣，如果直線A和直線C是平行線，直線A和直線C上會有四個角，這四個角和另壹條直線的四個角對應的角是相等的(如果直線A和C不是平行線，對應的角也不會相等，因為直線X Y雖然以相同的角度進入，但是兩條直線本身的角是不相等的，這也會造成角度誤差。)這張圖對應的角度應該是角度1和角度3，角度6和角度8，角度2和角度4，角度5和角度7。由此可以得出結論，如果所有對應的角中的壹組角相等，就可以證明兩條直線平行。
？現在可以快速證明兩條直線是否平行，只需畫壹條與兩條直線相交的直線，觀察對應的角中的角度是否相等。但是，探究完這個問題，又出現了另壹個問題。從這兩條直線平行的結論中可以發現什麽樣的性質？
既然用另壹條直線來判斷兩條直線是不是平行線，那這條直線和它產生的八個角在發現性質的時候壹定不能掉！因為那八個角最有可能產生神奇的屬性。
直線A和直線C平行時，會產生八個對應角，每個對應角都有壹個度數相同的對應角在另壹條直線上產生，而這兩個對應角壹般都出現在被貫穿直線的右側或被貫穿直線的左側，所以稱為同余角。如果兩條直線平行於A和C，則相對全等角似乎總是相等的。然而，如何證明這個猜想呢？似乎無法證明？任何證明過程都需要壹個基點，而在此之前，沒有基點來推斷這個性質。等腰角相等的猜想其實是數學定理中的壹個公理，無法證明，不言自明。但是，壹個不經意的公理是沒有說服力的，畢竟沒有嚴謹的邏輯推理過程。所以必須用真實圖形進行模擬嘗試，才能基本確定公裏的精度。經過幾何變換，我們發現所有模擬中的同余角相等，證實了公理的可靠性，並得到了第壹個性質:當兩條直線被另壹條直線截且同余角相等時，則兩條直線平行。使用符號語言是；因為:同樣的角度是相等的。
？所以:兩條直線平行。
有兩個角，都在直線Y的左邊或右邊，在直線A和C的內部，直觀上可以稱為同側內角。觀察了幾組數據，發現同側內角的度數之和似乎總是等於180度，但這只是猜測。我們需要通過嚴格的推理來證明這壹點。以等腰角相等為公理，推斷同側內角之和等於65440度。
已知同側內角6+角3=180度。
驗證:直線A B平行於直線C D。
？證明:因為:角度6+角度3=角度6+角度1=180度。(已知)
所以:角度3=角度1(等價替換)
所以:直線A B和直線C D平行(同角相等)。
根據推理證明，我們驗證了同側內角之和等於180度，從而確定了判斷平行線的第二個性質:兩條直線被第三條直線所截，同側內角之和等於180度，所以兩條直線平行。
象征性的語言是:因為:同側內角之和等於180度。
？所以:兩條直線平行。
回頭看，我好像看到兩個對應的角並不都是相對角，要麽都出現在貫穿直線的左側，要麽都出現在右側。比如上圖中的角度III，角度V，角度VII，角度I，看起來都是對應的度數相等的角度，但並不符合上述性質。那麽我們可能要發明壹個新的性質:角III和角V，其中壹個出現在貫穿線的左側，另壹個出現在右側，它們同時出現在直線A B和C D之間，所以姑且稱之為內錯角。角7和角1的其他性質與角3和角5相同，只是出現在直線A B和C D之外，所以姑且稱之為外錯角。由此可以得到兩個性質:內部位錯角相等，外部位錯角相等。不過這些都只是猜測，還需要通過推理來證明我們剛剛猜測的性質:內錯角和外錯角本質上幾乎是壹樣的，否則我們就只驗證內錯角是否相等吧。
已知等腰角相等，角5=角3。
驗證:兩條直線平行
？證明:因為:角度5=角度1(相交直線研究的定理:頂角相等)，角度5=角度3(已知)。
所以:角度1=角度3(等價替換)
？
所以:兩條直線平行(同壹個角度，兩條直線平行)
通過推理，我們成功地證明了內錯角相等的性質，並發現了第三、第四性質:兩條直線被另壹條直線所截，如果內錯角或外錯角相等，則兩條直線平行。
象征性的語言是:因為:外角或內角相等。
？所以:兩條直線平行。
這樣我們就找到了判斷平行線的四種方法，即相對角相等、內角相等、外角相等、同側內角之和等於180度。如果兩條直線形成的八個角滿足其中壹個性質，那麽這兩條直線肯定是平行直線。
通過這種探索，我們找到了平行線的判斷方法。那麽，平行線的性質是什麽？也可能和三線八角有關。既然同余角相等，兩線平行，內位錯角相等，兩線平行且與側內角互補，是否可以由此推斷兩線平行，同余角相等，內位錯角相等，兩線平行且與側內角互補？那麽，我們不是很順利的知道平行線的性質嗎？但這種方法似乎行不通，就像我們不能因為姚明是人就推斷那個人是姚明，也不能說狗是泰迪犬，更不能因為同位角相等就推斷兩條直線平行，因為這樣容易產生很多歧義和邏輯漏洞。看起來，雖然平行線的性質可能與平行線沒有什麽不同，但都是:兩條直線的平行同余角相等，兩條直線的平行內錯角相等，兩條直線的平行內角互補。但還是需要壹步壹步來證明。
當然，推理證明需要壹個起點，這個起點就是壹個不言而喻的公理。在平行線的判定中，我們說同角相等，兩條線平行，那麽我們不妨把兩條平行且同角的線作為壹個公理作為推理的基本點。幾何變化使這壹公理更加可信。由此得到第壹個性質，即平行線第壹定理:兩條直線平行，同角相等。
然後開始證明我們兩條直線平行，內角相等:
已知:AB並行CD
驗證:角度5=角度3
證明:因為:AB平行CD
所以:角度1=角度3。
因為:角度1=角度5(等於頂角)
所以:角度5=角度3(等價替換)
經過證明，我們成功地得到了平行線第二定理:兩條直線平行，內角相等，符號語言為；因為:AB平行於CD，所以:角度5=角度3。
接下來，給出同側內角互補的證明:
已知:AB並行CD
驗證:角度6+角度3=180度。
證明:因為:角度1=角度3。
角度1+角度6=180度。
？所以:角度3+角度6=180度(同壹角度的余角相等)。
？現在，我們已經成功證明了平行線的性質，與平行線的判斷基本壹致，即兩條直線的平行全等角相等，兩條直線的平行內角相等，兩條直線的平行內角互補。現在無論是判斷平行線還是使用平行線，都可以應對自如。