請舉例說明壹個與莫比烏斯帶有相同面數的物體。

數學家們透露，

莫比烏斯帶只有壹邊，

如果妳想把它分成兩半，

妳會覺得很可笑，

因為分離後還是壹條。

關於莫比烏斯環有三個奇跡:

莫比烏斯環只有壹面。

2.如果沿著莫比烏斯環的中間切開，就會形成壹個比原來的莫比烏斯環大壹倍、有兩邊的環(環0)，而不是形成兩個莫比烏斯環或者另外兩個環。

3.如果再沿著環0的中間切開，就會形成與環0空間相同的兩個環，這兩個環嵌套在壹起(環1和環2)。之後妳沿著環1和環2的中間以及沿著環1和環2的中間切割生成的所有環進行切割，就形成了兩個環。

數學不僅可以幫助最大尺度的形狀設計，比如三層半的復活節彩蛋，還可以幫助小尺度的設計。本章將描述大衛？美國博爾德市科羅拉多大學的。6?1沃爾巴和他的同事如何在奇怪的莫比烏斯帶中合成分子的故事。

神秘的莫比烏斯帶是數學家的寵兒。妳可以用壹條窄紙條做壹個莫比烏斯帶。比如拿壹條加法器紙帶，把它扭成兩半，然後把紙帶的兩端連起來，形成壹個閉環，就成了莫比烏斯帶。

莫比烏斯帶只有壹邊，只有壹邊。如果妳用油漆刷沿著紙帶的方向畫，妳會發現當油漆刷回到起點時，它已經畫完了紙帶的整個表面。如果妳沿著紙帶的壹面做壹個魔法標記，妳會立刻相信紙帶只有壹面。

如果沿著紙帶的方向把莫比烏斯帶剪成兩半，果然還是壹條帶子，正如五打油詩所說。

1858年，法國巴黎的壹個科學協會給數學方面的最佳論文頒獎。在本次比賽提交的論文中，德國萊比錫的數學家奧古斯特？6?1費迪南德6？1莫比烏斯“發現”了這種曲面，現在以他的名字命名。莫比烏斯只是從純數學的角度來討論他的發現，比如他沒有用自然界的分子來討論莫比烏斯的可能性。

誠然，莫比烏斯沒有想到莫比烏斯帶等分子存在的可能性，因為當時的有機化學科學還處於起步階段，人們連最簡單的分子形狀都壹無所知，更不用說對數學有意義的復雜分子了。在莫比烏斯發現的同時，德國波恩大學的奧古斯特？6?1凱庫勒宣布了他的發現，碳原子可以連接起來形成長鏈，這將成為有機化學的基礎。

四年前，凱庫勒在倫敦的壹輛公共馬車上第壹次想到了碳鏈。他回憶說:“那是壹個陽光明媚的夏夜。我坐最後壹班長途汽車回家，像往常壹樣坐在‘車頂’座位上，穿過大城市沒有行人的街道。在平時，這是壹個充滿活力的城市。我陷入幻想，我似乎看到許多原子在我眼前跳躍...我經常看到兩個較小的原子如何結合形成偶數原子，1個較大的原子如何環繞兩個較小的原子；還有較大的原子如何抓住三個甚至四個較小的原子，同時，它們如何在令人眩暈的舞蹈中快速旋轉。我也看到了較大的原子是如何形成鏈的...無論如何，我會在晚上花些時間把這些幻想中形成的形態輪廓寫進我的論文裏。”

11年後，1865年，凱庫勒意識到碳鏈可以旋轉並形成環狀。夢想再次激勵了他。“我坐著寫課本，但工作毫無進展，思緒紛亂。我把椅子轉向壁爐，打起了瞌睡。原子又在我眼前跳躍了。此時，較小的原子小心翼翼地留在襯底上。通過這種重復的場景，我的頭腦和眼睛更加敏銳，現在我可以分辨出各種形式的更大的結構，它們排成長排，有時更緊密地拼接在壹起；整個線條曲折，像蛇壹樣移動。看啊！那是什麽？壹條蛇咬著自己的尾巴，在我眼前嘲弄地旋轉，像壹道閃電，把我驚醒...那天晚上，我推斷出壹個假設的結論。”

首先，凱庫勒推導出苯的結構，它由六個碳原子和六個氫原子組成。凱庫勒得出結論，六個碳原子形成壹個六邊形，每個碳原子上連接壹個氫原子。

自從凱庫勒確定了苯的形狀，在120年內，有機化學家肯定發現了更復雜的分子形狀，如雙螺旋DNA分子。但是直到最近幾年，化學家們才觀察到莫比烏斯帶形狀的分子。

莫比烏斯分子不是在自然界發現的，而是由大衛？6?1是沃爾巴和他的同事在實驗室合成的。起初，他使用形狀像三階梯的分子進行合成。階梯的每壹步其實都是壹個碳碳雙鍵，這裏可以忽略。然後把梯子彎過來，把兩端連接起來，讓它實際上形成壹個環。

環的壹半只是壹條環形帶，而在另壹半，當它的兩端連接起來時，這壹半就扭曲成了莫比烏斯帶。

莫比烏斯帶分子和莫比烏斯紙帶壹樣，有很多神秘的性質。如果三個碳雙鍵都斷了，那麽分子還是單分子。碳雙鍵的斷裂相當於把莫比烏斯帶沿著紙帶的中線分成兩半。對於分子和紙膠帶，結果都是壹個單壹的帶，但其周長是兩倍大。

化學家很早就知道，兩種化合物可以有相同的分子式(即由相同的化學成分嚴格按照相同的比例組成的化合物)，但它們是以不同性質的化學實體存在的。如果相同的化學成分以不同的方式或不同的角度相互結合，就可能出現這種現象。但是，兩種分子式相同的化合物，即使化學鍵相同，化學性質也可能不同。這怎麽可能？

壹個叫做拓撲學的數學分支可以解釋這種現象。它是壹門研究物體在不斷變形時保持不變的性質的數學學科。想象壹個物體是由彈性橡膠制成的。拓撲學家想知道當壹個物體被推拉，但沒有被刺穿或撕裂時，什麽屬性保持不變。這個抽象的概念可以用莫比烏斯的這個例子來形象地說明。假設妳有壹條橡膠莫比烏斯帶，妳可以用壹切可能的方法拉伸它。無論妳用多少種方式，都無法使它變形，最終的形狀永遠是單面的。因此，只有片面的自然才是拓撲學家所關心的。當壹個形狀可以連續變形為另壹個形狀時，從拓撲學的角度來看這兩個形狀被認為是等價的，所以無論莫比烏斯帶被拉伸成什麽形狀，從拓撲學的定義來看也是等價的。

現在考慮兩條莫比烏斯帶，壹條由向壹個方向扭曲的橡膠帶制成，另壹條由向相反方向扭曲的橡膠帶制成。

拓撲上，這兩條莫比烏斯帶等價嗎？它們並不等同。兩者都不能變形為另壹種形狀。如果妳在鏡子裏看這兩個帶子中的壹個，妳會看到它的圖像與另壹個帶子非常相似；這兩個帶是彼此的鏡像。

這裏我必須停下來做個否認聲明，避免數學家的惡意攻擊。數學家是壹群怪人，拓撲學家不會把自己局限在三維空間。然而，在四維空間中，他們可以證明鏡像中的莫比烏斯帶可以相互轉化。但是，我還是會堅持把我們的討論限制在三維空間，因為我們探索的主要對象的形狀總是在三維空間中被觀察到的。所以我想重申壹下，在三維中，鏡像的莫比烏斯帶和拓撲學的觀點完全不同。

為什麽兩種成分相同、化學鍵相同的化合物，會有完全不同的實體，關鍵是從拓撲學的角度來看，可能存在完全不同的鏡像。

因為右手和左手都是眾所周知的鏡像，所以人們習慣於把對面的物體稱為左撇子或右撇子。在壹對鏡像中，哪壹個叫鏡像是壹個習慣性問題。就像街道的右邊沒有絕對的位置，要看妳走的方向。兩條莫比烏斯帶壹直被稱為右手和左手的莫比烏斯帶，但不用擔心哪個是右手，哪個是左手。分子也以右旋和左旋的形式存在，這種形式被稱為手性，它是從希臘語“Cheir”中借用來的。

右手和左手的莫比烏斯帶都是鏡像的例子。從拓撲學的角度來看，它們的性質完全不同，但卻有著等價的鏡像。現在以壹個簡單的圖為例。圓是它自身的鏡像。很明顯，從拓撲學的角度來看，壹個圓就相當於它自己。

另壹個例子是字母R和它的鏡像。如果圖形R是用軟橡膠制成的，可以用拓撲變形法將其變換成它的鏡像。

然而，分子不是由軟橡膠制成的，物理約束力阻止它們以任何方式變形。盡管如此，R形分子可以在不彎曲的情況下轉變成它的鏡像——事實上，根本不需要彎曲。這壹次，如果把硬塑料制成的字母數字r和它的鏡像я放在桌子上，只要把它拿起來翻過來，其中壹個就可以變成另壹個。

這種變換被稱為剛性變換，因為物體總是保持其剛性。

很多有機分子都是剛性手性分子:在剛性上和它的鏡像完全不同。人體顯然偏愛某些手性分子。例如，大多數蛋白質由L-氨基酸和D-糖組成。在人體內合成手性分子時，只能產生所需手性的手性分子。

然而，當手性分子如藥物在實驗室中通過非生物方法合成時，結果是右旋和左旋分子的半混合。當患者服藥時，它是壹種混合物，因為很難除去不在所需形式的分子。壹般來說，不需要的形式的分子是生物惰性的，只通過身體而沒有任何影響。有時候是有害的。在20世紀60年代初，它發生在孕婦身上。

服用瑪麗·多米德的藥的事件。藥物中的右旋分子具有所需的鎮靜作用，而左旋分子可導致新生兒畸形。

英國倫敦皇家學院化學教授斯蒂芬？6?1在英國《新科學家》周刊發表的壹篇文章中，梅森註意到，在標準藥物手冊中的486種合成手性藥物中，只有88種由所需的手性分子組成。剩下的398種都是半混種。梅森得出結論:“它們都是在特定的環境(人體)中使用，某個標誌會得到特別的偏愛。但是，會有什麽效果呢？”

當壹個有機化學家分析壹個新的分子時，首先要做的就是試圖確定這個分子是否是壹個剛性的手性分子，即在剛性上是否與其鏡像完全不同。這裏可以使用拓撲學。從拓撲學的角度來看，如果分子與其鏡像不同，那麽它們的剛性也不同，因為剛性變換只能是拓撲學完成的眾多變換中的壹種。以上面討論的r及其鏡像я為例。當從壹個變換到另壹個時，可以獲得中間形狀的я，其具有對稱性，並且其左半部分是其右半部分的鏡像。

拓撲學家知道，如果壹個形狀可以轉化為具有反射對稱性的形狀，那麽這個形狀本身就可以轉化為它的鏡像。這意味著，如果壹個化學家能使壹個分子獲得具有反射對稱性的形狀，他就能消除該分子的手性。

這種觀點經常被證明是有用的。沃爾巴已經從三階階梯分子合成了分子的莫比烏斯帶，他讓我直接觀察從二階階梯分子合成的類似方法。得到的形狀是手性的嗎？如下圖所示，它不是手性的，因為它可以轉化為具有反射對稱性的形狀。

不幸的是，這個解釋似乎對三階莫比烏斯分子沒有影響。沃爾巴經過多次思維實驗後推測，變形為具有反射對稱性的形狀似乎是不可能的。如果變形後已經表現出反射對稱性，那麽他就會得出結論，三階莫比烏斯形狀可以變形為它的鏡像。但是，這種反轉正確嗎？任何未能表現出反射對稱性的變形都意味著分子本身不能變形為其鏡像？

麻煩的是答案太簡單了。沃爾巴讓我考慮兩只橡膠手套，壹只右手用，壹只左手用。

手套明明是鏡像，但是從拓撲學的角度來看，它們是等價的嗎？當然，手套在剛性上是不等價的，因為如果我們像字母R壹樣翻轉兩個手套中的壹個來得到鏡像，那就不行了。然而，如果我們把任何壹只手套翻過來，我們可以使手套等價。

(拓撲學家因此發現自己處於壹個奇怪的位置，他們既不能認為手套是右手的，也不能認為手套是左手的。)手套從裏到外翻的過程中，任何壹步手套都不具備反光對稱性。

我們也許可以得出結論，手套是壹個反例:壹個形狀在拓撲上等價於它的鏡像，但它在變形過程中不具有反射對稱性。這個結論可能是錯誤的。只是我們對手套的變形不夠。如果我們把手套拉開，至少在理論上，手套可以變形為圓盤的形狀，然後手套具有反射對稱性(任意直徑方向的反射對稱性)。

以上討論的主要觀點是沃爾巴在化學方面的研究向拓撲學家提出了壹個重要問題:如果壹個形狀在變形過程中不能具有反射對稱性，是否可以從拓撲學的角度得出該形狀本身不等價於其鏡像的結論？這是壹個基本的問題，但是在數學文獻中，似乎還沒有人提出來。

整個問題涉及到壹個重要的哲學問題:物理科學中的新概念是否經常啟發數學中的新概念？還是反過來？換句話說，物理科學和數學哪個先出現？很多哲學家都遇到過這個問題，這和眾所周知的先有雞還是先有蛋的問題是壹樣的。答案似乎不盡人意。

在這兩種情況下，人們得出的結論似乎並不是無可辯駁的證據，而是有目的的實驗。壹些追隨柏拉圖的武斷的數學家斷言他們的學科脫離了物理學的現實。他們相信，即使沒有可以計數的物體，數字也會存在。不那麽固執的數學家承認科學和數學聯系緊密，但他們堅持數學第壹。他們提出群論作為證據。群論是數學的壹個分支，誕生於19的20世紀30年代。它完全沒有物理用途，最近才被粒子物理學家應用於研究過去20年發現的亞原子粒子集。

然而，物理學家認為他們的學科是第壹位的，歷史站在他們壹邊。比如艾薩克。6?牛頓創建了微積分這個著名的數學分支，因為他需要壹個數學工具來分析微小的空間和時間間隔。在我看來，數學和科學是相輔相成的，這是唯壹公平的結論，盡管這壹判斷既不鼓舞人心，也不翔實。莫比烏斯帶的故事很好地說明了數學和物理科學之間復雜而又相互促進的關系。1858論文大賽中提出的莫比烏斯帶，只建立了純數學，現在在化學中有了發展，被化學家們熟練運用，給純理論的數學家提出了很多問題。

妳可以感到欣慰的是，莫比烏斯帶不僅可以為化學家服務，也可以為實業家服務。B.F. Goodrich公司獲得了莫比烏斯傳送帶的專利權。在普通傳送帶中，皮帶的壹側會有更多的磨損。在莫比烏斯帶中，應力可以分布到“兩側”，可以使其使用壽命提高壹倍。

莫比烏斯(Mobius，1790 ~ 1868)簡介

德國數學家和天文學家。1790 165438+10月17出生於瑙姆堡附近的舒爾普夫塔，1868於9月26日在萊比錫去世。從65438年到0809年，他進入萊比錫大學學習法律，然後轉到數學、物理和天文學。1814獲得博士學位，1816擔任副教授，1829當選柏林科學院院士，1844擔任萊比錫大學天文學和高等力學教授。

莫比烏斯的科學貢獻涉及天文學和數學。他領導建立了萊比錫大學天文臺，並擔任其主任。他因發表《行星遮擋的計算》而受到天文學家的稱贊，還撰寫了《天文原理》、《天體力學基礎》等天文著作。在數學方面，莫比烏斯發展了射影幾何的代數方法。在主要著作《重心的計算》中，他獨立於J. Pluck等人建立了代數射影幾何的基本概念——齊次坐標。在同壹本書中，他還揭示了對偶原理與極坐標的關系，並對交比概念進行了完美的處理。莫比烏斯最著名的數學發現是以他命名的單邊曲面——莫比烏斯帶。此外，莫比烏斯還對拓撲學的其他數學分支做出了重要貢獻，如球面三角形。

壹堂有趣的數學活動課

-制作神奇的莫比烏斯帶

班會主題:上周五上午，鄭老師下課後在黑板上寫下了“神奇的莫比烏斯帶(數學活動課)”。壹天中午，我們全班都在好奇的期待著這堂課。

年級:初三

活動目標:南京瑯琊路小學“科技月——手動”。

1.讓我們認識壹下莫比烏斯帶，學習把長方形的紙條做成莫比烏斯帶。

2.引導我們通過思考和運算發現和驗證莫比烏斯帶的特征，培養我們大膽猜測和探索的精神。

3.在莫比烏斯的神奇變化中感受數學的無窮魅力，拓展數學的視野，進壹步激發我們學習數學的興趣。

活動準備:準備剪刀、膠帶、彩筆、三張長方形彩紙。

活動流程:

首先，制作莫比烏斯帶

手動操作:可以首尾相連形成壹個圓圈。