第壹單元位置
1，什麽是數對？
Number pair:由兩個數字組成，用逗號分隔，並用括號括起來。括號中的數字是從左到右的列數和行數，即“先列後行”。
功能:確定壹個點的位置。經度和緯度是原則。
例:在網格圖(平面直角坐標系)中，用幾對(3，5)(第三列，第五行)表示。
註:(1)在平面直角坐標系中，X軸上的坐標代表列，Y軸上的坐標代表行。例如，數字對(3，2)代表第三列和第二行。
(2)對數(x，5)不變，表示水平線，列數(5，y)不變，表示垂直線。(壹個數不確定，壹個點無法確定)
(列，行)
↓ ↓
豎的列叫行叫行。
(從左向右看)(從下向上看)
(從前向後看)
2.圖形左右平移的行數保持不變；圖表中上下平移的列數保持不變。
3.兩點之間的距離與參考點(0，0)的選擇無關。不同的參考點導致不同的配對，但兩點之間的距離保持不變。
第二單元分數乘法
(1)分數乘法的重要性:
1，整數的分數乘法和整數乘法的意思壹樣，是求幾個相同的加數之和的簡單運算。
註意:“分數乘以整數”是指第二個因子必須是整數，而不是分數。
比如:×7的意思是:七的和是多少？七次是多少？
2.壹個數乘以壹個分數的意思就是求壹個數的分數。
註意:“壹個數乘以壹個分數”是指第二個因子必須是壹個分數，而不是整數。(第壹個因素是任何東西。)
比如,×的意思是:妳想要什麽？
9 ×的意思是:9的個數是多少？
A ×表示:a的數是多少？
(2)小數乘法的計算規則:
1，小數乘以整數的算術是:分子乘以整數，分母不變。
註:(1)為了簡化計算，可以先降分再計算。(整數和分母除數)
(2)除數就是用下面的整數和分母減去最大公因式。(整數不得乘以分母，計算結果必須是最簡單的分數)。
2.分數乘法的運算法則是:用分子乘法的乘積做分子，分母乘法的乘積做分母。(分子乘以分子，分母乘以分母)
註意:(1)如果分數乘法公式中含有帶分數，則在計算前應將帶分數轉換為假分數。
(2)分數化簡的方法是分子和分母同時除以它們的最大公因式。
(3)在乘法的過程中，除數就是在分子和分母中劃掉兩個可整除的數，然後分別在上面和下面寫上除數。(分子和分母在歸約後不得再含有公因數，這樣計算出來的結果就是最簡單的分數。)
(4)分數的基本性質:分子和分母同時被同壹個數(0除外)相乘或相除，分數的大小不變。
(3)產品與要素的關系:
壹個數(0除外)乘以壹個大於1的數，乘積大於這個數。A×b=c，當b >時；在1，c & gta.
壹個數(0除外)乘以壹個小於1的數，乘積小於這個數。A×b=c，當b < 1時，c
壹個數(0除外)乘以壹個等於1的數，乘積等於這個數。A×b=c，當b =1時，c = a。
註:比較因子和乘積的大小時，要註意因子為0時的特殊情況。
附:shape的分數可以換算成()×
(D)分數乘法混合運算
1，分數乘法混合運算順序和整數壹樣，先乘後除，再加減，如果有括號，先算括號內，再算括號外。
2.整數乘法定律也適用於分數乘法；運算法則可以使壹些計算變得簡單。
乘法交換律:a×b=b×a
乘法結合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配定律:a× (b c) = a× b a× c
(五)倒數的意義:乘積為1的兩個數互為倒數。
1和倒數是兩個數，相互依存，不能單獨存在。壹個數不能稱為倒數。(必須明確誰是誰的倒數)
2.判斷兩個數是否互為倒數的唯壹標準是兩個數相乘的乘積是否為“1”。
比如:a×b=1，那麽A和B互為倒數。
3、對等法:
①求分數的倒數:交換分子和分母的位置。
②求壹個整數的倒數:壹個整數的1。
③求分數的倒數:先把它變成假分數，再求倒數。
(4)求小數的倒數:先求出分量的個數，再求倒數。
4.1的倒數就是它本身，因為1×1=1。
0沒有倒數，因為任何數乘以0的乘積都是0，0不能作為分母。
5.任意數a(a≠0)，其倒數為；非零整數a的倒數為；分數的倒數是。
6.真分的倒數是假分，真分的倒數大於1，也大於自身。
錯誤分數的倒數小於或等於1。
分數的倒數小於1。
(6)分數乘法應用分數乘法解題。
1，壹個數的分數是多少？(通過乘法)
"1"× =
比如25是多少？公式:25× =15
A的個數等於B的個數，給定A的個數是25，B的個數是多少？公式:25× =15
註:已知單位“1”的量，求單位“1”的量的分數，並乘以該分數。
2.(什麽)是(什麽)。
( )= ( "1" ) ×
例1:已知數字A是數字B，數字B是25。數字A是什麽？
a數= B數×即25× =15。
註:(1)“是”字和“的”字中間的量“B”是單位“1”的量，即把數B看成單位“1”，把數B平均分成五份，數A是其中的三份。
(2)“是”、“占”、“比”三個字都相當於“=”，而“的”字相當於“X”。
(3)單位“1”的數量×分數=分數對應的數量。
例2:A的個數比B的個數多(少)，B的個數是25。A的數字是多少？
a數= B數B ×即25 25× = 25× (1) = 40(或10)。
3.巧求單位“1”的量:在有分數(分數)的句子中，分數前的量是單位“1”的對應量，或者“占”、“是”、“比”字後的量是單位“1”。
4.什麽是速度？
速度是單位時間內行駛的距離。速度=距離/時間/時間=距離/速度/距離=速度×時間
-單位時間是指1小時、1分鐘、1秒以及其他大小為1的時間單位，如分、小時、秒等。
5.A比B多(少)多少？
多:(A-B)乙
減:(B-A) B。
第三單元分數除法
壹、分數除法的意義:分數除法是分數乘法的逆運算。知道了兩個數和其中壹個因子的乘積，就可以求出另壹個因子。
二、小數除法的計算規則:除以壹個數(0除外)等於乘以這個數的倒數。
1，被除數/除數=被除數×除數的倒數。示例÷3 =×3÷3×5
2.除法轉換成乘法時，被除數壹定不能變，÷變成×，除數變成它的倒數。
3.分數除法公式中有小數和分數時，計算前應改變分量和假分數的個數。
4.紅利和商數的變化規律:
①除以大於1的數，商小於被除數:a÷b=c當b & gt在1，c
②除以小於1的數，商大於被除數:a÷b=c當b
③除以壹個等於1的數，商等於被除數:a÷b=c當b=1時，C = A。
三、小數除法的混合運算
1，混合運算用梯形方程計算，等號寫在第壹個數的左下角。
2.操作順序:
①除法:屬於同級運算，按從左到右的順序計算；或者先把所有除法轉換成乘法再計算；或者按照“除以幾個數等於乘以這些數的乘積”的簡單方法。加減是初級運算，乘除是次級運算。
②混合運算:無括號的乘、除、加、減；有括號的先算在括號裏面，再算在括號外面。
註:(a b) ÷ c = a ÷ c b ÷ c。
4.比:兩個數的除法也叫兩個數的比。
1.在比較公式中，比較符號(:)前的數稱為前壹項，比較符號後的項稱為後壹項，比較符號相當於除法符號，前壹項除以後壹項的商稱為比。
註意:比如3: 4: 5讀作3比4比5。
2.比值表示兩個數之間的關系，可以用壹個分數來表示，寫成分數的形式，讀作幾到幾。
例:12 ∶ 20 = = 12÷20 = = 0.6 12∶20讀作:12∶20。
註意:區分比值和比值:比值是壹個數，通常用分數表示，也可以是整數或小數。
比率是表示兩個數字之間關系的公式。可以寫成壹個比值，也可以寫成壹個分數。
3.比率的基本性質:比率的第壹項和第二項同時被同壹個數相乘或相除(0除外)，比率不變。
3.簡化比例:簡化後的結果仍然是壹個比例，而不是壹個數字。
(1)，比值的前後兩項同時除以其最大公約數。
(2)兩個分數之比的簡化方法是將前段最後壹項乘以分母的最小公倍數，再簡化整數比。也可以求出比值，用比值的形式寫出來。
(3)，兩位小數的比值，將小數點的位置右移，也是先轉換成整數比。
4.求比值:把比值符號寫成除法符號，然後計算。結果是壹個數(或分數)，相當於商，而不是比。
5、比與除、分數的區別:
除法除法器除符號(?)除法器(非0)商不變性除法是壹種運算。
分數分子分數行(-)分母(不能為0)分數的基本性質是數字。
前壹項(:)後壹項(不能為0)的基本屬性比表示兩個數之間的關系。
附:商不變:被除數和除數同時被同壹個數相乘或相除(0除外)，商不變。
分數的基本性質:分子和分母同時被同壹個數相乘或相除(0除外)，分數的大小不變。
五、分數除法和比的應用
1，已知單位“1”的量相乘。舉例:A是B，B是25，A是多少？即:A = B× (15× = 9)
2.未知單位“1”的量被除。舉例:A是B，A是15，B是多少？即:A = B× (15 ÷ = 25)(建議解方程)
3.分數應用題的基本數量關系(以分數為比)
(1)A是B的幾分之壹？
A = B×分數(例:A是15，是多少？15× =9)
B =的幾分之壹÷(例:9是B，B是多少？9÷ =15)
什麽分數= A-B(例:9是15的什麽分數？9÷15=)(“是”字相當於“÷”，B是單位“1”)
(2)A比B多(少)多少？
a差b =(單詞“than”後的量是單位“1”的量)(比如9比15少多少？(15-9)÷15= = = )
B是多少:–1(例:15比9少多少？15÷9= -1= –1= )
C有多少個分數是:1-(例:9比15少多少個分數？1-9÷15=1– =1– = )
D A = B差= B B X = B B X = B B(1)(例:A小於15，是多少？15–15×= 15×(1-)= 9(多為“+”，少為“-”)
E B = A ÷ (1)(例:9小於B，B是多少？9÷(1- )=9 ÷ =15)(多為“+”，少為“-”)
(例:15大於B，B是多少？15÷(1+)= 15÷= 9)(多為“+”，少為“-”)
4.按比例分配:按壹定比例分配壹個量的方法叫按比例分配。
比如，已知甲乙之和為56，甲乙比例為3∶5。甲方和乙方的號碼分別是多少？
方法壹:56÷(3+5)= 7A:3×7 = 21B:5×7 = 35。
方法二:A: 56× =21 B: 56× =35。
例如，已知A為21，A與B之比為3∶5。B是多少？
方法壹:21÷3=7 B: 5×7=35。
方法二:甲乙雙方之和為21÷ =56 B: 56× =35。
方法二:A/B = B = A/= 21/= 35。
5、畫壹個線圖:
(1)找出單位“1”的數量，先畫出單位“1”，標出已知和未知。
(2)分析數量關系。
(3)找到等價關系。
(4)列方程。
註:兩個量的關系畫兩個線圖，部分和整體的關系畫壹個線圖。
第四單元圓
壹.圓的特征
1，圓是平面中由閉合曲線圍成的平面圖形。
2.圓的特點:外形美觀，易滾動。
3.圓心O:圓心的點稱為圓心。圓心壹般用字母o表示，圓對折多次後，折痕與圓心相交，即圓心。圓心決定了圓的位置。
半徑r:連接圓心和圓上任意壹點的線段稱為半徑。在同壹個圓裏，有無數個半徑，所有半徑都相等。半徑決定了圓的大小。
直徑D:兩端在圓上通過圓心的線段稱為直徑。同壹個圓，有無數個直徑，所有的直徑都是相等的。直徑是圓中最長的線段。
同圓或等圓的內徑是半徑的兩倍:d=2r或r=d÷2= d=
4.等圓:半徑相等的圓稱為同心圓，等圓可以通過平移完全重疊。
同心圓:圓心重合、半徑不等的兩個圓稱為同心圓。
5.圓是軸對稱圖形:如果壹個圖形沿直線對折，兩邊的圖形可以完全重疊，這個圖形就是軸對稱圖形。折痕所在的直線稱為對稱軸。
有對稱軸的圖形:半圓形、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角形。
有兩個對稱軸的圖形:長方形。
有三個對稱軸的圖形:等邊三角形
有四個對稱軸的圖形:正方形
有或沒有對稱軸的圖形:圓、環
6.畫壹個圓
(1)指南針兩英尺之間的距離是壹個圓的半徑。
(2)畫圓:固定半徑，圓心，轉壹圈。
二、圓的周長:環繞圓的曲線的長度稱為圓的周長，周長用字母c表示。
1，壹個圓的周長總是直徑的三倍以上。
2.圓周率:圓的周長與直徑之比是壹個固定值，稱為圓周率，用字母π表示。
即:pi = =周長÷直徑≈3.14。
因此，圓的周長(c)=直徑(d)×π(pi)-周長公式:c =πd，c = 2 π r。
註:Pi π是無限無循環小數，3.14是近似值。
3.周長變化規律:半徑擴張多少倍，直徑擴張多少倍，周長擴張倍數與半徑、直徑擴張倍數相同。
如果r 1:R2:R3 = d 1:D2:D3 = c 1:C2:C3。
4.半圓周長=圓周的壹半+直徑= ×2πr=πr+d
第三，圓的面積
1，圓面積公式的推導
如圖，把壹個圓沿直徑分成幾部分，剪成長方形。副本越多，圖像越接近矩形。
圓的半徑=矩形的寬度
圓周的壹半=矩形的長度。
矩形面積=長×寬
所以:圓的面積=矩形的面積=長×寬=圓周的壹半(πr)×圓的半徑(r)。
s圓= πr × r
s圓= πr×r = πr2
2.對於幾個圖形，在面積相等的情況下，圓的周長最短，矩形的周長最長；相反，在周長相等的情況下，圓的面積最大，而矩形的面積最小。
周同時望去，圓形面積最大。利用這個特點，籃子和盤子被做成圓形。
3.圓形面積變化規律:半徑擴大多少倍，圓周同時擴大多少倍？圓形面積膨脹倍數是半徑和直徑膨脹倍數的平方。
如果:r 1:R2:R3 = d 1:D2:D3 = c 1:C2:C3 = 2:3:4。
那麽:s1: S2: S3 = 4: 9: 16。
4.環形面積=大圓-小圓=πr大2-πr小2=π(r大2-r小2)
扇形面積= πr2× (n代表扇形的圓心角度數)
5.跑道:每條跑道的周長等於兩條半圓形跑道形成的圓的周長加上兩條直線跑道之和。因為兩條直線跑道的長度相等，所以相鄰兩條跑道的起跑線不同，兩者之間的距離為2×π×跑道寬度。
註意:圓的半徑每增加壹厘米，周長就增加2π壹厘米。
圓的直徑增加b厘米，周長增加πb厘米。
6.任意壹個正方形的內切圓，即最大圓的直徑是正方形的邊長，它們的面積比是4∶1
7.公用數據
π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7
第五單元，百分比
1.百分數的含義:表示壹個數是另壹個數的百分數。
註:百分比是專門用來表示壹種特殊的比值關系，表示兩個數的比值。所以百分比也叫百分數或百分比，百分比不能帶單位。
1，百分比與分數的區別與聯系；
(1)聯系:兩者都可以用來表示兩個量的比例關系。
(2)區別:意義不同:百分數只表示比例關系，不表示具體數量，所以不能帶單位。分數不僅表示比例關系，還可以用單位表示具體數量。
百分比的分子可以是小數，分數的分子只能是整數。
註:百分數在生活中應用廣泛，涉及的問題與分數基本相同。分母為100的分數不是百分數，分母必須寫成“%”，所以分母為100的分數是百分數的說法是錯誤的。「%」的兩個零應該是小寫，不要和百分比前的數字混淆。壹般來說，出勤率、成活率、合格率、正確率能達到100%，出米率、出油率達不到100%，完成率、百分比增幅能超過100%。壹般出粉率70%、80%，出油率30%、40%。
2.小數、分數和百分數之間的相互關系
(1)百分比化的小數:將小數點向左移動兩位，並刪除“%”。
(2)十進制百分數:將小數點右移兩位，加“%”。
(3)百分數化分數:先把百分數寫成分母為100的分數，然後簡化成最簡單的分數。
(4)分數百分數:分子除以分母得到壹個小數，然後換算成百分數。
(5)十進制分數:對小數部分為10、100、1000等的分數進行化簡。
(6)分數小數:分子除以分母。
第二，應用問題的百分比
1.尋找共同的百分比，如達標率、通過率、存活率、發芽率、出勤率等。意味著找出壹個數和另壹個數的百分比。
2.找出壹個數字比另壹個數字多(或少)多少。在現實生活中，人們經常用增加百分之多少、減少百分之多少、節省百分之多少來表示增加或減少。
A比B (A-B)多百分之幾？B
B比A (A-B)少百分之幾？
3.求壹個數的百分數是多少(單位“1”)×百分數。
4.已知壹個數的百分比是多少？求這個數的部分÷百分數=壹個數(單位“1”)。
5、折扣折扣，折扣的意思:幾折就是十分之幾，也就是百分之幾十。
折扣百分比是通用的。
八折，八折，八折，0.8%
八五折，八五折，八五折，八五折，八五折
五折，五折，五折，半價。
6.繳納的稅款稱為應交稅款。
(應納稅額)÷(總收入)=(稅率)
(應納稅額)=(收入總額)×(稅率)
7.利率
(1)存在銀行的錢叫本金。
(2)取款時銀行多付的錢叫利息。
(3)利息與本金的比率稱為利率。
利息=本金×利率×時間
稅後利息=利息-應交利息稅=利息-利息×5%
註:國債和教育儲蓄的利息不征稅。
8.百分比應用問題的分類
(1)B-(A-B)中A占百分之幾×100% = ×100% =百分之幾？
(2)A比B多(少)的百分比是多少-× 100% = × 100%。
例子
① A是50，B是40，A是B的百分之幾？40的百分之五十是多少？)50÷40=125%
② A是50，B是40，B是A的百分之幾？40是50的百分之幾？)40÷50=80%
③ B是40，A是B的125%，A的個數是多少？40的125%是多少？)40×125%=50
④ A是50，B是A的80%，B的個數是多少？50的80%是多少？)50×80%=40
⑤ B是40，B是A的80%，A的個數是多少？壹個數的80%是40。這個數字是什麽？)40÷80%=50
⑥ A是50，A是B的125%，B的個數是多少？壹個數的125%是50。這個數字是什麽？)50÷125%=40
⑦ A是50，B是40，A比B多百分之幾？超過50超過40的百分比是多少？)(50-40)÷40×100%=25%
8 A 50，B 40，B比A少百分之幾？40比50少百分之幾？)(50-40)÷50×100%=20%
⑨A比B多25%，多10。B是多少？10÷25%=40
參加A比B多25%，多10。壹個多少錢？10÷25%+10=50
？b比A少20%，少10。壹個多少錢？10÷20%=50
？b比A少20%，少10。B是多少？10÷20%-10=40
？b是40，A比b多25%，A的數字是多少？40多25%是多少？)40×(1+25%)=50
？a是50，B比a少20%，B的個數是多少？50多25%是多少？)50×(1-20%)=40
？b比A少40，20% A的數字是多少？(40比什麽少20%？)40÷(1-20%)=50
？a比B多50，25% B的數字是多少？(50比什麽多25%？)40÷(1+25%)=40
第六單元，統計
1，扇形統計圖的意義:用整個圓的面積來表示總數，用圓內每個扇區的面積來表示零件數與總數的關系，即零件數占總數的百分比，所以也叫百分比圖。
2.常用統計圖的優點:
(1)，條形圖直接顯示各量的數量。
(2)折線統計圖不僅直觀地顯示了數量的增減，而且清楚地顯示了每個數量的個數。
(3)扇形統計圖直觀地顯示了部分與全部的關系。
第七單元，數學廣角
先研究壹下中國古代雞和兔子關在壹起的問題。
1，表格解法是有限制的，而且數字壹定要小，比如:
數數雞(兔子)的腿的數量。
35 1 34
35 2 33
35 3 32
……
(壹壹列表法，腿少，跳小；多腿，大跳。壹個壹個跳，拿著單子)
2、用假設方法解決
(1)如果都是兔子。
(2)如果都是雞
(3)如果他們各自擡起壹條腿。
(4)如果兔子擡起兩條前腿。
3.用代數方法求解(壹般規律)。
註:這個問題是中國古代著名的趣味問題之壹。大約1500年前，孫子的計算中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣描述的:“今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足。雞和兔子的幾何？這四句話的意思是:壹個籠子裏有若幹只雞和兔子，從上面數，有35個頭；從底部算起，有94英尺。每個籠子裏有多少只雞和兔子？
第二，和尚分饅頭
100和尚吃100包子，壹個大和尚吃三個，三個小和尚吃壹個。有多少和尚？
明代程大偉的名著《直指算術統壹》中有壹個著名的算術問題:
壹百個饅頭和壹百個和尚，
三個和尚更沒有爭議，
三個小和尚之壹，
有多少和尚？"
如果翻譯成白話文，意思是:有100個和尚分享100個饅頭，這正好是結局。如果大和尚分成三份，小和尚分成三份，每份裏面有多少人？
方法壹，用方程求解:
解:讓大和尚有x人，小和尚有(100-x)人。根據問題的意思，等式列出來了:
3x + (100-x)=100
x=25
100-25=75人
方法二，雞兔同籠:
(1)假設100人都是大和尚，應該吃多少個饅頭？
3×100=300(件)。
妳吃了多少？
300-100=200(件)。
(3)為什麽多吃了200？這是因為小和尚被當成了大和尚。那麽當小和尚被當成大和尚的時候，每個小和尚算幾個饅頭呢？
3- =(件)
(4)每個小和尚多數了8/3個饅頭，壹個* * *多數了200個，所以小和尚有:
小和尚:200÷75(人)
大和尚:100-75=25(人)
方法三，分組方法:
因為大和尚分三個饅頭，小和尚分三個饅頭。我們可以把三個小和尚和1個大和尚分組，這樣每組四個和尚正好分成四個饅頭，這樣100個和尚的總數就分成100÷(3+1)=25組，因為每組有1個大和尚。又因為每組三個小和尚，所以有25×3=75個小和尚。
這就是《指揮算法統壹宗族》中的解法。原話是:“以壹百個和尚為真理，除以三得四，得二十五個大和尚。”所謂“實”是“紅利”，“法”是“除數”。公式是:
100(3+1)= 25(組)
大和尚:25×1=25(人)
小和尚:100-25=75(人)或25×3=75(人)
中國古代勞動人民的智慧由此可見壹斑。
三、整數、分數、百分數應用題結構類型
(1)A比B大多少倍(或分數或百分比)？
解答:A數除以B數
校園裏有40棵楊樹和50棵柳樹。柳樹中有百分之多少是白楊？(還是零頭？)
(2)A的數是多少倍(或分數或百分數)？
解決分數應用問題，首先要確定單位“1”。單位“1”確定後，壹個具體的量總是對應壹個具體的分數(分數)。這種關系稱為“量率對應”，是解決分數應用問題的關鍵。
求壹個數的倍數(分數或百分數)，用乘法，單位是“1”×分數=對應的量。
例:六年級有180人，五年級的人數是六年級的56人。五年級有多少學生？
180×56 =150
(3)壹個數已知多少次(或分數或百分數)，求壹個數的應用問題(即求標準量或單位“1”)。
解:對應數量÷對應分數=單位“1”
例:育紅小學六年級男生120，占參加興趣活動小組學生的35%。六年級有多少學生？
120÷35 =200(人)