對於2階方陣A，可以直接計算得出A**=A。對於大於2階的n階方陣A，由於|A|=0時，r(A*)≤1，則A*的所有n-1階子式全為0，所以A**=O。
AA* = |A|E
|A*| = |A|^(n-1)
當 r(A) = n 時, r(A*) = n
當 r(A) = n-1 時, r(A*) = 1
當 r(A) < n-1 時, r(A*) = 0
所以有
A*(A*)* = |A*|E
AA*(A*)* = |A*|A
|A| (A*)* = |A|^(n-1) A
所以, 當A可逆時, (A*)* = |A|^(n-2) A
當A不可逆時, |A|=0
r(A) <= n-1
r(A*)<= 1
r((A*)*) = 0
定理
（1）逆矩陣的唯壹性。
若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯壹的，並記作A的逆矩陣為A-1。
（2）n階方陣A可逆的充分必要條件是r(A)=m。
對n階方陣A,若r(A)=n,則稱A為滿秩矩陣或非奇異矩陣。
（3）任何壹個滿秩矩陣都能通過有限次初等行變換化為單位矩陣。
推論 滿秩矩陣A的逆矩陣A可以表示成有限個初等矩陣的乘積。