第六屆：“華羅庚金杯”少年數學邀請賽初賽第12 題（略有改動）
1．用棱長是1厘米的立方塊拼成如圖11-1所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米?
分析與解顯然，圖11-1的圖形朝上的面與朝下的面的面積相等，都等於3×3=9個小正方形的面積，朝左的面和朝右的面的面積也相等，等於7個小正方形的面積；朝前的面和朝後的面的面積也相等，都等於7個小正方形的面積，因此，該圖形的表面積等於(9+7+7)×2=46個小正方形的面積，而每個小正方形面積為l平方厘米，所以該圖形表面積是46平方厘米．
2．如圖11-2，有壹個邊長是5的立方體，如果它的左上方截去壹個邊分別是5，3，2的長方體，那麽它的表面積減少了百分之幾?
分析與解 原來正方體的表面積為5 ×5×6=150．
現在立體圖形的表面積截了兩個面向我們的側面，它們的面積為(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．
即表面積減少了百分之八．
3．如圖11-3，壹個正方體形狀的木塊，棱長l米，沿水平方向將它鋸成3片，每片又鋸成4長條，每條又鋸成5小塊，***得到大大小小的長方體60塊．那麽，這60塊長方體表面積的和是多少平方米?
分析與解 我們知道每切壹刀，多出的表面積恰好是原正方體的2個面的面積．
現在壹***切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方體壹個面的面積1×l=1(平方米)，所以表面積增加了9×2×1=18(平方米)．
原來正方體的表面積為6×1=6(平方米)，所以現在的這些小長方體的表積之和為6+18=24(平方米)．
4．圖11-4中是壹個邊長為4厘米的正方體，分別在前後、左右、上下各面的中心位置挖去壹個邊長l厘米的正方體，做成壹種玩具．它的表面積是多少平方厘米?
分析與解原正方體的表面積是4×4×6=96(平方厘米)．
每壹個面被挖去壹個邊長是1厘米的正方形，同時又增加了5個邊長是1厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分．總的來看，每壹個面都增加了4個邊長是1厘米的正方形．
從而，它的表面積是96+4×6=120平方厘米．
5．圖11-5是壹個邊長為2厘米的正方體．在正方體的上面的正中向下挖壹個邊長為1厘米的正方體小間；接著在小洞的底面正中再向下挖壹個邊長為 厘米的小洞；第三個小洞的挖法與前兩個相同，邊長為 厘米．那麽最後得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米?
分析與解 因為每挖壹次，都在原來的基礎上，少了1個面，多出了5個面，即增加了4個面．
所以，最後得到的立體圖形的表面積是：
2×2×6+1×l×4+× × ×4+ × ×4=29.25(平方厘米)．
6．有大、中、小3個正方形水池，它們的內邊長分別是6米、3米、2米．把兩堆碎石分別沈沒在中、小水池的水裏，兩個水池的水面分別升高了6厘米和4米．如果將這兩堆碎石都沈沒在大水池的水裏，大水池的水面升高了多少厘米?
分析與解 放在中水池裏的碎石的體積為3×3×0.06：0.54立方米；
放在小水池裏的碎石的體積為2×2×0.04=0.16立方米；
則兩堆碎石的體積和為0.54+0.16=0.7立方米，現在放到底面積為6×6=36平方米的大水池中，則使大水池的水面升高0.7÷36= 米= 厘米= 厘米
7．如圖11-6，從長為13厘米，寬為9厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長2米的正方形，然後，沿虛線折疊成長方體容器．這個容器的體積是多少立方厘米?
分析與解 容器的底面積是(13-4)×(9-4)=45(平方厘米)，高為2 厘米，所以容器得體積為：
45×2=90(立方厘米)．
8．今有壹個長、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的長方體．現從它的上面盡可能大的切下壹個正方體，然後從剩余的部分再盡可能大的切下壹個正方體，最後再從第二次剩余的部分盡可能大的切下壹個正方體．問剩下的體積是多少立方厘米?
分析與解 本題首先要確定三次切下的正方體的棱長，因為21：15：12=7：5：4，為了敘述方便，我們先考慮長、寬、高分別為7厘米、5厘米、4厘米的長方體.
易知第壹次切下的正方體的棱長應為4厘米，第二次切下的正方體棱長為3厘米時符合要求，第三次切下的正方體的棱長為2厘米時符合要求．
於是，在長、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的長方體中，第壹、二、三次切下的正方體的棱長為12厘米、9厘米、6厘米．
所以剩下的體積應為：
21×15×12-( )=1107(立方厘米)．
9．如圖11-7，有壹個圓柱和壹個圓錐，它們的高和底面直徑都標在圖上，單位是厘米．那麽，圓錐體積與圓柱體積的比是多少?
分析與解 圓錐的體積是 ，圓柱的體積是 ．
所以，圓錐體積與圓柱體積的比是 .
10．張大爺去年用長2米、寬1米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形糧囤．今年改用長3米寬2米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形的糧囤．問：今年糧囤的容積是去年糧囤容積的多少倍?
分析與解底面周長是3，半徑是 ， 所以今年糧囤底面積是 ，高是2．
同理，去年糧囤底面積是 ，高是1．
因此，今年糧囤容積是去年糧囤容積的4.5倍．
11．壹個盛有水的圓柱形容器底面內半徑為5厘米，深20厘米，水深15厘米．今將壹個底面半徑為2厘米，高為18厘米的鐵圓柱垂直放人容器中．求這時容器的水深是多少厘米?
分析與解若鐵圓柱體能完全浸入水中，則水深與容積底面積的乘積應等於原有水的體積與圓柱體在水中體積之和，因而水深為：
（厘米）；
它比鐵圓柱體的高度要小，那麽鐵圓柱體沒有完全浸入水中．此時容器與鐵圓柱組成壹個類似於下圖的立體圖形．
底面積為 ，水的體積保持不變為 ．
所以有水深為 (厘米)，小於容器的高度20厘米，顯然水沒有溢出
於是 厘米即為所求的水深．
12．如圖ll-8，用高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的3個圓柱組成壹個物體．問這個物體的表面積是多少平方米?( 取3．14)
分析與解 物體的表面積恰好等於壹個大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側面積，即
即這個物體的表面積是32.97平方米．
13．某工人用薄木板釘成壹個長方體的郵件包裝箱，並用尼龍編織條如圖11-9所示在三個方向上加固．所用尼龍編織條的長分別為365厘米、405厘米、485厘米．若每個尼龍條加固時接頭處都重疊5厘米，則這個長方體包裝箱的體積是多少立方米?
分析與解 長方體中，高+寬=+(365-5)=180，……………………①
高+長= (405-5)=200，…………………………………………………②
長+寬= (485-5)=240，…………………………………………………③
②-①得 長-寬=20，……………………………………………………④
④+③得 長=130，則寬=110，代入①得高=70，所以長方體得體積為：
70×110×30=1001000(立方厘米)=1.001(立方米)．
14．有甲、乙、丙3種大小不同的正方體木塊，其中甲的棱長是乙的棱長的 ，乙的棱長是丙的棱長的 ．如果用甲、乙、丙3種木塊拼成壹個體積盡可能小的大正體，每種至少用壹塊，那麽最少需要這3種木塊壹***多少塊?
分析與解設甲的棱長為1，則乙的棱長為2，丙的棱長為3．顯然，大正方體棱長不可能是4，否則無法放下乙和丙各壹個．
於是，大正方體的棱長至少是5．事實上，用甲、乙、丙三種木塊可以拼成棱長為5的大正方體，其中丙種木塊只能用1塊；乙種木塊至多用7塊(使總的塊數盡可能少)；甲種木塊需用：5×5×5-1×3×3×3-7×2×2×2=42(塊)．
因此，用甲、乙、丙三種木塊拼成體積最小的大正方體，至少需要這三種木塊壹***1+7+42=50(塊)．
15．有6個相同的棱長分別是3厘米、4厘米、5厘米的長方體，把它們的某劃面染上紅色，使得有的長方體只有1個面是紅色的，有的長方體恰有2個面是紅色的，有的長方體恰有3個面是紅色的，有的長方體恰有4個面是紅色的，有的長方體恰有5個面是紅色的，還有壹個長方體6個面都是紅色的，染色後把所有長；方體分割成棱長為1厘米的小正方體．分割完畢後，恰有壹面是紅色的小正方體；最多有多少個?
分析與解壹面染紅的長方體，顯然應將4×5的長方體染紅，這時產生20個壹面染成紅色的小正方體，個數最多．
二面染紅的長方體，顯然應將兩個4×5的長方體染紅，這時產生40個壹面染成紅色的小正方體，個數最多．
三面染紅的長方體，顯然應將4×5，4×5，4×3的面染紅，於是產生4×(5+5+3-4)=36個壹面染成紅色的小正方體，其他方法得出的壹面染成紅色的正方體均少於36個．
四面染紅的長方體，顯然應將4×5，4×5，4×3，4×3的面染紅，產生4×(5+5+3+3-2×4)=32個壹面染成紅色的正方體，其他方法得到的壹面染成紅色的小正方體均少於32個．
五面染紅的長方體，應只留壹個3×5的面不染，這時就產生(3-2)×(5-2)+(4-1)×(5+5+3+3-2×4)=27個壹面染成紅色的小正方體，其他染法得到的壹面染成紅色的小正方體均少於27．
六面染紅的長方體，產生2×[(3-2)×(5-2)+(5-2)×(4-2)+(4-2)×(3-2)]=22個壹面染成紅色的小正方體．
於是最多得到：22+27+32+36+40+20=177個壹面染成紅色的小正方體．