定义与定义表达式
我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常见，a≠0）的函数称为二次函数（二次函数） 一般的，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数。 （通常为x）和影响变量（通常为y）。右边是整型，且自变量的最高次数为2。注意，“变量”不同于“未知数”，不能说“二次式函数是指未知数的最高次数” 为二次的积分式函数但是”。未知数只是一个数（具体值未知，只取一个值），变量可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中） 是未知函数，但不管是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数（同时遇到特殊情况），但是函数中的字母表示变量，意义已经不同了。从函数的定义也 可以看出差分的差。
二次函数的解法
二次函数的通式是 y= ax^2+bx+c 如果知道三个点将三 个点的坐标带入三个方程解未知的三个数。如题方程一8=a2+b2+c化简8=c表示c就是函数与Y轴的交点。方程二7=a×36 +b×6+c 化简 7=36a+6b+c。方程三7=a×(-6)2+b×(-6)+c化简 7=36a-6b+c。 解出a, b,c就可以了。上边是老老实实的解法。对(6,7)(-6,7)这两个坐标可以求出一个估价轴RoboX=0。通过估价轴公式x =-b/2a 也可以。【如果知道过x轴的两个坐标（y=0的两个坐标的值构成这个方程的两个根）也可以用临时轴公式x=-b/2a算。 或者用韦达定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0且△=b^2-4ac≥0)中。 设两个根为X1和X2则X1+X2= -b /a X1·X2=c/a
一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为圆周)，顶点坐标 为（-b/2a,4ac-b^2;/4a)
顶点式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h 、k为极化），顶点坐标为（h,k）估计轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配准方法 把一般式化成顶点式
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0 有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0]由一般式赋值交点式的步骤：
二次函数(16张 ) ?∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a?∴y=ax^2+bx+c?=a（x^2+b/ax+c/a）?=a[﹙x2-(x1 +x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a，b，c为大众，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上 ；a<0时，开口方向相邻。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越小开口位置就小，a的绝对值越小开口就越大。
牛顿 插值公式（已知三点求函数解析式）
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2( x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由 由此可导出交点的系数a=y1/(x1·x2)(y1为截距)求根公式
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式
x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac)]/2a( 即一元二次方程求根公式）（如右图） 求根的方法还有因式分解法和配法 二次函数与X轴交点的情况 当△=b^2-4ac>0时， 函数图像 与x轴有两个交点。当△=b^2-4ac=0时，函数图像与x轴有一个交点。当△=b^2-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。< /p>
编辑本段
在平面直角坐标系中做二次函数y=ax^2+bx+c的图，可以看出，二次函数的图是一条 永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将由一般式平移得到。注意：草图呼吸1图像本身，关联关系功能。2画出神圣关系，并关联关系 直线X=什么 （X= -b/2a） 3与X轴交点坐标（x1,y1）;(x2, y2)，与Y轴交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a, ( 4ac-bx?/4a)。
轴估价
1.二次函数图像是轴估价图形。估价轴为直线x = h或者x=-b/2a 估价 轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别是，当h=0时，二次函数图像的终极轴为y轴（即直线x=0） a,b同号， 估价轴在 y 轴右侧：b=0，估价轴是 y 轴：a,b 异号，估价轴在 y 轴右侧
顶点
2. 二次函数图像 有一个顶点P，坐标为P ( h,k )当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^ 2;+k 开口 3.二次项系数a决定二次函数图像的开口 方向和大小。 当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线开口。 |a|越大，则二次函数图像的开口越小。 确定当前轴位置的参数 4.一次项系数b和二次项系数a***同确定当前轴的位置。当a>0,与b同号时（即ab> 0），估价轴在y轴左；因为估价轴在左边则估价轴小于0，那么- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号<当a>0, 所以与b异号时（即ab<0），估价轴在y轴。因为估价轴在右边则估价轴要大于0，不然- b/2a>0,b/2a要小于0，所以a 、b要异号可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），即时轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），即时轴 事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过 对二次函数求导得到。 确定二次函数图像与y轴交点的参数 5.常见项c确定二次函数图像与y轴交点。 函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)与y轴交于（0,C) 二次函数图像与x轴交点个数< /p> 6.二次函数图像与x轴交点个数 a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。 k=0 此时，二次函数图像与x轴有1个交点。 a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点_______当a>0时，函数在x=h处轻松获得ymix=k，在x 特殊值的形式 二次函数的性质 8.定义域：R?值域：（对应） 解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）远奇偶性：当b =0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。 循环：无解析公式：①y=ax^2;+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0，则抛物线开口 朝上；a<0，则物抛线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）； ⑷Δ=b2-4ac,Δ>0，肖像与x轴 交于两点： （[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； Δ=0， Photoshop与x轴交于点： （-b/2a） ，0）；Δ<0，VT与x轴无交点；②y=a(x-h)2+k[顶点式]Δ此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a ，k=(4ac-b?)/4a y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）旅行轴X=(X1+X2)/2 当a >0且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≤（X1+X2）/2时Y随X的增大而增大：此时 ，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。 交点式为Y=A(X-X1)(X -X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标交点设置。两个交点X值就是相应的X1 X2值。 两图像真实 对于一般式：：①y =ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴估价?②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴估价?③y=ax2+bx+c与 y=-ax2+bx+c-2b2|a|/4a2关于多边贸易 ④y=ax2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点贸易。 2+k 与 y=a(x+h)2+k 两图像关于 y 轴估价?②y=a(x-h)2+k 与 y=-a(x-h)2-k 两图像关于 x 轴估价?③y=a (x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于多边贸易?④y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k关于原点关税。?（其实①③④就是对f (x)说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况） 编辑本段二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（下称函数）y=ax?+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（下称方程），即ax2+bx+c =0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的 外形形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及枢轴如下表： 解析式顶点坐标对称轴 y=ax^2 (0，0) x=0 y=ax&^2+K (0，K ) x=0?y=a(x-h)^2 (h，0) x=h?y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h?y=ax^2;+bx+c (- b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a当h>0时，y=a(x-h)^2的瞬间暂停物线y=ax^2向右直线移动h 个得到单位，当h<0时，则向左平行线移动|h|个单位得到。当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行线移动h个单位，再向上移动 k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k>0）的路径：当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右移动 h个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k<0）的图形：当h<0,k>0时，将 抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k>0）的示意图 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得y=a(x+h)^2 +k（h<0,k<0）的图像在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可简记为“上加下减，左加右减”。因此，研究抛物线 y =ax^2+bx+c(a≠0)的示意图，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、漂轴，抛物线的大体 位置就很清楚了。这给画快照提供了方便。2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的快照：当a>0时，开口向上，当a<0时 开口，枢轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。 3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠a) 0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增加而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增加而减小。若a<0 ，当x ≤ -b/2a时，y随x的增加而增加；当x ≥ -b/2a时，y随x的增加而增加。 4．抛物线y=ax^2+bx+ c的湿度与坐标轴的交点：（1）湿度与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；（2）当△=b^2-4ac>0，湿度与x轴交 于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两个点间的 距离AB=|x?-x?| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何精美便宜点的距离都可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横） 坐标）当△=0． 1时与x轴只有一个交点；当△<0． 1与x轴没有交点． 当a>0时，重点突出x轴的上方，x为任意实数时， 都有y>0；当a<0时，重点突出x轴的下方，x为任何实数时，都y<0。 5．抛物线y=ax^2+bx+c的最大值：如果 a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。 顶点的横坐标，是取得最大值时的自变量值 ，顶点的纵坐标，是最高值的取值。 6．用待定系数法求二次函数的解析式：（1）当题条件给定为已知点经过三个已知点或已知x、y的三个对对应值时，可设解析式为一般 形式： y=ax^2+bx+c(a≠0)。 式(2)当题给条件为已知先前的顶点坐标或运动轴或顶点（小）值时，可设解析式为顶点 式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。（3）当题给条件为已知矩阵与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y= a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。 编辑本段如何学习二次函数 1.要理解函数的意义。 2.要 记住函数的几个表达式形式，注意区分。★3..一般式，顶点式，交点式，等，区分对称轴，顶点式，图像，y随着x的增大而减小（式增大）等的 差异性。<4.联系实际对函数图像的理解。<5.计算时，看图像时切记取值范围。<6.随图像理解数字的变化和变化。 编辑段本二次函数 考点题目及例题 二次函数知识很容易与其他知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识主导的综合性是中考的热点考题，往往 以大题形式出现。 中考典例：1．（北京东城区）有一个二次函数的瞬间，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：当前轴是直线x=4；乙：与 x轴两个交点的纵向坐标均为整数；丙：与y轴交点的纵向坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3． 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： ． 考点：二次函数y=ax2+bx+c的求法分析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，且假设x1 (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步提高？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分时，学生的接受能力是什么？(3)第几分 时，学生的接受能力最强？考点：二次函数y=ax2+bx+c的性质。评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43则边界公式为：y=-0.1(x -13)2+59.9，根据抛物线的性质可知开口连续，当x<13时，y随x的增加而增加，当x>13时，y随x的增加而减少。而该 函数自变量的范围为：0 3．(河北省)某商店经销一种销售成本为每公斤40元的水产品。根据市场分析，若按每公斤50元销售，一个月能售出500公斤；销售单价每涨1元，月 销售量就减少10公斤。针对该水产品的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每公斤55元时，计算当月销售量和当月销售利润；（2）设定销售单价 为每公斤x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；【（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得 月销售达到利润8000元，销售单价应定为多少？ 解：(1)当销售单价定为每公斤55元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(公斤)， 因此月销售利润为：(55–40)×450=6750(元)． (2)当销售单价定为每公斤x元时，月销售量为：[500–(x–50)×10]公斤而每公斤的销售利润为：(x–40)元，所以月销售利润 为： y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x^2+1400x–40000(元)，∴y与x的函数 解析式为：y =–10x^2+1400x–40000． (3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，即：x2–140x+4800=0，解得：x1=60，x2=80． 当销售单价定为每公斤60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(公斤)，月销售成本为：40×400=16000(元)；当销售单价定为 每公斤80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(公斤)，月销售单价成本为：40×200=8000(元)；由于8000<10000<16000，而月 销售成本不能超过10000元，故销售单价应定为每公斤80元． 5．2006年义乌市经济继续保持平稳较快的增长增长，全市实现生产总值Y元，已知全市生产总值=全市户籍人口×全市人均生产产值，设义乌市2006年户籍人口为x（人） ），人均产值为y（元）． （1）求y关于x的函数关系式；（2）2006年义乌市户籍人口为706 684人，求2006年义乌市人均生产值（单位：元，结果精确到个位）：若按2006年 美元对人民币的平均汇率计（1美元=7.96元人民币），义乌市2006年人均产值是否已涵盖6000美元大门？ 六．（北京西城区）抛物线y=x2-2x+1的相当于 轴是( ) (A)直线x=1<(B)直线x=-1<(C)直线x=2<(D)直线x=-2 考点：二次函数y=ax2+bx+c的估计轴． 评析：因为抛物线y=ax2+bx+c的精确轴方程为：x=-b/2a，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确 ． 另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，估价轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1)2，所以估价轴x=1 ，应选A． 7..某公司推出了一款高效环保洗涤型用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，此时的二次函数图像（部分）画出了该公司年初以来累计利润（ 万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）。 根据图像提供的信息，解答下列问题图像：（1）由已知上 的三点坐标，求累计利润（万元）与销售时间t（月）之间的函数表达式；（2）求预计到几月末公司累计利润约为30万元（3）求第8个 月公司所获利润为万元。 图片我整不来，我只能把图标说一下：横坐标是（t/月），纵坐标是（s/米兰），然后图上画了3个坐标点，（1，-1.5）（ 2，-2）（5，2.5）。（^2代表平方，*代表乘号）方程式关系式：（1）设函数试为S=at2+bt+c因为S=at2+bt+c经过（1 ，-1.5）（2，-2）（5，2.5）所以-1.5=a+b+c<-2=4a+2b+c<2.5=25a+5b+c<解得a=1/2