數 學
數學註意事項：
1． 本試卷***6頁，全卷滿分120分，考試時間為120分鐘，考生答題全部答在答題卡上，答在本試卷上無效．
2． 請認真核對監考教師在答題卡上所有粘貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符合，再將自己的姓名、準考證號用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上．
3． 答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應的答案標號塗黑．如需要改動，請用橡皮擦幹凈後，再選塗其他答案，答非選擇題必須0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上指定位置，在其他位置答題壹律無效．
4． 作圖必須用2B鉛筆作答，並請加黑加粗，描寫清楚．
壹、選擇題（本大題***6小題，每小題2分，***12分，在每小題所給出的四個選項中，恰有壹項是符合題目要求的，請將正確的選項的字母代號填塗在答題卡相應位置上）
1．的值等於
A．3 B．－3 C．±3 D．
2．下列運算正確的是
A．a2＋a3=a5 B．a2?a3=a6 C．a3÷a2=a D．(a2)3=a8
3．在第六次全國人口普查中，南京市常住人口約為800萬人，其中65歲及以上人口占9.2%．則該市65歲及以上人口用科學記數法表示約為
A．0.736×106人 B．7.36×104人 C．7.36×105人 D．7.36×106 人
4．為了解某初中學校學生的視力情況，需要抽取部分學生進行調查，下列抽取學生的方法最合適的是
A．隨機抽取該校壹個班級的學生
B．隨機抽取該校壹個年級的學生
C．隨機抽取該校壹部分男生
D．分別從該校初壹、初二、初三年級中各班隨機抽取10%的學生
5．如圖是壹個三棱柱，下列圖形中，能通過折疊圍成壹個三棱柱的是
6．如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心是（2，a）(a＞2)，半徑為2，函數y=x的圖象被⊙P的弦AB的長為，則a的值是
A． B． C． D．
二、填空題（本大題***10小題，每小題2分，***20分，不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
7．－2的相反數是________．
8．如圖，過正五邊形ABCDE的頂點A作直線l∥CD，則∠1=____________．
9．計算=_______________．
10．等腰梯形的腰長為5㎝，它的周長是22㎝，則它的中位線長為___________㎝．
11．如圖，以O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交於點A，再以A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交於點B，畫射線OB，則cos∠AOB的值等於___________．
12．如圖，菱形ABCD的連長是2㎝，E是AB中點，且DE⊥AB，則菱形ABCD的面積為_________㎝2．
13．如圖，海邊有兩座燈塔A、B，暗礁分布在經過A、B兩點的弓形（弓形的弧是⊙O的壹部分）區域內，∠AOB=80°，為了避免觸礁，輪船P與A、B的張角∠APB的最大值為______°．
14．如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，BE=CF，連接AE、BF，將△ABE繞正方形的中心按逆時針方向轉到△BCF，旋轉角為a（0°＜a＜180°），則∠a=______．
15．設函數與的圖象的交戰坐標為（a，b），則的值為__________．
16．甲、乙、丙、丁四位同學圍成壹圈依序循環報數，規定：
①甲、乙、丙、丁首次報出的數依次為1、2、3、4，接著甲報5、乙報6……按此規律，後壹位同學報出的數比前壹位同學報出的數大1，當報到的數是50時，報數結束；
②若報出的數為3的倍數，則報該數的同學需拍手壹次，在此過程中，甲同學需要拍手的次數為____________．
三、解答題（本大題***12小題，***88分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（6分）解不等式組，並寫出不等式組的整數解．
18．（6分）計算
19．（6分）解方程x2－4x＋1=0
20．（7分）某校部分男生分3組進行引體向上訓練，對訓練前後的成績進行統計分析，相應數據的統計圖如下．
⑴求訓練後第壹組平均成績比訓練前增長的百分數；
⑵小明在分析了圖表後，聲稱他發現了壹個錯誤：“訓練後第二組男生引體向上個數沒有變化的人數占該組人數的50%，所以第二組的平均數不可能提高3個這麽多．”妳同意小明的觀點嗎？請說明理由；
⑶妳認為哪壹組的訓練效果最好？請提出壹個解釋來支持妳的觀點．
21．（7分）如圖，將□ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC於點F．
⑴求證：△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC=2∠D，連接AC、BE．求證：四邊形ABEC是矩形．
22．（7分）小穎和小亮上山遊玩，小穎乘會纜車，小亮步行，兩人相約在山頂的纜車終點會合．已知小亮行走到纜車終點的路程是纜車到山頂的線路長的2倍，小穎在小亮出發後50 min才乘上纜車，纜車的平均速度為180 m/min．設小亮出發x min後行走的路程為y m．圖中的折線表示小亮在整個行走過程中y與x的函數關系．
⑴小亮行走的總路程是____________㎝，他途中休息了________min．
⑵①當50≤x≤80時，求y與x的函數關系式；
②當小穎到達纜車終點為時，小亮離纜車終點的路程是多少？
23．（7分）從3名男生和2名女生中隨機抽取2014年南京青奧會誌願者．求下列事件的概率：
⑴抽取1名，恰好是女生；
⑵抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．
24．（7分）已知函數y=mx2－6x＋1（m是常數）．
⑴求證：不論m為何值，該函數的圖象都經過y軸上的壹個定點；
⑵若該函數的圖象與x軸只有壹個交點，求m的值．
25．（7分）如圖，某數學課外活動小組測量電視塔AB的高度，他們借助壹個高度為30m的建築物CD進行測量，在點C處塔頂B的仰角為45°，在點E處測得B的仰角為37°（B、D、E三點在壹條直線上）．求電視塔的高度h．
（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
26．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P為BC的中點．動點Q從點P出發，沿射線PC方向以2㎝/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓．設點Q運動的時間為t s．
⑴當t=1.2時，判斷直線AB與⊙P的位置關系，並說明理由；
⑵已知⊙O為△ABC的外接圓，若⊙P與⊙O相切，求t的值．
27．（9分）如圖①，P為△ABC內壹點，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在壹個三角形與△ABC相似，那麽就稱P為△ABC的自相似點．
⑴如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中線，過點B作BE⊥CD，垂足為E，試說明E是△ABC的自相似點．
⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如圖③，利用尺規作出△ABC的自相似點P（寫出作法並保留作圖痕跡）；
②若△ABC的內心P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內角的度數．
28．（11分）
問題情境
已知矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為多少時，它的周長最小？最小值是多少？
數學模型
設該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數關系式為．
探索研究
⑴我們可以借鑒以前研究函數的經驗，先探索函數的圖象性質．
① 填寫下表，畫出函數的圖象：
②
x
……
1
2
3
4
……
y
……
……
②觀察圖象，寫出該函數兩條不同類型的性質；
③在求二次函數y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請妳通過配方求函數(x＞0)的最小值．
解決問題
⑵用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案．
答案：
壹.選擇題：ACCDBB
二.填空：
7. 2 8. 36 9. 10. 6 11. 12. 13. 40 14. 90 15. 16. 4
17.解：
解不等式①得：
解不等式②得：
所以，不等式組的解集是．
不等式組的整數解是，0，1．
18.
19.解法壹：移項，得．
配方，得，
由此可得
解法二：
，．
20.解：⑴訓練後第壹組平均成績比訓練前增長的百分數是≈67%．
⑵不同意小明的觀點，因為第二組的平均成績增加8×10%+6×20%+5×20%+0×50%=3（個）．
（3）本題答案不唯壹，我認為第壹組訓練效果最好，因為訓練後第壹組平均成績比訓練前增長的百分數最大．
21.證明：⑴∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.
∵EC=DC, ∴AB=EC．
在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，
∴⊿ABF≌⊿ECF．
（2）解法壹：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．∴AF=EF， BF=CF．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．
∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．
解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．
又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，
∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．
又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．∴口ABEC是矩形．
22. 解⑴3600，20．
⑵①當時，設y與x的函數關系式為．
根據題意，當時，；當，．
所以，與的函數關系式為．
②纜車到山頂的路線長為3600÷2=1800（），
纜車到達終點所需時間為1800÷180＝10（）．
小穎到達纜車終點時，小亮行走的時間為10＋50＝60（）．
把代入，得y=55×60—800=2500．
所以，當小穎到達纜車終點時，小亮離纜車終點的路程是3600-2500=1100（）．
23.解⑴抽取1名，恰好是女生的概率是．
⑵分別用男1、男2、男3、女1、女2表示這五位同學，從中任意抽取2名，所有可能出現的結果有：（男1，男2），（男1，男3），（男1，女1），（男1，女2），（男2，男3），（男2，女1），（男2，女2），（男3，女1），（男3，女2），（女1，女2），***10種，它們出現的可能性相同，所有結果中，滿足抽取2名，恰好是1名男生和1名女生（記為事件A）的結果***6種，所以P（A）=．
24.解：⑴當x=0時，．
所以不論為何值，函數的圖象經過軸上的壹個定點（0，1）．
⑵①當時，函數的圖象與軸只有壹個交點；
②當時，若函數的圖象與軸只有壹個交點，則方程有兩個相等的實數根，所以，．
綜上，若函數的圖象與軸只有壹個交點，則的值為0或9．
25.在中，＝．
∴EC＝≈（）．
在中，∠BCA＝45°，∴
在中，＝．∴．∴（）．
答：電視塔高度約為120．
26.解⑴直線與⊙P相切．
如圖，過點P作PD⊥AB, 垂足為D．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC=150px，BC=200px，
∴．∵P為BC的中點，∴PB=100px．
∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC．∴△PBD∽△ABC．
∴,即，∴PD =2.4(cm)．
當時，(cm)
∴，即圓心到直線的距離等於⊙P的半徑．
∴直線與⊙P相切．
⑵ ∠ACB＝90°，∴AB為△ABC的外切圓的直徑．∴．
連接OP．∵P為BC的中點，∴．
∵點P在⊙O內部，∴⊙P與⊙O只能內切．
∴或，∴=1或4．
∴⊙P與⊙O相切時，t的值為1或4．
27. 解⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中線，∴，∴CD=BD．
∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．
∴E是△ABC的自相似點．
⑵①作圖略．
作法如下：（i）在∠ABC內，作∠CBD＝∠A；
（ii）在∠ACB內，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE於點P．
則P為△ABC的自相似點．
②連接PB、PC．∵P為△ABC的內心，∴，．
∵P為△ABC的自相似點，∴△BCP∽△ABC．
∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，
∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．
∴．∴該三角形三個內角的度數分別為、、．
28. 解⑴①，，，2，，，．
函數的圖象如圖．
②本題答案不唯壹，下列解法供參考．
當時，隨增大而減小；當時,隨增大而增大；當時函數的最小值為2．
③
=
=
=
當=0，即時，函數的最小值為2．
⑵當該矩形的長為時，它的周長最小，最小值為．
2012年江蘇省南京市中考數學試題
壹、選擇題（本大題***6小題，每小題2分，***12分）
1、下列四個數中，負數是
A. B. C. D.
2、PM 2.5是指大氣中直徑小於或等於0.0000025 m的顆粒物，將0.0000025用科學記數法表示為
A. B. C. D.
3、計算的結果是
A. B. C. D.
4、12的負的平方根介於
A. －5和－4之間 B. －4與－3之間 C.－3與－2之間 D. －2與－1之間
5、若反比例函數與壹次函數的圖像沒有交點，則的值可以是
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
6、如圖，菱形紙片ABCD中，，將紙片折疊，點A、D分別落在A’、D’處，且A’D’經過B，EF為折痕，當D’FCD時，的值為
A. B. C. D.
二、填空題（本大題***10小題，每小題2分，***20分）
7、使有意義的的取值範圍是
8、計算的結果是
9、方程的解是
10、如圖，、、、是五邊形ABCDE的4個外角，若，則
11、已知壹次函數的圖像經過點（2，3），則的值為
12、已知下列函數 ① ② ③，其中，圖象通過平移可以得到函數的圖像的有 （填寫所有正確選項的序號）
13、某公司全體員工年薪的具體情況如下表：
年薪/萬元
30
14
9
6
4
3.5
3
員工數/人
1
1
1
2
7
6
2
則所有員工的年薪的平均數比中位數多 萬元。
14、如圖，將的按圖擺放在壹把刻度尺上，頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數為2cm，若按相同的方式將的放置在該尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數約為 cm
（結果精確到0.1 cm，參考數據：，，）
15、如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=10cm，CD=6cm，E為AD上壹點，且BE=BC，CE=CD，則DE= cm
16、（6分）在平面直角坐標系中，規定把壹個三角形先沿x軸翻折，再向右平移兩個單位稱為壹次變換，如圖，已知等邊三角形ABC的頂點B、C的坐標分別是，（－1，－1），（－3，－1），把三角形ABC經過連續9次這樣的變換得到三角形A’B’C’，則點A的對應點A’的坐標是
三、解答題（本大題***11題，***88分）
17、（6分）解方程組
18、（9分）化簡代數式，並判斷當x滿足不等式組時該代數式的符號。
19、（8分）如圖，在直角三角形ABC中，，點D在BC的延長線上，且BD=AB，過B作BEAC，與BD的垂線DE交於點E，
（1）求證：
（2）三角形BDE可由三角形ABC旋轉得到，利用尺規作出旋轉中心O（保留作圖痕跡，不寫作法）
20、（8分）某中學七年級學生***450人，其中男生250人，女生200人。該校對七年級所有學生進行了壹次體育測試，並隨即抽取了50名男生和40名女生的測試成績作為樣本進行分析，繪制成如下的統計表：
成績
頻數
百分比
不及格
9
10%
及格
18
20%
良好
36
40%
優秀
27
30%
合計
90
100%
（1）請解釋“隨即抽取了50名男生和40名女生”的合理性；
（2）從上表的“頻數”、“百分比”兩列數據中選擇壹列，用適當的統計圖表示；
（3）估計該校七年級學生體育測試成績不合格的人數。
21、（7分）甲、乙、丙、丁4名同學進行壹次羽毛球單打比賽，要從中選2名同學打第壹場比賽，求下列事件的概率。
（1）已確定甲打第壹場，再從其余3名同學中隨機選取1名，恰好選中乙同學；
（2）隨機選取2名同學，其中有乙同學.
22、（8分）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，對角線AC、BD交於點O，ACBD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點
（1）求證：四邊形EFGH為正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積。
23、（7分）看圖說故事。
請妳編壹個故事，使故事情境中出現的壹對變量x、y滿足圖示的函數關系式，要求：①指出x和y的含義；②利用圖中數據說明這對變量變化過程的實際意義，其中需設計“速度”這個量
24、（8分）某玩具由壹個圓形區域和壹個扇形區域組成，如圖，在和扇形中， 與、分別相切於A、B，，E、F事直線與、扇形的兩個交點，EF=24cm，設的半徑為x cm，
① 用含x的代數式表示扇形的半徑；
② 若和扇形兩個區域的制作成本分別為0.45元和0.06元，當的半徑為多少時，該玩具成本最小？
25、（8分）某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在壹定範圍內，每部汽車的進價與銷售有如下關系，若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元，每多售壹部，所有出售的汽車的進價均降低0.1萬元/部。月底廠家根據銷售量壹次性返利給銷售公司，銷售量在10部以內，含10部，每部返利0.5萬元，銷售量在10部以上，每部返利1萬元。
① 若該公司當月賣出3部汽車，則每部汽車的進價為 萬元；
② 如果汽車的銷售價位28萬元/部，該公司計劃當月盈利12萬元，那麽要賣出多少部汽車？（盈利=銷售利潤+返利）
26、（9分）“？”的思考
下框中是小明對壹道題目的解答以及老師的批閱。
我的結果也正確
小明發現他解答的結果是正確的，但是老師卻在他的解答中劃了壹條橫線，並打開了壹個“？”
結果為何正確呢？
（1）請指出小明解答中存在的問題，並補充缺少的過程：
變化壹下會怎樣……
（2）如圖，矩形在矩形的內部，，，且，設與、與、與、與之間的距離分別為，要使矩形∽矩形，應滿足什麽條件？請說明理由。
27、（10分）如圖，A、B為上的兩個定點，P是上的動點（P不與A、B重合），我們稱為上關於A、B的滑動角。
（1）已知是上關於點A、B的滑動角。
① 若AB為的直徑，則
② 若半徑為1，AB=，求的度數
（2）已知為外壹點，以為圓心作壹個圓與相交於A、B兩點，為 上關於點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交於點M、N（點M與點A、點N與點B均不重合），連接AN，試探索與、之間的數量關系。