十六世紀以後，由於生產和科學技術的發展，天文學、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需求。
比如德國天文學家開普勒發現，行星沿著壹個橢圓繞太陽運行，太陽在這個橢圓的壹個焦點上；意大利科學家伽利略發現投擲物體測試拋物線運動。這些發現都涉及圓錐曲線。為了研究這些復雜的曲線，原有的壹套方法顯然已經不適用，這就導致了解析幾何的出現。
1637年，法國哲學家、數學家笛卡爾出版了《方法論》壹書。這本書後面有三個附錄，壹個叫折射光學，壹個叫氣象學，壹個叫幾何學。當時這個“幾何”其實指的是數學，就像中國古代的“算術”和“數學”意思壹樣。
笛卡爾的幾何分為三卷。第壹冊討論尺子畫法；第二卷是曲線的性質；第三冊是立體和“超立體”的畫法，其實是代數題，討論方程根的性質。後世的數學家和數學史家都把笛卡爾的幾何作為解析幾何的起點。
從笛卡爾的《幾何》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立壹種“普適”的數學，統壹算術、代數和幾何。他設想將任何數學問題轉化為代數問題就是將任何代數問題簡化為求解壹個方程。
為了實現上述假設，笛卡爾從天文地理的經緯度系統中指出了平面上的點與實數對(x，y)的對應關系。x和y的不同值可以確定平面上許多不同的點，所以可以用代數的方法研究曲線的性質。
這是解析幾何的基本思想。具體來說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點:壹是在平面上建立坐標系，壹個點的坐標對應壹組有序實數對；其次，在平面上建立坐標系後，平面上的壹條曲線可以用壹個二元的代數方程來表示。
由此可見，坐標法的運用不僅可以通過代數方法解決幾何問題，還可以將變量、函數、數、形等重要概念緊密聯系起來。解析幾何的出現不是偶然的。
笛卡爾寫幾何之前，很多學者都是用兩條相交的直線作為坐標系來研究的。有人在研究天文地理的同時，提出壹個位置可以用兩個“坐標”(經度和緯度)來確定。這些都對解析幾何的創立產生了很大的影響。
在數學史上，壹般認為與笛卡爾同時代的法國業余數學家費馬也是解析幾何的創始人之壹，應該分享這門學科創立的榮譽。費馬是壹位從事數學研究的業余學者，在數論、解析幾何、概率論等方面做出了重要貢獻。
他謙虛安靜，無意出版他的“書”。但是從他的通信中我們知道，早在笛卡爾發表《幾何》之前，他就已經寫了壹篇關於解析幾何的小文章，他已經有了解析幾何的思想。
直到1679，費馬死後，他的思想和著作才在《給朋友的信》中發表。笛卡兒的《幾何》作為壹部解析幾何的著作，是不完整的，但重要的是推陳出新，為開辟數學的新園地作出貢獻。
解析幾何的基本內容在解析幾何中，第壹件事就是建立坐標系。如上圖，平面上有壹定方向和度量單位的兩條相互垂直的直線稱為直角坐標系oxy。
使用坐標系，可以在平面上的點和壹對實數(x，y)之間建立壹對壹的關系。除了直角坐標系，還有斜坐標系，極坐標，空間直角坐標系等等。
空間坐標系中也有球坐標和柱坐標。坐標系建立了幾何對象與數字、幾何關系與函數之間的密切關系，使空間形態的研究可以簡化為相對成熟且易於控制的數量關系的研究。
用這種方法學習幾何，通常被稱為解析法。這種分析方法不僅對解析幾何很重要，而且對研究幾何的各個分支也很重要。
解析幾何的建立引入了壹系列新的數學概念，尤其是變量引入數學，使數學進入了壹個新的發展時期，這就是變量數學時期。解析幾何促進了數學的發展。
恩格斯曾這樣評價:“數學中的轉折點是笛卡爾的變量。隨著書籍的變化，運動進入了數學；有了變量，辯證法就進入了數學；有了變量，微分和積分立即變得必要...“解析幾何的應用分為平面解析幾何和空間解析幾何。平面解析幾何中，除了研究直線的性質外，主要研究圓錐曲線(圓、橢圓、拋物線、雙曲線)的性質。
在空間解析幾何中，除了平面和直線的性質外，主要研究圓柱、圓錐和旋轉曲面。橢圓、雙曲線、拋物線的壹些性質在生產或生活中有廣泛的應用。
比如電影放映機的聚光燈燈泡反射面是橢圓形的，燈絲在壹個焦點，電影門在另壹個焦點；探照燈、聚光燈、太陽竈、雷達天線、衛星天線、射電望遠鏡，都是利用拋物線的原理制成的。壹般來說，解析幾何利用坐標法可以解決兩個基本問題:壹是滿足給定條件點的軌跡，通過坐標系建立其方程；另壹種是通過對方程的討論來研究方程所表達的曲線性質。
利用坐標法解題的步驟是:首先在平面上建立坐標系，將已知點軌跡的幾何條件“翻譯”成代數方程組；然後用代數工具研究方程；最後用幾何語言描述代數方程的性質，得到原幾何問題的答案。坐標法的思想促使人們使用各種代數方法來解決幾何問題。
以前被視為幾何中的難題，壹旦使用代數方法，就變得平坦了。
幾何圖形的歷史最早的幾何是平面幾何。
平面幾何是研究平面上直線和二次曲線(即圓錐曲線，即橢圓、雙曲線和拋物線)的幾何結構和度量性質(面積、長度、角度)。平面幾何采用公理化方法，在數學思想史上具有重要意義。
平面幾何的內容自然轉移到了三維空間的立體幾何。為了計算體積和面積的問題，人們實際上已經開始涉及微積分最初的概念。
笛卡爾引入坐標系後，代數和幾何的關系變得清晰並日益密切。這促使了解析幾何的出現。
解析幾何是笛卡爾和費馬獨立創立的。這是又壹個標誌性事件。
從解析幾何的角度來看，幾何圖形的性質可以歸結為方程的解析性質和代數性質。將幾何圖形的分類(如將圓錐曲線分為三類)轉化為方程代數特征的分類，即尋找代數不變量的問題。
立體幾何歸結為三維空間解析幾何的研究範疇，所以研究二次曲面(如球面、橢球面、錐面、雙曲面、鞍面)的幾何分類歸結為研究代數中二次型的不變量。壹般來說，上述幾何都是在歐氏空間的幾何結構即平面空間結構的背景下考察的，並沒有真正關註到曲面空間的幾何結構。
歐幾裏得幾何公理本質上描述了平坦空間的幾何特征，尤其是第五公設引起了人們對其正確性的懷疑。於是，人們開始關註其彎曲空間的幾何，即“非歐幾何”。
非歐幾何包括幾個經典的幾何題目，如“球面幾何”、“羅氏幾何”等。另壹方面，人們開始考慮射影幾何，以便將無窮遠處那些難以捉摸的點引入觀察範圍。
總的來說，這些早期的非歐幾何研究的是非度規性質，即與度規關系不大，只關註幾何對象的位置——比如平行、相交等等。這幾種幾何學所研究的空間背景是壹個彎曲的空間。
解析幾何在空間中的發展史--世代間的解析幾何。
問題群的向量及其運算
1.對還是錯
(1)如果，那麽；
(2)如果，那麽；
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) .
2.證明(1)。(2) 。
(3) 。
3.設置，
(1)測試，共面。(2)邊緣和分解。(3)找到上的投影。
4.設，，都是非零向量，，求。
5.假設，，，且問。
6.設，求與的夾角。
7.眾所周知，
(1)證明
(2)當和之間的夾角為什麽值時，的面積取最大值。
8.用向量證明三角形的三個高度相交於壹點。
第二組問題:空間平面和直線
1.設平面過該點並垂直於已知平面且平行於直線，求該平面的方程。
2.求壹條直線和壹個點之間的平面方程。
3.設壹個平面，其交線為0，三個坐標平面圍成的四面體體積等於2，求這個平面的方程。
4.壹條直線過壹個點，與兩條直線相交，求這條直線方程。
5.過平面:在與直線的交點處，求直線在已知平面上且垂直於已知直線的方程。
6.在所有通過壹條直線的平面中找出壹個平面，使從原點到它的距離最大化。
三維曲面和曲線
1.討論平面和曲面的位置關系。
2.設壹條空間曲線，試以母線平行於X軸和Z軸的兩個投影圓柱的方程來表示曲線的方程。
3.求圓錐體和圓柱體圍成的立體在三個坐標平面上的投影面積。
4.求直線繞Z軸旋轉形成的回轉面的方程。
5.圓柱體的準線為，公共汽車的方向向量為。求圓柱體的方程。
幾何的歷史？叫什麽名字？起源幾何壹詞來源於希臘語“γ ε ω μ ε ρ ρ？α”，由“γ？α”(land)和μ ε ρ ρ ε？ν”(測量)是兩個詞的組合，指的是對土地的測量，也就是大地測量。
後來，它在拉丁語中是“geometria”的意思。中文的“幾何”壹詞，是明代利瑪竇和徐光啟合譯《幾何原本》時，徐光啟首創的。
當時沒有給出依據。後人認為，壹方面幾何可能是拉丁希臘語GEO的音譯，另壹方面由於幾何元素也用geometria方法解釋數論的內容，也可能是量級(多少)的意譯，所以壹般認為幾何是音義的同時翻譯。1607出版的《幾何原本》中的幾何翻譯在當時並不流行。與此同時，還有另壹個譯名——玄學，如、鄒、劉永熙等編著的《玄學預備》，在當時也有壹定影響。
李和於1857年翻譯的《幾何原本》最後九卷出版後，雖然幾何學的名稱得到了壹些關註，但直到20世紀初才出現了明顯的取代形而上學壹詞的趨勢，如2000年《形而上學的準備》1910的印刷。直到20世紀中期，“玄學”這個詞才很少出現。
國外關於古代幾何的最早記載可以追溯到古埃及、古印度和古巴比倫，其年代始於公元前3000年左右。早期幾何是壹種關於長度、角度、面積和體積的經驗原理，用於滿足測繪、建築、天文以及各種工藝中的實際需要。
埃及和巴比倫都知道畢達哥拉斯定理(勾股定理)比畢達哥拉斯早1500年；埃及人有正確的四棱錐體體積公式；巴比倫有壹張三角函數表。中國的文明，中國和同時期的壹樣發達，所以可能也有同樣發達的數學，但是沒有那個時代的遺跡可以證實這壹點。
也許這部分是由於中國早期使用原始紙張，而不是使用粘土或石雕來記錄他們的成就。幾何學的發展歷史悠久，內容豐富。
與代數、分析、數論等密切相關。幾何思想是數學中最重要的壹種思想。
目前數學各個分支的發展都趨於幾何化，即用幾何的觀點和思維方法去探索各種數學理論。平面幾何和立體幾何最早的幾何是平面幾何。
平面幾何是研究平面上直線和二次曲線(即圓錐曲線，即橢圓、雙曲線和拋物線)的幾何結構和度量性質(面積、長度、角度)。平面幾何采用公理化方法，在數學思想史上具有重要意義。
平面幾何的內容自然轉移到了三維空間的立體幾何。為了計算體積和面積的問題，人們實際上已經開始涉及微積分最初的概念。
笛卡爾引入坐標系後，代數和幾何的關系變得清晰並日益密切。這促使了解析幾何的出現。
解析幾何是笛卡爾和費馬獨立創立的。這是又壹個標誌性事件。
從解析幾何的角度來看，幾何圖形的性質可以歸結為方程的解析性質和代數性質。將幾何圖形的分類(如將圓錐曲線分為三類)轉化為方程代數特征的分類，即尋找代數不變量的問題。
立體幾何歸結為三維空間解析幾何的研究範疇，所以研究二次曲面(如球面、橢球面、錐面、雙曲面、鞍面)的幾何分類歸結為研究代數中二次型的不變量。壹般來說，上述幾何都是在歐氏空間的幾何結構即平面空間結構的背景下考察的，並沒有真正關註到曲面空間的幾何結構。
歐幾裏得幾何公理本質上描述了平坦空間的幾何特征，尤其是第五公設引起了人們對其正確性的懷疑。於是，人們開始關註其彎曲空間的幾何，即“非歐幾何”。
非歐幾何包括幾個經典的幾何題目，如“球面幾何”、“羅氏幾何”等。另壹方面，人們開始考慮射影幾何，以便將無窮遠處那些難以捉摸的點引入觀察範圍。
總的來說，這些早期的非歐幾何研究的是非度規性質，即與度規關系不大，只關註幾何對象的位置——比如平行、相交等等。這幾種幾何學所研究的空間背景是壹個彎曲的空間。
幾何學的形成和歷史幾何學的發展大致經歷了四個基本階段。
1，實驗幾何學幾何學的形成和發展起源於對天空中星星形狀和排列位置的觀察，來源於測量土地、測量體積、制作器皿、繪制圖形等實踐活動的需要。人們在觀察、實踐和實驗的基礎上，積累了豐富的幾何經驗，形成了許多粗糙的概念，反映了壹些經驗事實之間的關系，形成了實驗幾何。中國古代、古埃及、古印度、巴比倫所研究的幾何，基本上都是實驗幾何的內容。
比如勾股定理，簡單的測量知識，中國古代很早就發現了。《墨經》有“壹(圓)，其壹等長”和“平(平行)，其壹等高”。古印度人認為“圓的面積等於矩形的面積，矩形的底等於半個圓，矩形的高度高於圓的半徑”。2.理論幾何的形成和發展隨著古埃及與希臘的貿易和文化交流，埃及的幾何知識逐漸傳入古希臘。
古希臘的許多數學家，如泰勒斯、畢達哥拉斯、柏拉圖和歐幾裏得，都對幾何的研究做出了巨大的貢獻。尤其是柏拉圖將邏輯學的思維方法引入幾何學，建立了細致的定義和清晰的公理作為幾何學的基礎。然後，歐幾裏得在前人幾何知識的基礎上，按照嚴密的邏輯體系寫成了《幾何原本》十三卷，奠定了理論幾何(也稱歸納幾何、演繹幾何、公理幾何、歐幾裏得幾何等)的基礎。)而成為歷史上久負盛名的傑作。
雖然《幾何原本》存在壹些缺陷，如公理不完備，有時訴諸直覺等。，是古代數學的傑作，論證嚴謹，影響深遠。所使用的公理化方法為數學未來的發展指明了方向，甚至成為人類文明史上的裏程碑，成為全人類文化遺產中的瑰寶。3.解析幾何的產生和發展公元3世紀，幾何元素的出現奠定了理論幾何的基礎。
同時，人們也對圓錐曲線做了壹些研究，發現了圓錐曲線的許多性質。但此後很長壹段時間，神學在封建社會占據統治地位，科學沒有得到應有的重視。
直到公元15和16世紀，歐洲資本主義才開始發展。隨著生產的實際需要，自然科學迅速發展起來。法國笛卡爾發現歐幾裏得幾何過於依賴圖形，而傳統代數則完全受制於公式和定律。他們認為研究圓錐曲線的傳統方法只重視幾何而忽視代數，極力主張把幾何和代數結合起來取長補短，這是促進數學發展的新途徑。
在這壹思想的指導下，笛卡爾提出了平面坐標系的概念，實現了點與數對的對應，用壹個兩邊三刀的方程表示圓錐曲線，形成了壹系列全新的理論和方法，解析幾何由此產生。解析幾何的出現極大地拓寬了幾何學的研究內容，促進了它的進壹步發展。
18和19世紀，由於工程、力學和大地測量學的需要，畫法幾何、射影幾何、仿射幾何和微分幾何等分支進壹步出現。4.近代幾何的產生和發展在初等幾何和解析幾何的發展過程中，人們不斷發現幾何的要素在邏輯上不夠嚴謹，不斷豐富壹些公理，特別是試圖證明第五公設“壹條直線與另外兩條直線相交，當同側內角之和小於兩個直角時，兩條直線相交於此側”的失敗，促使人們重新審視幾何的邏輯基礎，並取得了進展。
壹方面，從改變幾何學的公理體系出發，即用壹個與歐幾裏得幾何學第五公設相矛盾的命題代替第五公設，從而導致幾何學研究對象的根本突破。俄羅斯數學家羅巴切夫斯基將第五公設替換為“在同壹平面內，兩條直線在過直線外的壹點時，可以與已知直線平行”，由此導出了壹系列新的結論，如“三角形內角之和小於兩個直角”、“不存在相似但不等的三角形”，後來被稱為羅氏幾何(又稱雙曲幾何)。
德國數學家黎曼從另壹個角度取代了第五公設“在同壹平面內，在直線之外的任何壹點都沒有與已知直線平行的直線”，這也導致了壹系列新的理論，如“三角形內角之和大於兩個直角”、“三角形形成的面積與球面三角形相等的公式”等等，得到了另壹種不同的幾何，這種幾何後來被稱為黎曼幾何(又稱橢圓幾何)。傳統上，人們把羅氏幾何和黎曼幾何稱為非歐幾何。
歐幾裏得幾何(又稱拋物線幾何)和羅氏幾何的共同部分統稱為絕對幾何。另壹方面，人們在對歐幾裏得幾何公理系統的嚴格分析中形成了公理化方法，而這種嚴格的公理系統，通常稱為希爾伯特公理系統，已經由德國數學家希爾伯特在其《幾何基礎》中完美地建立起來。希爾伯特公理系統是完備的，即可以用純邏輯推理的方法推導出歐幾裏得幾何的嚴格體系。
但是按照這個公理體系，壹步壹步地推導歐幾裏得幾何中那些熟悉的內容，是壹件相當繁瑣的工作。