基礎數學:
數論:經典數論、解析數論、代數數論、超越數論、模型與模函數論。
代數:線性代數群論、群表示論、李群、李代數、代數群、典型群、同調代數、代數K論、Kac-Moody代數、環論、代數、體、格、序結構、定義域論和多項式拓撲群矩陣論向量代數張量代數。
幾何:(整體，局部)微分幾何，代數幾何，流形分析，黎曼流形與洛倫茲流形，齊次空間與對稱空間，調和映射，子流形理論，楊-米爾斯場與纖維叢理論，辛流形，凸幾何與離散幾何歐氏幾何非歐氏幾何解析幾何。
拓撲學:微分拓撲學、代數拓撲學、低維流形、同倫理論、奇點與突變理論、點集拓撲學、流形與腔復形的大規模分析、微分拓撲同調理論復流形。
函數論:函數逼近論。
泛函分析:(非線性)泛函分析，算子理論，算子代數，差分與泛函方程，廣義函數，變分法，積分變換積分方程。
微分方程:泛函微分方程、特征與譜理論及其反問題、定性理論、穩定性理論、分岔理論、混沌理論、奇異攝動理論、動力系統、非線性橢圓(和拋物)型常微分方程、偏微分方程、微局部分析與壹般偏微分算子理論、混合型及其他具有奇異性的方程、非線性發展方程、無限維動力系統。
在泛函分析中，包括卡斯帕羅夫在內的許多人的工作將連續K-理論推廣到非對易。
的C*-代數格。空間中的連續函數在函數乘積的意義下構成交換代數。但是在其
在他的情況下，關於非對易情況的類似討論自然發生，這時，泛函分析自然發生
成為了這些問題的溫床。
因此，K理論是將這種簡單性應用於數學的許多不同方面的另壹種方式。
在每種情況下，都有許多特定於該方面的字段，並且可以與其他部分連接。
k理論不是壹個統壹的工具，它更像是壹個統壹的盒子。
框架的不同部分之間具有相似性和相似性。
Alain Connes把這項工作的許多內容推廣到非交換微分幾何。
非常有趣的是，就在最近，威滕通過了他在弦理論(基礎物理)方面的最新想法
)發現很多有趣的方法都和K理論有關，而K理論似乎就是那些所謂的“守恒”
“量”提供了壹個天然的“家”。盡管在過去同源理論被認為是這些理論的自然框架，然而，
現在看來，K-1理論可以提供更好的答案。
先說幾何:歐幾裏德幾何，平面幾何，空間幾何，直線幾何，這都有。
壹切都是線性的，並從非歐幾裏得幾何的不同階段到黎曼的更壹般的幾何，討論了基礎
它本質上是非線性的。在微分方程中，對非線性現象的真正研究已經被我們許多人處理過了。
經典方法看不到的新現象。這裏我只舉兩個例子，孤子和混沌，這是微分方程的兩個理論。
兩個截然不同的方面成為本世紀極其重要和著名的研究課題。他們代表不同。
孤子代表了非線性微分方程的不可預測和有組織的行為，而混沌代表了不可預測。
無組織的行為)。的材料。他們都出現在不同的領域，非常有趣
重要，但它們的基本土壤是非線性現象。我們也可以比較早期壹些關於孤子的工作。
歷史可以追溯到十九世紀下半葉，但那只是壹小部分。
當然，在物理學中，麥克斯韋方程(電磁學的基本方程)是線性偏微分方程，與之相對應。
楊-米爾斯方程是非線性方程，應該調節與材料結構相關的力。
這些方程是非線性的，因為楊-米爾斯方程本質上是麥克斯韋方程的矩陣體現。
而矩陣不可交換的事實導致了方程中的非線性項，所以這裏我們看到壹條非線性線
性和不可交換性之間有趣的關系。非對易性產生了壹種特殊的非線性，這確實是有意的。
思考和平是非常重要的。
幾何和代數
到目前為止，我已經談了壹些壹般性的話題。現在我想講壹個數學中的二分法現象。大家說說吧。
後擺壹直伴隨著我們，這讓我有機會做壹些哲學上的事情？# # # # #怎麽才能退休？打壓傅霓？
幾何和代數之間的二分法，這是數學的兩大形式支柱，有著悠久的歷史。
他的殘雪可以追溯到古希臘甚至更早；代數起源於古代阿拉伯人和古印度人。因此，它
學生成了數學的基礎，但他們之間有壹種不自然的關系。
我先從這個問題的歷史說起。. Euc1id幾何是數學理論中最早的例子，直到d。
埃斯卡特斯在把代數坐標引入我們現在稱之為笛卡爾平面之前，壹直是純幾何的。
Rtes的做法是把幾何思維變成代數運算的壹種嘗試。從代數的角度來看，這是當然的
對幾何學的重大突破或重大影響，如果以點來比較牛頓和萊布尼茨。
分析工作，我們會發現他們屬於不同的傳統，牛頓基本上是壹個幾何學家和Le1bn。
Iz基本土是代數科學家，這有很深刻的道理。對於牛頓，幾何，或者
他發展的微積分是描述自然規律的數學嘗試。他關心的是廣義上的。
在他看來，如果有人想要理解事物，他就必須利用物理世界。
從觀點來看？# # # # #眉毛怎麽了？彼得。⒄刮⒒？值得霓虹烤胍嗎？⒄溝霓虹？
微積分是壹種可以盡可能貼近隱藏在背後的物理內涵的表達形式，所以他用幾何論證。
因為它能與現實意義保持密切的關系，另壹方面，萊布尼茨有壹個目標和壹個抱負。
目標是把整個數學形式化，變成壹個巨大的代數機器，這和牛頓的做法完全不同。
不同，他們有許多不同的標記。我們知道，牛頓和萊布尼茨之間的這壹幕。
在大辯論中，萊布尼茨的記譜法最終獲勝。我們還是用他的符號來寫偏導數的本質牛頓。
上帝還活著，但他已經被埋葬很久了。
19世紀末，也就是壹百年前，龐加萊和希爾伯特是兩個主要人物。我在前面。
前面已經提到過，粗略地說，他們分別是牛頓和萊布尼茨的後代。
他的思想更多的是關於幾何學和拓撲學的精神，他把這些思想作為自己基本的洞察工具。。希爾伯特更多
是壹個形式主義者，他希望公理化、形式化，並給予嚴格的、形式化的描述。盡管
沒有壹個偉大的數學家可以輕易歸入哪壹類，但很明顯，他們屬於不同的類別。
傳統。
在準備這份報告的時候，我想我應該把我們這壹代能夠繼承這些傳統的特點寫下來。
代表人物姓名。談論還活著的人是非常困難的——誰應該在這個名單上？然後我...
我心想:誰會介意被放在這麽有名的名單的哪壹邊呢？所以我選了兩個名字a。
Rnold Bourbaki，前者是龐加萊-牛頓傳統的繼承人，而後者，我認為，是希爾伯。
。阿諾德，T最著名的繼承者，毫不含糊地認為他對力學和物理學的觀點基本上是幾何的，但是
源自牛頓；我認為有介於兩者之間的東西，除了像黎曼這樣的東西(他確實對兩者都有偏見)
除了少數人，這是壹場誤會。。布爾巴基試圖繼續希爾伯特的形式研究，把數學
公理化和形式化已經推進到壹個顯著的範圍，並取得了壹些成功。每個觀點都有其優點。
但是很難調和它們。
讓我解釋壹下我是如何看待幾何和代數的區別的。幾何當然是講空間的。
這是毫無疑問的。如果我面對這個房間裏的觀眾，我可以在壹秒或壹微秒內看到它。
很多，收到了很多信息，當然，這不是偶然事件。我們大腦的結構和視覺極其相似
重要的關系。從壹些從事神經生理學的朋友那裏了解到，視覺占據了大腦皮層的%。
八九十。大腦中大約有十七個中心，每個中心分別負責視覺活動的不同部分。
有些部分與垂直方向有關，有些部分與水平方向有關，有些部分與顏色和透視有關。
是的，最後壹部分涉及到我們看到的東西的具體含義和解釋。理解和感知我們看到的世界。
邊界是我們人類發展和進化的壹個非常重要的部分。因此，空間直覺或
空間感知是壹個非常強大的工具，在數學中也被幾何所占據。
重要位置，它不僅可以用於那些幾何性質明顯的東西，甚至可以用於那些不清楚的東西。
有幾何性質的東西也可以。我們試圖把它們簡化成幾何形式，因為這使我們能夠
運用我們的直覺。我們的直覺是我們最強大的武器，尤其是在向學生或同事解釋壹種數學時。
可以看的很清楚。當妳解釋壹個又長又難的論點時，妳最終讓學生理解了它。學生們
妳說話的時候會說什麽？他會說:“我明白了(我明白了)！”“看到和理解是同義詞，我
學生也可以同時用“感知”這個詞來描述，至少這在英語中是正確的，並把這種現象和別人進行比較。
語言對比同樣有趣。我覺得有壹點很基本:人類已經過了這個偉大的能力和視覺時刻。
活動獲得大量信息，從而發展，教學參與其中並使之完善。
另壹方面(也許有人不這麽認為)，代數本質上是關於時間的。
什麽樣的代數是壹系列的運算壹個接壹個地列出，意思是“壹個接壹個”
我們必須有時間的概念。在靜態的宇宙中，我們無法想象代數，但幾何的本質是靜態的。
有狀態:我可以坐在這裏觀察，什麽都沒有改變，但是我可以繼續觀察。但是，代數和時間是有關系的。
關，這是因為我們有壹系列的操作。我這裏說的代數，不僅僅是指近世代數。
任何算法，任何計算過程，都給出了壹系列相繼的步驟，這是現代計算機的發展所做出的。
壹切都很清楚。現代計算機使用壹系列0和1來反映它們的信息，從而給出問題的答案。
代數涉及時間的運算，幾何涉及空間。它們是世界的兩個相互垂直的方面。
而且它們代表了數學中兩個不同的概念，所以代數和幾何在過去的數學家中是相對重要的。
性的爭論或對話代表了非常非常基本的東西。
當然只是為了論證哪壹方輸了哪壹方贏了。不值得。當我考慮這個問題時。
有壹個形象的比喻:“妳想做代數還是幾何？”這個問題就像在問
妳願意聾還是願意瞎？壹樣。如果人的眼睛是瞎的，就看不見空間；如果人們的耳朵
如果妳是聾子，妳就聽不見。聽覺及時發生。壹般來說，我們寧願兩者兼得。
在物理學中，在物理概念和物理實驗之間有壹個類似的、大致平行的劃分。物理學
學習有兩個部分:理論——概念、想法、語言、法則——和實驗工具。我覺得概念是在壹定範圍內的。
意義是幾何的，因為它們涉及現實世界中發生的事情。另壹方面，實驗更多
就像壹個代數計算，人們總是要花時間去做事情，測量壹些數字，代入公式。但是現在，
實驗背後的基本概念是幾何傳統的壹部分。
把上述分叉現象用壹種更哲學或者文學的語言來說，就是對於幾何學家來說，代數是
就是所謂的“浮士德的奉獻”。眾所周知，在歌德的故事中，浮士德可以
得到他想要的(也就是美女的愛)，代價是出賣自己的靈魂，代數是魔鬼提出來的。
提供給數學家。魔鬼會說:“我會給妳這個強大的機器，它可以回答妳的任何問題。”。
妳只需要把妳的靈魂給我:放棄幾何，妳就會擁有這臺強大的機器。
把它想象成壹臺電腦！).當然，我們想同時擁有它們。也許我們可以欺騙魔鬼。
假裝我們出賣自己的靈魂，但並不真的付出。但對我們靈魂的威脅依然存在，因為當我們求助於它時。
在代數計算中，我們會本質上停止思考，停止用幾何概念思考問題，停止思考它們的意義。
我在這裏多講壹點代數，但是代數的目標總是建立壹個公式。
放在壹個機器裏，轉動手柄就能得到答案，也就是帶點有意義的東西。
，把它變成壹個公式，然後得到答案。在這樣的過程中，人們不再需要考慮這個代數。
這些不同階段對應的幾何是什麽？這樣就失去了洞察力，這在那些不同的階段是很不壹樣的。
重要。我們絕不能放棄這些見解！最後，我們將回到這個問題上來，這就是我所說的。
浮士德的奉獻。我知道這有點尖銳。
幾何和代數的這種選擇導致了壹些交叉學科的出現，以及代數和幾何的關系
“diagra”和“Diagra”的區別並不像我說的那樣直白和樸實無華。
m)。除了幾何直觀，圖式還能是什麽？
通用技術
現在不想講太多按內容劃分的話題，而是想根據已經使用的技術和實踐來講那些。
看到方法定義的主題，就是我想描述壹些已經在很多領域廣泛應用的常用方法。第壹個
是:
同源理論
同調理論在歷史上作為拓撲學的壹個分支發展起來。它涉及到以下幾種情況。有壹個。
復雜的拓撲空間，從中我們想得到壹些簡單的信息，比如數洞數或者類似的東西，
得到了與之相關的壹些可加線性不變量，這是線性不變量在非線性條件下的壹種構造
從幾何角度看，閉鏈可以加減，從而得到壹個空間的所謂同調群。同源理論
，作為從拓撲空間中獲取某些信息的基本代數工具，是在本世紀上半葉被發現的。
從幾何中獲益良多的代數。
同調的概念還出現在其他方面，它的另壹個來源可以追溯到希爾伯特和他關於多項式的理論。
在的研究中，多項式是非線性函數，可以相乘得到更高階的多項式。是希爾伯特。
這種偉大的洞察力促使他討論“理想”，即具有公共零點的多項式的線性組合。他想找到這個。
壹些理想的發電機。可能有許多發電機。他考察了它們之間的關系以及它們之間的關系。因此
他得到了這些關系的層次譜系，也就是所謂的“希爾伯特合取”。希爾伯特的理論是
壹個非常復雜的方法，他試圖把壹個非線性的情況(多項式研究)變成線性的情況。本質
基本上希爾伯特構建了壹個復雜的線性關系系統，可以把多項式這種非線性的東西整合起來。
包括壹些信息。
在拓撲學中，Hirzebruch和我復制了這些想法，並將其應用到壹個純拓撲範式中。
從某種意義上說，如果格羅滕迪克的工作與希爾伯特的工作相關聯，
那麽我們的工作更接近黎曼-龐加萊關於同調的工作，我們使用連續函數。
他使用了多項式。k理論在橢圓算子的指數理論和線性分析中也發揮了重要作用。
從不同的角度來看，Milnor，Quillen和其他人發展了K-理論的代數方面，這在
在數論研究中有很大的潛在應用。沿著這個方向的發展，引出了很多有趣的問題。