(1)
馬克思曾認為函數的概念起源於代數中對不定方程的研究。由於羅馬時代的丟番圖已經研究了不定方程，函數的概念至少在那時就已經萌芽了。
自從哥白尼的天文學革命以來，運動成了文藝復興時期科學家們的共同興趣。人們在思考:既然地球不是宇宙的中心，它有自己的自轉和公轉，為什麽落體會垂直落向地球而不是偏轉？這顆行星的軌道是橢圓形的。原理是什麽？此外，對地球表面射彈的飛行路線、射程和可達高度的研究，以及射彈速度對高度和射程的影響，不僅是科學家試圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題。函數的概念是從運動的研究中衍生出來的數學概念，運動是函數概念的力學來源。
(2)
早在函數的概念明確提出之前，數學家們就已經接觸和研究了許多具體的函數，如對數函數、三角函數、雙曲函數等。笛卡爾在1673左右的《解析幾何》中就已經註意到了壹個變量對另壹個變量的依賴性，但是他當時並沒有意識到需要提煉函數的壹般概念，所以牛頓和萊布尼茨直到17世紀後期才建立了微積分。
1673年，萊布尼茨首先用“函數”這個詞來表示“冪”，後來他又用這個詞來表示曲線上各點的幾何量，如橫坐標、縱坐標、切線長度等。可見“函數”這個詞原本的數學含義是相當廣泛和模糊的。幾乎與此同時，牛頓在微積分的討論中用另壹個術語“流”來表示變量之間的關系，直到。瑞士數學家約翰·伯努利在萊布尼茨的函數概念的基礎上明確定義了函數的概念。伯努利把變量X和常數以任何方式形成的量稱為“X的函數”，表示為yx。
當時由於連接變量和常數的運算主要是算術運算、三角運算、指數運算和對數運算，歐拉簡單地把用這些運算連接變量x和常數c的公式命名為解析函數，並將其分為“代數函數”和“超越函數”。
18世紀中期，由於對弦振動的研究，達朗貝爾和歐拉先後引入了“任意函數”的概念。達朗貝爾在解釋“任意函數”的概念時，說它的意思是“任意的解析式”，而歐拉認為它是“任意畫出的曲線”。現在看來，這些都是函數的表達式，是函數概念的延伸。
(3)
函數概念缺乏科學的定義，造成了理論與實踐的尖銳矛盾。例如，偏微分方程在工程技術中有著廣泛的應用，但函數缺乏科學的定義，極大地限制了偏微分方程理論的建立。從1833到1834，高斯開始將註意力轉向物理學。在和w·威爾伯壹起發明電報的過程中，他做了大量的磁學實驗工作。“力與距離的平方成反比”這壹重要理論的提出，使函數作為壹門獨立的數學分支出現，實際需要促使人們進壹步研究函數的定義。
後來人們給了這樣壹個定義:如果壹個量依賴於另壹個量，當後壹個量變化時，前壹個量也隨之變化，那麽第壹個量就叫做第二個量的函數。“雖然這個定義還沒有揭示函數的本質，但給函數的定義註入變化和運動，是壹個可喜的進步。”
在函數概念的發展史上，法國數學家傅立葉的工作影響最大。傅立葉深刻地揭示了函數的本質，認為函數不必局限於解析表達式。1822，他在他的名著《熱的解析理論》中說，“通常，函數代表壹組相連的值或縱坐標，每壹個都是任意的...，而且我們不假設這些縱坐標服從壹個共同的定律；無論從哪方面來說，它們都是相鄰的。”在這本書中，他用三角級數和的形式表達了壹個由不連續的“線”給出的函數。更準確地說，任何具有2π的周期函數都可以用[-π，π]來表示。
表明，在他們當中，
傅立葉的研究從根本上動搖了關於函數概念的舊傳統思想，在當時數學界引起了極大的震動。本來解析式和曲線之間沒有不可逾越的鴻溝，級數把解析式和曲線聯系起來，函數是解析式的觀點最終成為揭示函數之間關系的巨大障礙。
通過壹場爭論，羅巴切夫斯基和狄利克雷的函數定義產生了。
1834年，俄國數學家羅巴切夫斯基提出了函數的定義:“x的函數是這樣壹個數，它對每壹個x都有壹個確定的值，並隨x而變化，函數值可以由壹個解析式或壹個條件給出，它提供了壹種求所有相應值的方法。函數的這種依賴性是可以存在的，只是現在還不得而知。”這個定義建立了變量和函數之間的對應關系。
1837年，德國數學家狄利克雷認為X和Y之間的關系如何建立並不重要，所以他的定義是:“如果對於X的每壹個值，Y總有壹個完全確定的值與之對應，那麽Y就是X的函數。”
根據這個定義，即使它表達如下，它仍然被說成是壹個函數(狄利克雷函數):
f(x)= 1？(x是有理數)，
0?x是壹個無理數。
在這個函數中，如果x的值從0開始逐漸增大，那麽f(x)會突然從0變為1。在任何壹個小區間內，f(x)都會突然從0到1無限變化。所以很難用壹個或幾個公式來表達，甚至能不能找到表達式都是個問題。但是能不能用表達來表達，在狄利克雷裏面就說了。
狄利克雷對函數的定義極好地避免了以往函數定義中對依賴性的所有描述，並以完全明確的方式被所有數學家無條件地接受。至此，可以說已經形成了函數的概念和函數的本質定義，也就是人們常說的函數的經典定義。
(4)
生產實踐和科學實驗的進壹步發展，引起了函數概念新的尖銳矛盾。20世紀20年代，人們開始研究微觀物理現象。1930年量子力學問世，量子力學中需要壹個新的函數——δ函數。
即。ρ(x)= 0，x≠0，
∞，x=0。
和
δ-函數的出現引起了激烈的爭論。按照函數的原始定義，只允許數與數之間的對應關系，而不把“∞”作為數。另外，不可思議的是，對於自變量只有壹個點不為零的函數，但其整數值不等於零。但是，δ-函數確實是實際模型的抽象。比如汽車和火車過橋，很自然。
P(0)=壓力/接觸面= 1/0 = ∞。
在靜止點x≠0，因為沒有壓力所以沒有壓力，也就是？P(x)=0。此外，我們知道壓力函數的積分等於壓強，即
在這樣的歷史條件下，函數的概念積極發展，產生了新的現代函數定義:如果集合M的任意元素X總有壹個由集合N決定的元素Y與之對應，則稱壹個函數定義在集合M上，記為y=f(x)。元素X稱為自變量，元素Y稱為因變量。
雖然函數的現代定義與經典定義在形式上只有壹字之差，但這是概念上的重大發展，是數學發展的重大轉折。現代泛函分析可以作為這個轉折點的標誌，它研究壹般集合上的泛函關系。
函數的定義經過200多年的錘煉和改造，已經形成了現代意義上的函數定義，應該說已經相當完善了。但是，數學的發展是無止境的，函數現代定義的形成並不意味著函數概念發展的歷史終結。在過去的二十年裏，數學家們將函數歸因於壹個更廣泛的概念——“關系”。
設x和Y，我們定義x和Y的乘積集X×Y為
X×Y={(x，y)|x∈X，y∈Y}。
乘積集X×Y，R的壹個子集稱為X與Y的關系，若(X，y)∈R，則稱X與Y有關系，記為xRy。如果(X，y)R，就說X和y沒有關系.
我們假設F是X和Y的關系，即fX×Y Y，如果(X，Y)，(X，z)∈f，必然有y=z，那麽F稱為從X到Y的函數，在這個定義中，形式上已經避免了“對應”這個術語，使用了集合論的所有語言。
從上述函數概念發展的全過程中，我們體會到聯系實際和大量的數學資料來研究、探索和拓寬數學概念的內涵是多麽重要。