“古希臘”這個詞我們很熟悉，但很多人並不了解。
如果說《幾何原本》的作者歐幾裏德可以代表整個古希臘人民，那麽我可以說，古希臘是古代文化中最輝煌的壹支——因為古希臘的數學不僅包含數學，還包含了罕見的邏輯和耐人尋味的哲學。
數學著作《幾何原本》用幾個顯而易見的、眾所周知的定義、公設和公理相互銜接，發展出壹系列命題:從簡單到復雜，相輔相成。我們不能不佩服它嚴謹的邏輯。
從我目前所訪問的命題來看，歐幾裏德證明了關於線段“等長”的最常見、最基本的問題是畫圓:因為圓的所有半徑都相等。壹般的數學思想是很復雜的。就在這裏壹點點，然後我又去了那裏。《幾何原本》很容易被我接受，大概是因為歐幾裏得反復用了壹個思想讓讀者接受。
但是，我想強調的是他的哲學。
書中有幾個命題:比如“等腰三角形的兩個底角相等，腰與底形成的兩個余角相等”，又比如“如果三角形中兩個角相等，那麽兩條邊相等”。當我讀到這些命題的時候，我壹直在遭受幾何之外的震撼。
我們在七年級學過幾何。當我們當時想到做這種證明，需要證明壹個三角形中的兩個角相等時，我們總是寫:“因為是等腰三角形，所以兩個底角相等”——我們總是習慣性地認為壹個等腰三角形的兩個底角相等；他壹邊看《幾何原本》，壹邊思考“為什麽等腰三角形的兩個底角相等”。想想，壹個念頭是習慣了，壹個念頭是在想為什麽。這還不足以說明現代人的問題嗎？
大多數現代人似乎已經失去了好奇心。這裏的好奇心不僅僅指對新奇事物的那種興趣，還包括對普通事物的興趣。比如，很多人會問“為什麽宇航員會浮在空中”，但他們可能不會問“為什麽我們能站在地面上不浮”；很多人會問“吃什麽能減肥”，但可能不會問“羊為什麽吃草不吃肉”。
我們太習慣身邊的事情，以至於對很多“普通”的事情不感興趣然後去琢磨。牛頓為什麽會發現引力？很大壹部分原因在於他的好奇心。
如果我們只是把《幾何原本》當成壹本數學書來讀，那就大錯特錯了，因為古希臘數學滲透著哲學，學數學就是學哲學。
哲學第壹課:人要樹立好奇心，不僅要探索新事物，也要探索身邊的普通事物。這是我讀《幾何原本》的意外收獲！
對幾何元素的思考2。今天我讀了壹本叫做《幾何原本》的書。它是古希臘數學家和哲學家歐幾裏得的不朽著作，將希臘數學家的成就和精神集於壹書。
《幾何原本》包含了原卷13的全部內容，包括5個公理、5個公設、23個定義和467個命題，即首先提出公理、公設和定義，然後由簡單到復雜加以證明，並在此基礎上形成歐幾裏得幾何體系。歐幾裏德認為數學是壹個高貴的世界，即使作為世俗君主，在這裏也沒有特權。與時間中腐朽的物質相比，數學揭示的世界是永恒的。《幾何原本》不僅是壹部數學著作，而且充滿了哲學精神，它第壹次完成了人類對空間的理解。古希臘數學脫胎於哲學。它用了各種可能的描述來分析我們的宇宙，使它不混亂，不分離。它與中國和古埃及的世俗數學完全不同。它建立了物質世界和精神世界的確定體系，讓小到人類的人都能從中獲得壹點自信。
本書命題1提出了如何做等邊三角形，由此產生了三角形同余定理。即角、邊、角或邊、角、邊或邊、邊和邊相等，壹個等腰三角形——等邊是等邊；等角是等邊。就這樣，歐幾裏德從點、線、面、角四個部分，由淺入深，提出了自己的幾何理論。前壹個命題為後壹個命題做鋪墊；後壹個命題是由前壹個衍生出來的，環環相扣，非常嚴謹。
這本書很深奧，我只能理解十分之壹左右，很震撼。歐幾裏得不愧是幾何之父！他是數學史上最耀眼的明星。我要向他學習，堅定地沿著自己的目標走下去。
公理結構是現代數學的主要特征。原版是最早完成公理化結構的模型，產生於兩千多年前，難能可貴。然而，以現代標準來看，也有許多缺點。首先，壹個公理系統有壹些原始的概念，或者說是未定義的概念，作為其他概念定義的基礎。點、線、面都屬於這壹類。在《要件》中，壹壹給出了定義，而這些定義本身就是模棱兩可的。其次，公理體系不完整，沒有運動、順序、連續等公理，所以很多證明都得靠直覺。另外，有些公理不是獨立的，也就是可以從其他公理推導出來。這些缺陷直到1899年希爾伯特《幾何基礎》的出版才得以彌補。盡管如此，畢竟缺點並不能掩蓋余的瑕疵。原著開創了數學公理化的正確道路，對整個數學發展的影響超過了歷史上任何壹部著作。
原著的兩大理論支柱——比例理論和窮竭法。為了討論相似論，歐幾裏得整理了比例論，引用了歐多克索斯的比例論。這個理論非常成功。它避開了無理數，建立了正確的可公度與不可公度的比例理論，從而成功地建立了相似理論。在幾何發展史上，解決曲邊圍成的面積、曲面圍成的體積等問題壹直是人們關註的重要課題。這也是微積分涉及的初始問題。它的解依賴於極限理論，這個理論已經在17世紀了。而在古希臘，公元前三、四世紀在證明壹些重要的面積和體積問題時並沒有明顯的極限過程，他們解決這些問題的思想和方法是如此先進，以至於深刻影響了數學的發展。
把圓變成正方形的問題是古希臘數學家奧多克索斯提出的，後來以窮舉法命名。窮舉法是基於阿基米德公理和歸謬法。在《幾何原本》中，歐幾裏得用窮舉法證明了許多命題，如圓的面積與直徑的平方之比。兩個球體的體積比等於它們直徑的立方比。阿基米德運用窮舉法的技巧更加嫻熟。並用它解決了壹些面積和體積的重要命題。當然，用窮舉法證明壹個命題，首先要知道命題的結論，而結論往往是由推測和判斷決定的。阿基米德在這裏做了重要的工作。他在《方法》壹文中闡述了求結論的壹般方法，其中其實就包含了積分的思想。他對數學的貢獻奠定了他在數學史上的突出地位。
制圖問題的研究與總結。歐幾裏得在《幾何原本》中談到了正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形和正五邊形的畫法，但沒有提到其他的正多邊形。可以看出，他嘗試過做其他的正多邊形，也遇到過“不會”做的情況。但當時還是無法判斷真正的“做不到”，或者暫時找不到作圖方法。
高斯對單個正多邊形的畫法並不滿意。他希望找到壹個判斷哪些正多邊形能用尺子和圓規做，哪些正多邊形不能做的標準。換句話說，他已經意識到，尺子和圓規的“效率”並不是萬能的，有些正多邊形不壹定能做出來，並不是說人們找不到壹種作圖方法。在1801中，他發現了壹個新的研究成果，可以判斷壹個正多邊形能否做成的判據。判斷這道題能不能做，我們先把它變成壹個代數方程。然後，用代數方法判斷。判斷的標準是:“用尺子和圓規可以做出壹個幾何量的充要條件是，將壹個已知量所對應的數進行有限次的加減乘除平方運算，就可以得到這個幾何量所對應的數。”(圓周率不能這樣得到，是超越數，E和路易斯維爾數都是超越數。我們知道，實數是不可數的，分為有理數和無理數。其中有理數和壹些無理數，比如根號2，都是代數數，代數數是可數的，所以實數中的不可數是因為超越數的存在。雖然超越數很多，但是判斷壹個數是否超越並不是那麽簡單。)在這壹點上，“三難題”，即“把圓變成正方形、角三等分、立方體對折”，是用尺子做不出來的作圖題。正七邊形可以，但其方法不好給。在65，438+0，796和65，438+0.9歲時，高斯給出了正七邊形的尺規作圖法，並進行了詳細的討論。為了表彰他的發現，在他死後，壹個規則的七邊形被刻在他的家鄉布倫瑞克建造的紀念碑上。
幾何學中連續公理的介紹。作圖問題中“交點”的存在不能從歐幾裏得公設和公理中推導出來。因為沒有連續性的概念(公理)。這就需要在歐幾裏得公理系統中增加壹個新的公理——連續性公理。雖然費馬和笛卡爾在19世紀之前就已經發現了解析幾何，但是代數已經有了長足的進步，微積分已經進入大學課堂，拓撲學和射影幾何已經出現。但是數學家的對數系統的理論基礎還很模糊，沒有得到重視。直觀上承認了實數和直線上的點是連續的，是壹壹對應的。直到19結束，這個重要問題才圓滿解決。從事這項工作的學者包括康托爾、戴德金、阿砣、希爾伯特等人。當時康托爾希望用基本數列建立實數理論，戴德金也深入研究了無理數的概念。他的壹篇論文發表在1872。在此之前的1858，他在給學生教微積分的時候，就知道實數系沒有邏輯基礎的保證。因此，當他要證明“單調遞增有界變量序列趨向於壹個極限”時，就不得不求助於幾何直覺。其實“壹條直線上的所有點都是連續統”是沒有邏輯依據的。不清楚所有實數和壹條直線上所有點之間是否壹壹對應。比如數學家波爾卡就把兩個數之間至少有壹個數的存在視為數的連續性。其實這是壹個誤區。因為，任意兩個有理數壹定能找到壹個有理數。然而，有理數並不都是數。經過德德金的劃分，人們認識到波爾卡奴的觀點只是數字的密度，而不是連續性。無理數引發的數學危機壹直持續到19世紀。直到1872年，德國數學家戴德金通過有理數的除法定義了無理數，將實數理論建立在嚴格的科學基礎上，結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第壹次大危機。
《原本》還研究了很多其他問題，比如求兩個數的最大公因式(可以推廣到任意有限個數)和數論中素數的無窮個數。
在高等數學中，有正交的概念，最早的概念起源應該是勾股定理，我們稱之為勾股定理，只是3股4弦5的勾是特例，勾股定理對任何直角三角形都成立。並且從勾股定理中，找到了無理數的根號2。數學方法中涉及到演繹法，證明命題時使用歸謬法(即歸謬法)。也許是受丟番圖將壹個平方數分成兩個平方的整數解的啟發，著名的費馬大定理在350多年前由法國數學家提出，吸引了歷代數學家花大力氣去證明，有力地推動了數論應用於整個數學的進程。1994年，英國數學家安德魯·韋羅斯解決了這個史詩般的問題。
多年來，成千上萬的千千人(牛頓、阿基米德等。都很有名)通過學習歐幾裏得幾何接受了邏輯方面的訓練，從而步入了科學的殿堂。
對幾何元素的思考4。《幾何原本》被認為是數學。聖經，第壹部系統的數學著作，牛頓和愛因斯坦用這種形式寫出了自然哲學的數學原理和相對論。斯賓諾莎寫了哲學著作《倫理學》，可以作為哲學、社會科學和心理學的接口，具有很強的思辨性。
幾何原本壹共有13冊，學習前六冊就夠了，因為後面的都是應用到具體領域，無理數，立體幾何等領域。我認為幾何學的本質本來就是合理的假設和對點、線、面的抽象，這樣後壹個定理才能成立，第五公設後來被推翻了，以點、線、面為基礎，以歐幾裏德工具為工具。主要是最簡單的幾何形狀，從怎麽畫開始，也是有理有據，然後各種形狀的性質，各種形狀之間關系的定理都是壹步步推導出來的。
在幾何學上，阿波羅尼斯的圓錐割線理論和牛頓的自然哲學數學原理都是比較系統的數學著作，都是用歐幾裏得工具證明的。後來微積分工具的出現，我認為是解圓周率的過程和無限逼近的思想，使得微積分工具應運而生。現代數學看似陣容豪華，卻沒有新的工具。只是各種形狀的微積分工具的應用，數學主要是在空間上做文章。現在似乎有很多工作是數學可以做的，但也得益於物理學的發展。壹方面，數學發展到壹般方面，已經被遺忘了。想數學思維沒什麽，但這是大量的腦力勞動，尤其是對於那些只是純數學研究，不思考的人來說，很累，做不了有意義的工作。
看了二十世紀的數學史，在裏面找到了人的作品。我壹個都不想看。太空洞了。
讀了《幾何原本》，在文藝復興後的歐洲，由於阿拉伯的影響，代數發展很快。另壹方面，在17世紀之後，數學分析的發展非常顯著。因此，幾何也擺脫了與代數隔絕的狀態。正如他的名著《幾何》中所說，數與圖形有著密切的關系，坐標是在空間中設定的，圖形是用數與數之間的關系來表示的；反過來，壹個圖可以表示為數字之間的關系。這樣，根據坐標，圖形就變成了數與數之間關系的問題，這種方法就叫解析幾何。恩格斯在《自然辯證法》中高度評價了笛卡爾的工作。他指出:“數學的轉折點是笛卡爾的變量。有了變量，運動進入數學。有了變量，辯證法進入數學。有了變量，微分和積分就變得必要了。"
事實上，笛卡爾的思想為17世紀數學分析的發展提供了強大的基礎。18世紀，由於l .歐拉等人的開創性工作，解析幾何得到了迅速發展，甚至希臘時代(約公元前262年~約公元前190年)阿波羅尼烏斯等人討論的圓錐曲線理論也再次被當作圓錐曲線理論，進行了代數整理。此外，18世紀發展起來的數學分析反過來應用於幾何學。在本世紀末，加斯帕爾·蒙日開創了數學分析在幾何中的應用，成為微分幾何的先驅。如上所述，很多幾何問題都可以用解析幾何來討論。但也不能說這是對所有問題最適用的。與解析幾何方法相反，還有合成幾何或純幾何方法，這是壹種不用坐標直接考察圖形的方法，數學家歐幾裏得幾何就是如此。射影幾何就是這種思維方法指導下的產物。
早在文藝復興時期，造型藝術就在意大利盛行和發展，它伴隨著所謂透視法的研究。當時包括達芬奇在內的很多人都把這種透視法作為實用幾何來研究。自17世紀以來，G. Dezag和B. Pascal擴展和發展了這種透視法，從而為射影幾何奠定了基礎。以他們命名的兩個定理成為射影幾何的基礎。壹個是德劄格定理:如果平面上兩個三角形對應頂點的連線相交於壹點，則它們對應邊的交點在壹條直線上；反之亦然。第二個是帕斯卡定理:如果六邊形的頂點在同壹條二次曲線上，那麽它的三對對邊的交點在同壹條直線上；反之亦然。18世紀後，J.-V .潘斯萊、Z.N.M .吉安諾和j .施泰納完成了這壹幾何。
對幾何元素的思考6。數學最古老的分支。據說起源於古埃及尼羅河泛濫後整治土地的測量方法，其外文名geo由geo(土地)和metry(測量)組成。泰勒斯曾經用兩個三角形的等價來做間接測量；畢達哥拉斯學派以畢達哥拉斯定理而聞名。中國古代就有畢達哥拉斯計量。漢人寫的《周髀算經》第壹章，記述了西周開國時(約公元前65438年+公元前0000年)周公、姬旦與商臯的問答，討論了用矩測量的方法，得出了著名的畢達哥拉斯定律，並列舉了“勾三、顧四、武賢”的例子。產生於埃及的幾何學傳播到希臘，然後逐漸發展成為理論數學。哲學家柏拉圖(公元前429 ~ 348年)對幾何學進行了深刻的探討，確立了今天幾何學中的定義、公設、公理、定理等概念，確立了哲學和數學中的分析與綜合等概念。另外，梅內克繆斯(約公元前340年)已經有了圓錐曲線的概念。
希臘文化在柏拉圖學派時代達到頂峰，之後逐漸衰落，而埃及的亞歷山大學派逐漸繁榮，在很長壹段時間內成為文化的中心。數學家歐幾裏德把直到希臘時代所獲得的數學知識匯編成十三卷本的《幾何原本》，這就是今天仍被廣泛用作幾何教科書的數學家歐幾裏德幾何(簡稱歐幾裏德幾何)。徐光啟在1606年翻譯了《幾何原本》的前六卷，直到1847年李才翻譯完剩下的七卷。“幾何”與其說是geo的音譯，不如說是對“大小”更恰當的解釋。誠然，現代幾何是數學中關於圖形的壹個分支，但在希臘時代，它代表了整個數學。數學家歐幾裏得首先在《幾何原本》中描述了壹些定義，然後提出了五個公設和五個公理。其中第五公設尤為著名:若兩條直線與第三條直線相交，且同壹側的兩個內角之和小於兩個直角，則兩條直線適當延伸到這壹側後必相交。《幾何原本》中的公理體系雖然不能說是如此完備，但也剛剛成為現代幾何基礎理論的開創者。直到19年底，d .希爾伯特才建立起嚴格的歐幾裏得幾何公理體系。
與其他公設相比，第五公設的內容比較復雜，後來引起了人們的註意，但用其他公設推導它的嘗試失敗了。這個公設等價於下面的公設:在平面上，壹條直線之外的點可以通向壹條且只有壹條直線不與這條直線相交。η и羅巴切夫斯基和j .波爾約獨立創造了壹種新的幾何，其中第五公設被拋棄，取而代之的是另壹個公設:在平面上，壹條直線之外的壹點可以引出無限條不與這條直線相交的直線。以這種方式創造的非矛盾幾何被稱為雙曲非數學家歐幾裏得幾何。(G.F.) B .黎曼將第五公設改為“在平面上，直線外的點所畫的任何直線必與這條直線相交”，這樣創造的不矛盾的幾何被稱為橢圓的非數學家歐幾裏得幾何。