陳
摘要:數學的發展從來都不是完全線性的，而是經常出現悖論。
壹系列歷史事件
數學悖論動搖了人們對數學可靠性的信念，數學史上出現過三次數學危機。
數學悖論和危機的出現不僅給數學帶來了麻煩和失望，也給數學的發展帶來了新的活力和希望，促進了數學的繁榮。
危機產生、解決、生成的無止境的反復過程不斷推動著數學的發展，這也是數學思想重要發展的過程。
關鍵詞:數學悖論；數學危機；畢達哥拉斯悖論；貝克勒悖論；羅素的悖論
數學壹直被認為是壹門嚴謹、和諧、精確的學科。縱觀數學發展史，數學的發展從來都不是完全線性的，其體系也不總是和諧的，而是經常出現悖論。
悖論是指兩個矛盾命題在壹定的理論體系和合理的推理原則基礎上的推導，或者這樣壹個復合命題的證明，表示為兩個矛盾命題的等價[1]。
數學理論中的數學悖論的發展是壹件嚴肅的事情，因為它直接導致人們對相應的理論產生懷疑，而如果壹個悖論涉及的範圍很廣，甚至是整個學科的基礎，這種懷疑就可能發展成壹種普遍的危機感，特別是壹些重要悖論的出現，自然會引起人們對數學基礎的懷疑，動搖對數學可靠性的信念。
數學史上出現過三次數學危機，每次都是由壹兩個典型的數學悖論引起的。
回顧了歷史上的三次數學危機，著重介紹了三次數學危機在數學發展中的重要作用。
1畢達哥拉斯悖論與第壹次數學危機
1.1第壹次數學危機的內容
公元前6世紀，統治古希臘學術界的畢達哥拉斯學派被視為當時絕對權威的真理。畢達哥拉斯學派提倡壹種哲學觀點，叫做“命理學”，他們認為宇宙的本質是數的和諧[2]。
他們認為壹切都是數，數只有兩種，即正整數和可約數(即分數，兩個整數之比)，沒有其他數，也就是說世界上只有整數或分數。
勾股學派在數學上的壹大貢獻就是證明了勾股定理[3]，也就是我們所說的勾股定理。
勾股定理指出直角三角形的三條邊應具有以下關系，即a2=b2+c2，A和B分別代表直角三角形的兩條右邊，C代表斜邊。
然而，沒過多久，畢達哥拉斯學派的壹名學生赫柏斯很快就發現了這壹論斷的問題。
他發現等邊正方形的對角線長度不能用整數或整數的比值來表示。
假設壹個正方形的邊長為1，對角線長為D，根據勾股定理，d2=12+12=2，即d2=2，那麽D是什麽？顯然d不是整數，所以壹定是兩個整數的比值。
Hebers花了很多時間尋找這兩個整數的比值，但是沒有找到。而是他找到了兩個數不可通約的壹個證明[4]，用反證法證明如下:設Rt△ABC和兩直角邊為a=b，則c2=2a2從勾股定理出發，設A和C中的公約數被約化，即A和C互為素數，所以C是偶數，A。
這壹發現在歷史上被稱為畢達哥拉斯悖論。
1.2第壹次數學危機的影響
畢達哥拉斯悖論的出現對畢達哥拉斯學派造成了沈重的打擊。“數就是壹切”的世界觀受到了極大的動搖，有理數的尊崇地位也受到了挑戰，從而影響了整個數學的基礎，造成了數學界極端的思想混亂，被稱為歷史上第壹次數學危機。
第壹次數學危機的影響是巨大的，極大地促進了數學及其相關學科的發展。
首先，第壹次數學危機讓人們第壹次意識到無理數的存在，無理數誕生了。後來許多數學家正式研究無理數，給出了嚴格的無理數定義，提出了壹個新的數範疇——實數，建立了完整的實數理論[5]，為數學分析的發展奠定了基礎。
再者，第壹次數學危機表明，直覺和經驗不壹定可靠，推理證明才可靠。從此，希臘人開始重視演繹推理，並由此建立了幾何公理體系。
為了消除矛盾，緩解危機，歐幾裏德幾何在此時應運而生[6]。
第壹次數學危機極大地促進了幾何學的發展，在接下來的兩千年裏，幾何學成為幾乎所有嚴謹數學的基礎。這是數學思想史上的壹次偉大革命。
2貝克勒悖論和第二次數學危機
2.1第二次數學危機的內容
17世紀，牛頓和萊布尼茨創立了微積分。微積分可以提示和解釋許多自然現象，它在自然科學的理論研究和實際應用中的重要作用引起了人們的極大關註。
但由於微積分剛剛建立，此時的微積分只有方法，沒有嚴格的理論作為依據，很多地方存在漏洞，無法自圓其說。
比如牛頓這樣求函數y = xn的導數[7]: (x+△ x) n = xn+n？xn-1？△x+[n(n+1)/2]？xn-2？(△x) 2+…+(△ x) n，然後用自變量的增量△x除以函數的增量△y，△ y/△ x = [(x+△ x) n-xn]/△ x = n？xn-1+[n(n-1)/2]？xn-2？△x+……+n？x？(△x) n-2+(△ x) n-1最後，扔掉包含無窮小△x的項，即函數y=xn的導數為y'=nxn-1。
哲學家貝克勒很快在牛頓關於導數求導過程的論述中發現了問題。他壹針見血地指出，先把△x除以△y，說明△x不等於零，再扔掉包含△x的項，說明△x等於零。這不是自相矛盾嗎？因此，貝克勒嘲諷無窮小是“失量的幽靈”，他認為微積分是通過雙重錯誤才得到正確的結果，並稱微積分的推導是“明顯的詭辯”。
[8]這就是著名的“貝克勒悖論”。
的確，在同壹個問題的討論中，所謂的無窮小有時被視為0，有時又與0不同，這是值得懷疑的。
無窮小到底是不是零？無窮小及其分析是否合理？貝克勒悖論的出現危及了微積分的基礎，並在數學界引起了長達兩個多世紀的爭論，從而形成了數學發展史上的第二次危機。
2.2第二次數學危機的影響[8]
第二次數學危機的出現，迫使數學家們認真對待無窮小△x。為了克服由此帶來的困惑，解決這場危機，無數人投入了大量的勞動。
壹開始，通過歐拉、拉格朗日等人的努力，微積分取得了壹些進展；自19世紀以來，柯西、維爾斯特拉斯等人為了徹底解決微積分的基本問題，使微積分理論變得嚴密。
微積分中的根本矛盾是如何用數學和邏輯的方法表達無窮小，從而表達與無窮小密切相關的微積分本質。
在解決無窮小的數學化問題時，出現了羅必達公理:如果壹個量增加或減少另壹個與之相比是無窮小的量，可以認為是不變的。
柯西的ε-δ法描述無窮小，將無窮小定義為以0為極限的變量。到現在，無窮小已經被極限代替了。
後來Wilstrass將其澄清，給出了嚴格的極限定義，建立了極限理論，從而使微積分建立在極限的基礎上。
極限的ε-δ定義是用靜態的ε-δ描述動態的極限，用* * * *描述無窮的過程。它是從有限到無限的橋梁和路標，它表明了有限與無限的關系，使微積分向科學和數學邁進了壹大步。
極限理論的建立加速了微積分的發展，它不僅在數學上，而且在認識論上都具有重要意義。
後來在考察極限理論的基礎上，經過德德金、康托爾、海涅、維爾斯特拉斯、巴門海默的努力，產生了實數理論。在考察實數理論的基礎時，康托爾創立了* * *理論。
這樣，有了極限論、實數論和* * *論三大理論，微積分就可以建立在壹個相對穩定和完善的基礎上，從而結束了200多年來混亂的爭論局面，開辟了下個世紀函數論的發展道路。
3羅素悖論和第三次數學危機
3.1第三次數學危機的內容
在前兩次數學危機解決後不到30年，也就是19年的70年代，德國數學家康托爾創立了數學中最具革命性的理論* * *，初衷是為整個數學大廈打下堅實的基礎。
1900年，在巴黎舉行的國際數學家大會上，偉大的法國數學家龐加萊激動地宣布[9]:“我們現在可以說數學已經達到了絕對的嚴格性。”然而，在人們為* * * *理論的誕生歡欣鼓舞的同時，壹系列數學悖論也隨之出現，困擾著數學家們的心。其中，英國數學家羅素1902提出的悖論影響最大。“羅素悖論”的內容是這樣的:設*** B是壹個由所有不是自身元素的**組成的* *，問:如果B屬於B，那麽B是B的壹個元素，所以B不屬於自身，即B不屬於B；另壹方面，如果B不屬於B，那麽B不是B的元素，所以B屬於自身，即B屬於B。
這樣，利用* * *的概念，羅素推導出*** B不屬於B的悖論當且僅當* * * B屬於B。
後來，羅素本人提出了羅素悖論的通俗版本，即巴伯悖論[10]。
理發師宣布了壹個原則，他只給村裏自己不刮胡子的人刮胡子。
所以現在的問題是，理發師的胡子應該由誰來剃？。
如果他自己刮胡子，那麽他就是村裏刮胡子的人。按照他的原則，他不應該自己刮胡子。如果他自己不刮胡子，那他就是村裏不刮胡子的人，然後他要按照自己的原則刮胡子。
還有壹個悖論:當且僅當理發師不刮胡子時，他才刮胡子。
這就是歷史上著名的羅素悖論。
羅素悖論的出現動搖了數學的基礎，震驚了整個數學領域，導致了第三次數學危機。
3.2第三次數學危機的影響
羅素悖論的出現動搖了原本是整個數學大廈基石的* * *，自然引起了人們對數學基本結構有效性的懷疑。
羅素悖論的高明之處在於，它只使用了* * *這個概念本身，不涉及其他概念，這就更讓人無法解答了。
羅素悖論引發的第三次數學危機，讓數學家們面臨極大的困難。
數學家弗雷格在《數學基礎》第二卷的結尾寫道[11]:“對於壹個科學家來說，沒有什麽比當他的工作剛剛完成時，它的壹塊基石倒塌了更令人失望的了。
這本書印刷快完成的時候，羅素先生的壹封信讓我陷入了這種境地。“可見，第三次數學危機使人們面臨壹種尷尬的局面。
然而，沒有人會回避科學，數學家們立即投身於消除悖論的工作。幸運的是，羅素悖論的根源很快就被找到了。原來，康托爾在提出* * * *理論時，並沒有對“* * *”這個概念進行必要的限制，使他能夠建構壹個“所有* * * *的集體”，這就大到產生了悖論。
許多數學家為消除* * * *理論中的各種悖論，尤其是羅素悖論進行了不懈的努力。
比如以羅素[12]為代表的邏輯主義學派，提出了類型論以及後來的曲折論、有限大小論、無階級論、分叉論等，都起到了壹定的消除悖論的作用；最重要的是德國數學家澤爾梅羅提出的* * *理論的公理化。澤爾梅羅認為，壹個合適的公理系統可以限制* * *的概念，從邏輯上保證* * *的純粹性。他首先提出了* * * *的公理化體系，後來由蘭克爾和馮？諾依曼等人的補充形成了* * * (ZFC系統)的完整公理系統[5]。在ZFC體系中，* * *和“歸屬”是兩個沒有定義的原始概念，有十條公理。
隨著ZFC體系的建立，避免了各種矛盾，從而消除了以羅素悖論為代表的壹系列* * *悖論，第三次數學危機消失了。
悖論雖然消除了，但數學的確定性卻壹步步喪失了。現代公理中很難說哪些公理是真的哪些是假的，但又不能排除。它們與整個數學息息相關，所以第三次危機表面上解決了，本質上以其他形式繼續[7]。
為了消除第三次數學危機，數理邏輯也取得了巨大的進步。證明論、模型論、遞歸論相繼誕生，基礎數學理論、類型論、多值邏輯出現。
可以說，第三次數學危機極大地促進了基礎數學研究和數理邏輯的現代性，從而直接造成了數學哲學研究的“黃金時代”。
4結論
歷史上的三次數學危機給人們帶來了巨大的困擾。危機的出現使人們意識到現有理論的缺陷。科學中悖論的出現往往預示著人類的認識將進入壹個新的階段，所以悖論是科學發展的產物，也是科學發展的源泉之壹。
第壹次數學危機使人們發現了無理數，建立了完整的實數理論。歐幾裏得幾何也應運而生，建立了幾何公理體系。第二次數學危機的出現，直接導致了極限論、實數論和* * *論三種理論的產生和完善，使微積分建立在堅實完善的基礎之上。第三次數學危機使* * *理論成為* * * * (ZFC體系)的完整公理體系，促進了數學的基礎研究和數理邏輯的現代性。
數學發展的歷史表明，數學基礎的深入研究、悖論的產生和危機的相對解決之間存在著密切的關系。每壹次危機的消除，都會給數學帶來許多新的內容、新的認識，甚至革命性的變化，使數學體系達到新的和諧，數學理論得到進壹步的深化和發展。
悖論的存在，反映了在壹定的歷史階段，數學概念和原理會出現很多矛盾，從而引發人們的質疑和危機感。但事物都是在不斷產生矛盾和解決矛盾的過程中逐漸發展和完善的。舊的矛盾解決了，新的矛盾就會產生，在這個過程中，人們會不斷積累新的認識，新的知識，發展新的理論。
數學家對悖論的研究和解決促進了數學的繁榮和發展。數學中悖論和危機的出現不僅給數學帶來了麻煩和失望，也給數學的發展帶來了新的活力和希望。
數學中的悖論和危機的歷史也說明了這壹點:已有的悖論和危機被消滅了，新的悖論和危機又出現了。
但人的認識是發展的，悖論或危機遲早是可以解決的。
“產生悖論和危機，然後試圖解決它們，然後產生新的悖論和危機。”這是壹個無止境的反復過程，不斷推動著數學的發展，這個過程也是數學思想重要發展的過程。
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