古希臘數學家丟番圖寫過壹篇著名的算術a，在中世紀和文藝復興時期的愚昧和黑暗之後，算術的殘余被重新發現和研究。1637年，法國偉大的業余數學家皮埃爾·德·弗雷馬特在《算術》那壹頁寫下了壹個猜想:xn+ yn =zn是不可能的(其中n大於2；x、y、z和n都是非零整數)。這個猜想後來被稱為費馬大定理。費馬還寫道，“我對此有壹個絕妙的證明，但這壹頁的頁邊太窄，無法書寫。”普遍認為他當時不可能有正確的證明。猜想提出後，經過歐拉等幾代天才的努力，200年只解決了n = 3、4、5、7四種情況。1847年，庫默創立了代數數論這壹重要的現代學科。他還證明了費馬大定理在n ~ 100時成立，除了n=37，59，67這些不規則素數，這是壹個很大的飛躍。
歷史上，費馬大定理有過高潮，也有過傳奇。其驚人的魅力在最後時刻挽救了自殺青年的生命。他就是德國的沃爾夫·斯克爾勒。1908年，他為費馬大定理設立了65438+百萬馬克(相當於目前1600000多美元)的獎勵，期限為1908-2007年。無數人耗盡了心血，留下了空洞的嘆息。最現代的計算機和數學技巧已經驗證了400萬以內的N，但這對最後的證明毫無幫助。德國faltings在1983證明了對於任意固定的n，最多只有有限個x，y，z，震動了世界，獲得了菲爾茲獎(數學最高獎)。
1986年夏天，歷史發生了新的轉折。貝克勒·裏佩爾證明費馬大定理包含在“谷山-誌村猜想”中。童年癡迷於此的懷爾斯隨即投身於頂樓的研究，歷時7年，匯集了20世紀數論的所有突破性成果。終於在1993年6月23日，劍橋大學牛頓研究所的“世紀之言”的最後，證明了費馬大定理。立刻震撼世界，和全世界壹起慶祝。可惜過了幾個月，漸漸發現這個證書有漏洞，壹時間成為世人關註的焦點。這個證明系統是壹個邏輯網絡，由成千上萬個深奧的數學推論連接成成千上萬個最現代的定理、事實和計算組成。任何壹個環節出現問題，都會導致之前的壹切努力前功盡棄。詭計拼死掙紮，無路可逃。
1994年9月19日，周壹早上，懷爾斯在思考的閃電中突然找到了丟失的鑰匙:解決方法就在紙堆裏！他熱淚盈眶。懷爾斯的歷史性長文《模橢圓曲線與費馬大定理》發表在1995年5月的《美國數學年鑒》(第142卷)上，實際上占據了整卷，共五章，130頁。1997年6月27日，懷爾斯被沃爾夫·斯克爾勒授予65438+百萬馬克的獎金。離截止日期10年，歷史夢想實現了。還獲得了沃爾夫獎(1996.3)、美國國家學院獎(1996.6)、菲爾茲特別獎(1998.8)。四色問題的內容是:“任何只有四種顏色的地圖，都可以使相同邊界的國家有不同的顏色。”用數學語言表達，就是“把平面隨意分成不重疊的區域，每個區域總能標上1、2、3、4四個數字中的壹個，而不使兩個相鄰的區域得到相同的數字。”
這裏所說的相鄰區域是指有壹整段邊界是公共的。如果兩個區域僅在壹點或有限數量的點處相交，則它們不相鄰。因為給它們塗上相同的顏色不會造成混淆。
四色猜想是由英國提出的。1852年，畢業於倫敦大學的弗朗西斯·格思裏(Francis guthrie)來到壹家科研單位做地圖著色時，發現了壹個有趣的現象:“似乎每張地圖都可以用四種顏色著色，這樣同樣邊界的國家就用不同的顏色著色了。”這種現象可以用數學方法嚴格證明嗎？他和正在讀大學的弟弟格萊斯決心試壹試。兩兄弟用來證明這個問題的稿紙已經堆了壹堆，但研究工作壹直沒有進展。
1852 10年10月23日，他的弟弟向他的老師、著名數學家奧古斯都·德·摩根請教這個問題的證明。摩根找不到解決這個問題的方法，於是他寫信給他的好朋友、著名數學家威廉·漢密爾頓尋求建議。漢密爾頓收到摩爾根的信後，論證了四色問題。但是直到1865漢密爾頓去世，這個問題還是沒有解決。
1872年，當時英國最著名的數學家凱利正式向倫敦數學會提出了這個問題，於是四色猜想成為世界數學界關註的問題。世界上很多壹流的數學家都參加過四色猜想的大戰役。在1878到1880的兩年間，坎普和泰勒兩位著名的律師和數學家分別提交了證明四色猜想的論文，並宣布證明了四色定理。大家都以為四色猜想從此解決了。
坎普的證明是這樣的:首先指出，如果沒有壹個國家包圍其他國家，或者不超過三個國家在壹點相交，則稱這個地圖是“正則的”。如果是規則圖，否則就是不規則圖。壹張地圖往往由正規地圖和非正規地圖聯系在壹起，但非正規地圖所需的顏色數量壹般不會超過正規地圖所需的數量。如果有壹張地圖需要五色，說明它的正規地圖是五色的。要證明四色猜想，只要證明不存在有規律的五色地圖就夠了。
坎普用歸謬法證明了這壹點，大意是:如果有壹個正則五色地圖，就會有壹個國家數最少的“極小正則五色地圖”。如果極小正則五色圖中有壹個鄰國少於六個的國家，那麽就會有壹個國家較少的正則圖仍然是五色的，所以就不會有極小五色圖的國家，也就不會有正則五色圖。於是坎普以為自己證明了“四色問題”，但後來人們發現他錯了。
但是，肯普的證明澄清了兩個重要概念，為以後解決問題提供了壹個思路。第壹個概念是“配置”。他證明了在每個正則圖中，至少壹個國家有兩個、三個、四個或五個鄰國，不存在每個國家都有六個或更多鄰國的正則圖。也就是說，壹組由兩個鄰國、三個鄰國、四個或五個鄰國組成的“配置”是不可避免的，每張地圖至少包含這四種配置中的壹種。
坎普提出的另壹個概念是可還原性。“可協商”壹詞的使用來自坎普的論證。他證明了五色地圖中只要有壹個國家有四個鄰國，就會有壹個國家較少的五色地圖。自從“構形”和“可約性”的概念被提出以來，壹些檢驗構形以確定它們是否可約的標準方法逐漸被發展起來，可以找到可約構形的必然群，這是證明“四色問題”的重要基礎。但是要證明壹個大的配置是可約的，需要查很多細節，相當復雜。
11年後，也就是1890年，年僅29歲、就讀於牛津大學的赫伍德用自己的精確計算指出了坎普證明中的漏洞。他指出，坎普提出的沒有最小五色地圖的國家不可能有五個鄰國的理由是有缺陷的。很快，泰勒的證明也被否定了。人們發現他們其實證明了壹個弱命題——五色定理。也就是說，給地圖塗上五種顏色就夠了。後來，越來越多的數學家為此絞盡腦汁，卻壹無所獲。於是，人們開始意識到，這個看似簡單的題目，其實是壹個堪比費馬猜想的難題。
自20世紀以來，科學家們基本上是按照肯普的想法證明四色猜想的。1913、美國著名數學家、哈佛大學boekhoff利用了Kemp的思想，結合了他的新思想；證明了壹些大的構形是可約的。後來，美國數學家富蘭克林在1939中證明了22個國家以下的地圖可以用四種顏色著色。1950有人從22國晉級35國。1960中證明了39個國家以下的地圖只用四種顏色就可以著色；然後推進到50個國家。看來這個進度還是很慢的。
高速數字計算機的發明促使更多的數學家研究“四色問題”。從1936開始研究四色猜想的Heck公開宣稱，可以通過尋找可約圖的必然群來證明四色猜想。他的學生圖雷寫了壹個計算程序。Heck不僅可以用這個程序生成的數據證明構型的可約性，還可以通過將映射轉化為數學上稱為“對偶”的形狀來描述可約構型。
他標出每個國家的首都，然後用壹條穿越邊境的鐵路把鄰國的首都連接起來。除了首都(稱之為頂點)和鐵路(稱之為弧或邊)之外，其他所有的線都被抹掉了，剩下的稱為原圖的對偶圖。在20世紀60年代後期，Heck引入了壹種類似於在電網絡中移動電荷的方法來尋找不可避免的壹組配置。在赫克的研究中第壹次以相當不成熟的形式出現的“放電法”，是以後研究必然群的壹把鑰匙，是證明四色定理的壹個中心要素。
電子計算機出現後，由於計算速度的快速提高和人機對話的出現，四色猜想的證明過程大大加快了。美國伊利諾伊大學的哈肯在1970開始改進“放電過程”，然後和Appel壹起編了壹個很好的程序。1976年6月，他們在美國伊利諾伊大學兩臺不同的電子計算機上，花費了1200個小時，做出了1000億次判斷，最終完成了四色定理的證明，在世界上引起了轟動。
這是100多年來吸引了眾多數學家和數學愛好者的壹件大事。當兩位數學家發表他們的研究成果時，當地郵局給當天寄出的所有郵件蓋上了“四種顏色就夠了”的特別郵戳，以慶祝這壹難題的解決。
“四色問題”被證明只是解決了壹個持續了100多年的難題，它成為數學史上壹系列新思想的起點。在“四色問題”的研究過程中，出現了許多新的數學理論，發展了許多數學計算技巧。比如把地圖的著色問題變成圖論問題，豐富了圖論的內容。不僅如此，“四色問題”還在有效設計航空公司航班時刻表和設計計算機編碼程序中發揮了作用。
然而，許多數學家並不滿足於計算機所取得的成就。他們認為應該有更簡單、更簡潔的書面證明方法。時至今日，許多數學家和數學愛好者仍在尋找更簡潔的證明方法。歷史上與質數有關的數學猜想中，最著名的是“哥德巴赫猜想”。
1742年6月7日，德國數學家哥德巴赫在給著名數學家歐拉的壹封信中提出了兩個大膽的猜想:
1.任何不小於6的偶數都是兩個奇素數之和；
2.任何不小於9的奇數都是三個奇素數之和。
這就是數學史上著名的哥德巴赫猜想。顯然，第二個猜測是第壹個猜測的推論。所以證明兩個猜想中的壹個就夠了。
同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中明確表示，他確信哥德巴赫的兩個猜想都是正確的定理，但當時歐拉無法證明。因為歐拉是當時歐洲最偉大的數學家，他對哥德巴赫猜想的信心影響了整個歐洲乃至世界的數學領域。此後，許多數學家躍躍欲試，甚至畢生致力於證明哥德巴赫猜想。然而，直到19年底，哥德巴赫猜想的證明仍無進展。哥德巴赫猜想的證明難度遠超人們的想象。有數學家將哥德巴赫猜想比作“數學皇冠上的明珠”。
我們從6=3+3，8=3+5，10=5+5開始，..., 100 = 3+97 = 11+89 = 17+83, ...甚至有人把3300萬以內的偶數都壹壹驗證了，沒有壹個不符合哥德巴赫猜想。20世紀，隨著計算機技術的發展，數學家發現哥德巴赫猜想對更大的數仍然成立。然而，自然數是無限的。誰知道在壹個足夠大的偶數上，會不會突然出現哥德巴赫猜想的反例？於是人們逐漸改變了探索問題的方式。
1900年，20世紀最偉大的數學家希爾伯特在國際數學大會上將“哥德巴赫猜想”列為23個數學問題之壹。此後，20世紀的數學家們“攜手”向世界“哥德巴赫猜想”堡壘發起進攻，最終取得輝煌戰果。
20世紀數學家研究哥德巴赫猜想的主要方法有篩法、圓法、密度法、三角求和等。解決這個猜想的思路，就像“縮小包圍圈”壹樣，逐漸接近最後的結果。
1920年，挪威數學家布朗證明了定理“9+9”，從而圈定了攻擊“哥德巴赫猜想”的“大包圍圈”。這個“9+9”是什麽？所謂“9+9”，翻譯成數學語言就是:“任何壹個足夠大的偶數都可以表示為另外兩個數的和，而這兩個數中的每壹個都是兩個奇素數的乘積。”從這個“9+9”開始，全世界的數學家集中力量“縮小包圍圈”，當然最後的目標是“1+1”。
1924年，德國數學家雷德馬克證明了定理“7+7”。很快，“6+6”、“5+5”、“4+4”、“3+3”壹壹被抓獲。1957年，中國數學家王元證明了“2+3”。1962年，中國數學家潘承東證明了“1+5”，同年與王元合作證明了“1+4”。1965年，蘇聯數學家證明了“1+3”。
1966年，我國著名數學家陳景潤攻克了“1+2”，即:“任何足夠大的偶數都可以表示為兩個數之和，而這兩個數中壹個是奇素數，另壹個是兩個奇素數的乘積。”這個定理被世界數學界稱為“陳定理”。
感謝陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想“1+1”的最終結果只有壹步之遙。但為了實現這最後壹步，可能需要壹個漫長的探索過程。很多數學家認為，要證明“1+1”，就必須創造新的數學方法，以前的方式很可能是不可能的。