有壹天，部隊開到布雷達城時，無所事事的笛卡爾在街上閑逛，突然看到壹群人在談論這件事。原來壹面墻上貼著幾何題的懸賞通告。通知上說，誰能解決這個問題，誰就將被授予本市最佳數學家的稱號。笛卡爾出於好奇寫下了題目，回到營房專心研究這道幾何題。經過努力學習，兩天後，他終於得到了答案，這讓他的數學天才嶄露頭角。
荷蘭多特蒙德學院院長比克曼非常欣賞笛卡爾的才華，並勸他說:“妳數學基礎深厚，思維敏捷，非常適合從事數學研究。離開部隊，我相信妳將來會成功的。”
笛卡爾沒有離開軍隊，但他仍然癡迷於數學，尤其想接觸古希臘幾何的三大難題。說到這三個問題，有壹個古老的傳說:大約在2300年前，古希臘的提洛斯島上正在傳播壹場可怕的瘟疫，人們生活在死亡的恐怖中。他們來到寺廟，祈禱道:“萬能的上帝，請賜予我們和平！”誰知殿主騙了這些窮人，說:“我的信士們，神在保護妳們。只要妳把所獻的立方體祭壇的體積增加壹倍，而不改變它原來的形狀，上帝就會高興，避免妳的災難。”
垂死的人聽了這話，立即去重建上帝的祭壇，他們把祭壇每邊的長度增加了壹倍。但是寺廟的主人看了看說:“這哪裏是原來的兩倍？這是它的八倍。上帝不高興了！”
人們聽說後，很快就把它拆除重建了。他們把體積改成原來的兩倍，但形狀是長方體。殿主罵道:“該死的信徒，妳怎麽把壇的形狀改了？這不是捉弄上帝嗎？”小心有更大的瘟疫！"
驚慌失措的人們急忙尋找著名學者柏拉圖，把希望寄托在這位偉大的智者身上。誰知柏拉圖和他的學生無論用尺子和圓規怎麽畫都找不到正確的方法，於是立方積問題就變成了幾何問題。
後來希臘人遇到了把壹個已知的角分成三等份，把壹個圓變成正方形的問題(就是找壹個正方形，使它的面積等於已知圓的面積)。
從此，立方積、角三分、化圓為方這三個問題，困擾了壹代又壹代的數學家。很多人為此付出了努力，他們用壹生的時間試圖尋找答案。這持續了2000年。
笛卡爾認真總結了大量前人的經驗教訓，猜測古希臘三大幾何問題是用尺子和規畫出來的。有可能成功嗎？我們應該找到另壹種方法。
1621年，笛卡爾從軍隊退役，與數學家和其他朋友來到巴黎，致力於研究數學問題。1628年，他移居到資產階級革命已經成功的荷蘭，進行了20年的研究。這是他壹生中最輝煌的時期。
壹天，疲憊的笛卡爾躺在床上，看著天花板，思考著數學問題。突然，他的眼睛亮了起來。原來天花板上有壹只蜘蛛正忙著織網。直線和周圍圓形線條的交錯立刻激發了他的靈感。困擾他多年的“形”與“數”的問題終於找到了答案。他興奮地起身，迫不及待地畫出了靈感。他發現了這樣壹個規律，如果在壹個平面上畫兩條相交的直線，假設這兩條直線互相成直角，那麽就會出現四個90度的直角。通過在這四個角中的任何壹個上設置位置，可以建立起點的坐標系。
這個發現的基本概念幾乎是顯而易見的，但它是數學上的壹個偉大發現。就是建立平面上作為坐標的點的編號(x，y)之間的對應關系。進而，形成平面上的點與平面上的曲線之間的對應關系。這樣，數學的兩大形式——形和數就結合在壹起了。不僅如此，笛卡爾還用代數方程來描述幾何圖形，用幾何圖形來表示代數方程的計算結果。於是，壹門用代數方法解決幾何問題的嶄新學科——解析幾何誕生了。
解析幾何的誕生改變了自古希臘以來延續了兩千年的代數與幾何分離的趨勢，從而推動了數學的大發展。雖然笛卡爾在有生之年沒有解決古希臘三大幾何難題，但他開創的解析幾何為後人提供了壹把鑰匙。
解析幾何的偉大貢獻在於它提供了當時科學發展急需的數學工具。17世紀隨著資本主義的迅速發展，天文、航海等科學技術對數學提出了新的要求。比如確定壹艘船在海上的位置，就要確定經緯度；提高火炮性能，需要準確掌握彈丸的運行規律。所有這些都涉及變量而不是常數。