第壹個問題上壹節已經提到了，那麽如何衡量風險。常用的風險測量工具有:
VaR是指在壹定置信區間和壹定時間內的最大損失金額。
比如說。銀行發行某壹基金或資產組合，其99%風險測度VaR在1天期限內為6000萬元。
對此有三種理解:
繪制概率密度圖
上圖是壹個標準的正態分布，從-3到3。
95%置信區間對應的分位數就是VaR值，所以VaR值是相對於無損失風險的分位數。
繪制累積分布函數
VaR有自己的缺點，不符合次可加性原理(我還是不懂次可加性)，所以沒有辦法計算投資組合的VaR值。同時，我們對尾部的描述壹無所知，也就是我們關心的是置信區間內是什麽，但是萬壹我們確實輸在了置信區間外，這個損失的尾部分布是什麽呢？有哪些期待？VaR不能告訴我們這個，但是ES可以彌補以上兩個缺點。
ES是指損失超過VaR後尾部損失的期望值。計算公式如下:
原則上，給定壹定的置信區間和時間t，我們應該能夠對照正態分布的表找到相應的VaR值。但實際上收益率的分布並不滿足正態分布，只是模型的作用不是反映細節，而是在給定壹定假設的情況下，模型能在多大程度上貼近現實？
對於投資組合，Delta-normal方法有兩個假設:
從上面的假設中，我們知道資產的收益組合滿足正態分布，我們需要VaR，就是根據概念找出這個正態分布的分位數。我們知道，正態分布最重要的兩個參數是均值和標準差(或方差)，它們分別決定了分布的平移和拉伸壓縮。這裏我們用標準差代替方差，因為標準差和均值有相同的單位。在經濟學或風險管理中，統計學中的sigma通常被稱為波動率，實際上是同壹個意思。
假設我們有壹個價值為1的投資組合，給定C的置信區間，平均收益率為0(標準正態分布的收益率為0)，那麽計算第二天的。
這裏alpha可以通過置信水平找到，關鍵是如何找到波動率sigma。所以接下來的重點是如何通過歷史來估計投資資產回報率的波動性。
在建模之前，我們需要明白我們是根據歷史來建模的，也就是我們認為過去的歷史包含了某種趨勢，而且這種趨勢還會繼續(但是我們知道隨時可能會有新的沖擊)，我們需要明白模型是為了刻畫數據的趨勢，真實數據和預測值之間會有殘差， 但是從真實數據中扣除預測值後剩下的殘差應該是隨機波動的，也就是不會相關，這樣就可以說我們的模型。
如果返回序列是rt，rt由兩部分組成:它自己的均值ut和隨機擾動項at。表述如下:
，其中ut滿足ARMA(p，Q)模型，即前壹項是P個滯後項的歷史收益率的自回歸項，後壹項是Q個滯後項的移動平均項。如下所示:
ARCH(p)模型假設:
時刻t的擾動項
與ARCH模型不同的是，不僅有擾動項的線性組合，還有Q項歷史滯後項sigma的移動平均項。
GARCH(p，q)模型假設:
其中擾動項的因子varεt的範圍是(0，1)，
RiskMetrics是JP Morgan提出的壹種風險度量技術，只涉及簡單的表格。該方法認為，給定t-1時刻的信息，t時刻的擾動項滿足正態分布。其中，sigma的表達式如下:
接下來，我們將利用谷歌五年的歷史數據來預測未來壹周可能遭受的最大損失和平均損失。
首先獲取數據:
然後我們接下來會用到rugarch工具包，可以通過install.packages()的方法安裝。
接下來，我們將找出損失變量，將負對數收益率作為百分比後的損失變量。
建模包括兩部分:均值方程和波動方程。均值方程滿足ARMA(p，q)模型，那麽建立ARMA(p，q)模型的壹般步驟應該是:
對於波動方程，首先要檢驗ARCH效應，即殘差項是否為二次相關。
這裏解釋壹下，其實我們做了這麽多來凈化相關性。ARMA描述的是線性相關，而GARCH描述的是非線性相關。我們在不斷地消除相關性，這樣當相關性完全消除後，剩下的就是隨機波動的白噪聲。比如最後壹個ARCH模型建立後，最後要做的就是扣除殘差，剩余的白噪聲是否滿足壹定的分布(比如GARCH要求正態分布，只有這樣才能相信這樣的白噪聲是自然噪聲，不包含主要信息)。我們前面建立了ARMA模型後，消除了線性相關，但剩下的和均值的差(也就是差)就是壹個波動。根據上面提到的GARCH模型，它可能具有二次序列相關性，所以我們在對GARCH模型建模時，相當於對這部分波動的二次相關性進行了擬合(與ARMA建模的操作相同)。然後檢查上壹步中ARMA的‘殘差’的殘差是否仍然相關。如果不是，說明關聯描述完整。否則，我們不得不重新選擇參數，建立更好的GARCH模型來擬合這部分殘差。然後，最後扣除所有的相關性，就是白噪聲了。要看這個白噪聲是不是真的那麽無辜，所以要看是否符合正態分布。
在這種情況下，其實收益率的自相關性很弱(否則大家很容易預測套利)，所以不需要建立ARMA模型，直接用算術平均代替均值方程，然後重點建立GARCH模型。
我們直接用GARCH(1，1)模型。壹般P和Q都不超過2，這裏就不討論選型和測試了。
我們可以看到我們ugarch模型中均值方程的參數mean.model的階P和Q是(0，0)，它包含了均值項，說明我們這裏取簡單算術均值作為均值方程。波動方程方差.模型的階p和q設置為(1，1)，然後根據歷史損失率建立模型，提前五步預測壹周的情況，設置n.ahead=5。
輸出結果
然後我們可以計算VaR和ES。
輸出結果
這意味著在95%的置信度下，五天內最大可能損失不會超過？1000000 x 4.755209% =？4755209，平均損失多少？1000000 x 5.963223% =？5963223
在這裏補充壹下，我壹開始不太懂ES的計算。讓我們在這裏仔細看看。實際上，qnorm(0.95)是返回95%置信水平下的分位數，DNnorm函數是返回這個分位數上的密度概率，0.05是尾部的累積概率(可以理解為95%置信水平後所有可能的損失值，即左邊的面積)，所以人，顧名思義， 尾均值是求0.95對應的分位數下的概率和總對應損失左邊面積的大小(可以理解為最終損失既與概率有關，也與該概率下的損失有關)。
整體來說，其實我們也可以先預測1天的sigma，然後乘以sqrt(5)，結果略有不同。
這裏RiskMetrics的建模方法和GARCH壹樣，只是參數(p，q)應該是(1，1)，沒有漂移項alpha0。只需在模型的參數模型中選擇‘I arch’即可。
輸出結果
這意味著在95%的置信度下，五天內最大可能損失不會超過？1000000 x 3.828855% =？3828855，平均損失是？1000000 x 4.801539% =？4801539
這裏的計算結果與GARCH模型預測的結果不同，說明模型和參數(p，q)的選擇對計算結果有影響。
本文介紹了VaR和ES的概念、GARCH模型、ARCH模型以及利用風險度量計算VaR和ES的方法和過程。關鍵是要擬合波動率。除了知道如何計算，我們還需要知道什麽時候使用這個模型。