高中數學研究項目--導數在生活中的應用。

高中數學教學中開展研究性項目的嘗試

浙江省蕭山中學的沈建剛

壹.導言

著名數學家吳文俊院士在《數學教育不能從培養數學家的要求出發》壹文中指出，“任何數學都要講邏輯推理，但這只是問題的壹個方面，更重要的是用數學解決問題，解決日常生活和其他學科中的數學問題。學校給的問題都有答案。已知的和驗證的都是清楚的，也是必須要做的。但是，當妳來到社會，妳所面臨的大部分問題，妳事先並不知道答案，甚至不知道是否會有答案。這就需要培養學生的創造力，學習處理各種實際問題的數學方法。"

在新編寫的普通高中數學教學大綱中，研究性課題被描述為:對壹些數學問題的深入探討，或者從數學的角度對日常生活和其他學科中的壹些問題進行研究。數學研究項目強調學生的實踐活動，註重學生對問題的主動探索，倡導學習過程的真實體驗，在開放自由的環境中全面培養學生的數學素養和人文素養，實現人的內在提升和主體解放。

數學如何實施研究性學習？如何有效改變老師的教學方式和學生的學習方式？這是目前每個數學教師面臨的難題，也是當前數學教學改革的關鍵。將研究課題納入教學大綱，有效地促進了研究性學習的開展，使教師對研究性學習的認識更加具體和明確，使其實施更具方向性和安全性。我校數學組全體教師通過學習新大綱中的研究項目理論，結合我校實際，運用現代信息技術，在開展研究項目方面做了壹些嘗試。

二、對學科目標的理解

我國開設研究性學習的目的是改變學生被動接受知識的方式，構建開放的學習環境，提供多渠道獲取和應用知識的機會，形成積極的學習態度和良好的學習策略，培養創新精神和實踐能力。在這個總目標下，滲透到數學學科中，大綱對研究課題提出了四個具體的教學目標:

學會提問，明確探究方向。研究項目註重學生的主體地位，學生作為實踐主體，根據自己的興趣和需要，從生活中選擇和確定研究方向。這樣就很容易變被動接受知識為主動獲取知識，變簡單的死記硬背為靈活運用和拓展。

體驗數學活動的過程。建構主義學習理論認為，世界是客觀存在的，但對世界的理解和意義是由個體自己決定的。學習不是壹個簡單的從無知到有知的過程，而主要是學習者在原有認知結構的基礎上，通過對感知對象的全面、多方面的體驗，主動建構意義的過程。因此，對抽象數學的把握和體驗就顯得尤為重要。

培養創新精神和應用能力。如何在學科教學中體現創新教育的要求，壹直是改革的重點和難點。研究項目從教學的設計和組織上尋求突破，著眼於學生“如何學習”和“如何學習”，幫助學生獲得健康完善的學習策略，使認知能力和非認知能力得到全面發展。使學生在親身實踐的過程中培養科學態度、創新意識和創新思維方法。

以研究報告或小論文的形式反映研究成果，學會交流。與其他學科相比，數學更註重表達，抽象的問題被形象地表達出來，這也是數學學習的重要組成部分。組織學生以撰寫研究報告或小論文的形式反映研究成果，不僅使他們學會了研究報告和論文的格式，更重要的是使他們學會了數學表達。壹個準確而科學的表述就相當於壹個數學上的再創造。

第三，實施主體的幾個切入點

開展研究項目，首要任務是選擇學習內容，學習內容要以所學的數學知識為基礎，緊密結合生活生產實際。主題既要激發學生的學習興趣，又要考慮學生的學習特點和學習水平，讓學生有所收獲，有所思考。在實踐中，我們主要從以下幾點切入。

1，來自教材給出的研究課題、閱讀材料、練習作業等地方。

新教材中，幾乎每章之後都安排了閱讀材料、練習作業或研究課題。閱讀材料往往是對本章知識的產生和發展的簡要介紹，可以要求學生通過網絡、圖書館、專家訪談等方式收集資料並作出詳細報告。實習作業往往會給學生壹個思路，要求學生提出壹個問題，設計解決方案，調查收集數據，分析解決問題。研究課題給出研究內容，要求學生進行研究並得出結論。

比如在新教材第壹冊第85頁的閱讀材料《對數與指數發展簡史》中，我們引導學生在閱讀材料的基礎上，對自己感興趣的事物做進壹步的研究。作業結束後，有同學利用教材中給出的網址:www . 0-100 . com . cn/2/21/02/0741 . htm，對對數的發展做了進壹步的探究，也有同學對材料中提到的數學家產生了興趣。他們去圖書館查閱資料。

如果我們老師能做壹個有良心的人，那麽我們發現課本裏有很多值得學生理解和學習的材料。通過對這些資料的挖掘，學生不僅可以了解數學發展史，還可以從壹些數學大師那裏學到課堂上學不到的東西。

2.從知識的外延切入。

由於教學大綱和教材內容的限制，教材中的很多內容無法進行過度的擴展和延伸，所以我們可以選擇壹些能夠引起學生興趣的內容，而不增加他們的負擔作為課題。

比如在學習圓錐曲線的過程中，利用探照燈實驗，讓學生對拋物線的光學性質產生興趣，激發學生的研究熱情。

又如在“數列”壹章的學習中，通過觀察葵花籽的分布規律，引導學生認識斐波那契數列。

特別需要指出的是，知識的延伸要以不增加學生負擔和學生興趣為原則，同時不能以學生對延伸知識的掌握程度作為評價標準，而只能以學生在探究過程中的體驗為標準。

3、從公開的問題切入。

開放式題型由於條件和結論的開放性，容易給學生廣闊的思維空間和研究的自由，讓他們在不同的經驗和能力水平上提出自己的想法和方法。比如我們開展的“多彩中點軌跡”項目，在幾何畫板上設置壹個場景圖:圓O和圓上的動點P，定點A，要求學生在p a中探索中點M的軌跡。我們鼓勵學生大膽改變自己的條件和結論，進行深入研究。這樣，學生的發散思維可以得到充分的展示，學生可以有壹個創新的體驗。

4、來自於知識在生活中的應用。

新的數學教學大綱明確規定了學生解決實際問題的能力:會提出、分析和解決具有現實意義或在相關學科、生產、生活中的數學問題；會用數學語言表達問題和交流，形成運用數學的意識。可見，應用知識解決生活中的問題已經被理解為提高學生素質的有效途徑。而且因為數學的廣泛應用，生活的豐富多彩，學生可以找到很多自己感興趣的數學問題。通過對這些問題的學習，他們不僅加深了對數學知識的理解，也從對社會問題的參與中增強了對社會的使命感和責任感。

比如家庭用電每度電0.53元，每瓶氣53元(31.5 0.5公斤)。用電和用氣誰更劃算？

再舉個例子:按照最新的銀行利率，怎麽存錢利潤最大？

再比如:輪到樓層壹戶人家收水費。因為收費員抄的用戶分表時間晚於自來水公司抄的樓層總表時間，所以分表總數多於抄表數。怎麽處理比較合理？

我們不斷提醒學生要兢兢業業，學會從身邊尋找數學問題，鼓勵學生大膽走進社會，學會調查，學會發現。

四、利用現代信息技術開展項目。

現代信息技術與學科的整合，實現了學習內容的呈現方式、學生的學習方式、教師的教學方式和師生的互動方式的變革，為學生的學習和發展提供了豐富的教學環境和強大的學習工具。辦公工具、校園網、互聯網和數學教學軟件的合理使用為數學研究性課程的開發提供了有力的保障。

1，辦公工具和軟件的應用

微軟的Office工具軟件以其良好的界面、簡單的操作和強大的功能，受到全世界用戶的喜愛。在開展數學研究項目的過程中合理運用信息技術，將極大地方便學生收集和處理數學數據，豐富研究成果交流的方式，激發學生的研究熱情。

在實踐中我們知道，在高壹的信息技術課程中，學生已經基本學會了Word和Excel的壹些基本操作。同時，我們利用講座的方式，讓學生在Word和Powerpoint這種幻燈片制作軟件中詳細了解mathtype。雖然教師和學生花了壹些時間來學習使用這些工具，但後來，我們發現工具的使用引起了學生的興趣，促進了課程的發展，提高了研究的質量。比如0307班學生吳誌堅在論文《讓數字用圖像說話——談統計圖的應用》中，利用Excel將采集到的各種車輛的交通計量表制作成生動直觀的圖形，從而展現其中隱藏的規律。在2004級7班、8班的研究課題“生命中的函數”的研討會上，有合作小組利用Excel對收集到的數據進行處理，然後利用學習到的函數圖像根據圖像進行擬合，從而確定擬合函數，再利用擬合函數對未來事件進行預測。還有壹些合作小組很好地利用Powerpoint，用演示文稿生動、直觀、清晰地展示自己的研究過程，取得了很好的效果。

吳誌堅用線形圖繪制了壹幅摩托車交通圖。

吳誌堅的餅狀圖顯示了各種車輛的交通流量的百分比。

2、網絡的使用

由於信息資源的豐富性、時空的無限開放性和信息資源的共享性，網絡本身為數學研究課程的開發提供了壹個極好的平臺。在這個大平臺上，學生接觸到大量的信息，產生共鳴的機會也相應增加，從而使自己涉及的內容更貼近自己，對知識的探索更自覺、更深入、更內化。

在“生活中的利率”課題的開發過程中，我們在網絡的應用方面做了壹些嘗試。

我們老師先做了這個題目的主題網站，網站開設了幾個小欄目，在“問題提出”壹欄設置了題目的問題場景，誘導學生的研究動機；在“例題”欄展示老師做的案例，激發學生靈感；在“鏈接”壹欄，提供壹些材料和探索途徑，幫助學生確定探索方向。

我們做的研究性學習主題網站。

在實驗中，0210班的林對中國工商銀行網站上的個人住房貸款計算器()產生了興趣，他想探究其計算公式。經過多次實驗、計算和驗證，他終於想出了公式:

其中:X為每月還款額(等額)，A為每月貸款利率，N為貸款期限(年)，M為貸款總額。

這個公式雖然很普通，但是來自於他自己的發現和探索，對於他來說已經超出了掌握知識本身的意義。網絡給了學生發現問題和探索知識的機會。

高對銀行的各種定期存款方式產生了興趣。假設有10，000元要存10年，他發現儲戶可以選擇壹年期、三年期、五年期的存款方式。然後他分別計算了三種存款方式的利潤，對比了壹下單子，發現五年轉存壹次的方式利潤最大。最後，他解釋了銀行這種利率設置的合理性。從對各種存款方式的理解，到利率、稅率的計算，再到銀行利率設定的考慮，所有動作都是學生自己掌握的。學生作為研究的主體，能真切感受到項目實施中的酸甜苦辣。

高三種存款方式(1*10表示壹年存款10，中間9次轉賬)賺取的本息對比圖。

課程網絡化是技術發展的必然。在這方面，我們的探索還是很有限的，比如網絡的遠程交互功能，資源的共享。我們對網絡的未來充滿期待。我們設想建立自己的數學網站，開辟研究課題專欄，讓研究課題可以被大家分享。

3.數學教學軟件“幾何畫板”的應用。

幾何畫板以點、線、圓為基本元素。它通過對這些基本元素的變換、構造、計算、動畫和跟蹤，來顯示或構造更復雜的圖形，將更抽象的數學對象動畫化，使人們知道數學對象在動態中不變的關系。在項目過程中，引導學生觀察、猜測、驗證、推理和交流，有助於激發學生探究數學問題的熱情，保證探究的有效性，使學生積累豐富的數學經驗，有利於數學創新意識的形成。

在開發“生活中的功能”這壹主題的過程中，教師引導學生使用幾何畫板研究以下問題:

如圖，某房地產公司計劃在矩形地塊ABCD上建設住宅公園，矩形GHCK。為了保護文物區△AEF，矩形公園的頂點G不能進入保護區。已知AB=200m，AD=160m，AE=60m，AF=40m。公園如何規劃才能保證面積最大？

實踐中，學生用畫板以1∶4000的比例制作實際問題的模擬圖，取G為線段EF的任意壹點。利用畫板的計算功能，計算線段PG的長度和矩形GHCK的面積。拖動g點，區域的大小會相應改變。當面積最大時，使用顯示的面積值找到g點的位置。其中有壹位同學，在坐標系中巧妙地做了壹個以PG的長度為橫坐標，以直角GHCK的面積為縱坐標的點，然後做了該點繞動點G的軌跡，面積隨點G的變化規律就清晰地顯現出來了。

在常規教學中，壹般老師總是講這類應用題，指導學生建立函數關系，利用函數的最大值來解題。表面上看，似乎可以理解。那麽，如果站在學生的角度去思考，學生其實對給定的問題缺乏感性認識，忽視了對各種解題方法的探索，錯過了有更多經驗的機會。

中學生在“公園最大面積研究”中制作的模擬圖

當學生使用畫板解決問題時，我們發現他們沒有建立函數關系。而是用實驗的方法，借助畫板的快速運算功能，計算出g點在各個位置的面積，最終找到答案，用最簡單的方法解決問題。顯然，制作圖像的學生已經創造性地解決了問題。在實驗過程中，我們也發現很多學生對答案不滿意。相反，在實驗中發現規律，促使他們去探索規律，使他們回歸到使用函數的方法。但此時他們對函數方法的理解和對數學在生活中應用的理解卻大相徑庭，這大概就是設置研究課題的意義所在。

動詞（verb的縮寫）項目實施程序和案例

不同的研究課題，由於涉及的內容不同，研究方法和實施程序也會有所不同。以下是我們做新教材“函數的實際應用”後面的實習作業時的實施步驟。我們認為它具有代表性。

1，宣傳動員；通過展示上壹個同學做的實習“函數的實際應用”，可以激發學生的參與欲望，讓他們了解實習的大致操作思路。

2.學習先驗知識；軟件Powerpoint、Excel、word、幾何畫板、擬合函數、數據統計等相關知識學習。

3、合作團隊的組成、任務布局；以自由組合的形式組建3至7人的項目組，選舉組長，討論項目內容和實施方案，宣布外調紀律和要求。

4、調查、研究，掌握第壹手材料；按計劃去外面調查，或者上網或者跑到圖書館查資料。

5.整理和分析數據，制作圖像和表格；對收集到的數據進行初步整理，然後利用幾何畫板或Excel制作圖像或表格。

6.將得到的圖像與學習到的函數進行擬合，通過計算得到擬合函數的解析表達式；如果找不到合適的簡單函數，建議學生用分段函數來擬合。

7.利用得到的函數關系對壹些實際問題做壹些初步的期望；得到函數關系的主要目的是做壹些預期，可以鼓勵學生對實際問題做出各種大膽的預期，並建議學生對預期結果做出合理的解釋。

8.寫實習報告；可以按照教材的格式寫實習報告，也可以自己寫。

9、使用Powerpoint制作成果報告文稿，開成果交流會。根據實踐報告並結合研究經驗，要求各項目組進行陳述，在交流會上進行展示和交流。展示老師要讓學生扮演主角，動員每個項目組壹人發言，鼓勵其他學生提問。精彩的演講，幽默的提問，都能讓每個學生感受到項目帶來的知識和快樂。

案例:蕭山區城鎮居民家庭人均收入調查報告(0501班陳凱組)

調查數據(蕭山區城鎮居民家庭人均收入1986-1998)

繪圖分析:

函數擬合:

現象分析:根據圖片，人均收入增長可以分為三個階段:

1的增長率。86-92比較慢，因為當時改革力度不夠，思想沒有完全開放。

2.1992年至1994年，由於1992年鄧小平南方談話和中共十四大的召開，改革開放達到高潮，增長速度明顯加快。

3.從1994年到1998年，隨著收入基數的提高，增速有所放緩，但仍以較快的速度增長。

據預測，蕭山區城鎮家庭人均收入將繼續以較快的速度增長。

六、實施該項目的意義

1，科研項目能激發學生活力。從課題的確立，到課題的組織實施，成果的交流，學生們都投入了極大的熱情，這是我們平時教學活動中很少見到的學習氛圍，因為他們要自己找課題，自己出去調研，富有挑戰性的工作刺激著他們，激發著他們的活力。很多時候，我們真的很驚訝於學生的創造力。在完成函數實際應用的過程中，如果壹個學生研究壹個歌手的歌曲前幾周的票數，然後得出函數規律，然後用函數預測歌曲掉榜的時間。再比如，有同學收集了近年來中國、日本、美國的GDP增長率，然後預測中國GDP趕超美國、日本的時間。不同的學生根據自己的不同愛好做自己感興趣的事情，很好的調動了他們的積極性。

2.研究項目給每個學生鍛煉各種能力的機會。研究項目的實施是檢驗學生各種能力的過程。項目的實施需要團隊成員的密切配合，需要學生學會相處、溝通、合作。出去調查需要社交能力，寫調查報告，交流結果，需要的是表達能力。

3.研究項目加深了學生對數學本質的理解。學生在實際生活中運用數學方法和思想解決問題，對他們來說是很好的啟發，有利於理解數學，也促使他們更好地學習數學知識、方法和思想。

七。由話題引發的思考

在實踐中，我們發現壹個項目的開展往往需要很多過程，比如事前動員、預備知識培訓、項目的組織與啟動、指導實施、成果交流等等。中間不僅需要學科老師的參與，還需要學校各個部門的配合。它是壹項系統的工作，需要學校的統籌規劃和合理安排。

為了給學生更多的體驗機會，項目的開發必須有充足的時間保證，但在實踐中，很多時候，教師也無力做到這壹點。因為在沈重的課業負擔下，學生實在顧不上學科，更談不上深入探索和廣泛接觸。研究課題呼喚自由的學生和自由的天空。

在指導學生的過程中，我們最深的體會就是老師要學習，現代信息技術及相關學科的知識需要我們儲備和更新。“要給學生壹杯水，老師必須有壹桶自來水。”

參考

1教育部。《高中研究性學習實施指南(試行)》的通知。建審[2006 54 38+0]6號

2翁偉彬。尋找課程改革的突破口--上海"研究性學習"掃描。教育發展研究. 2001.8

3長汀盧偉。在研究中學習，在研究中學習--山東師範大學附屬中學研究性學習的探索與實踐。山東教育. 2005438+0.7

4菊美菜。關於研究性學習的思考。教育探索. 2001.8

5黃海春唐心香。關於研究性學習的六大誤區。教學與管理