拓撲學雖然是幾何學的壹個分支，但這個幾何學不同於通常的“平面幾何學”和“立體幾何學”。通常平面幾何或立體幾何的研究對象是點、線、面之間器官的位置及其考題性質。拓撲學研究的內容與研究對象的長度、海洋、面積、體積以及試題的性質和數量的關系無關。
比如在通常的平面幾何中，如果把平面上的壹個圖形移動到另壹個圖形上，如果兩個圖形完全重合，那麽這兩個圖形就叫做全等圖形，也就是說，通常的平面幾何是研究運動中圖形的大小和形狀的學科，而拓撲學中研究的圖形在運動中是變化的，不管它的大小和形狀如何。在拓撲學中，沒有不可彎曲的元素，每個圖形的大小和形狀都是變化的。
Christine之後，Riemann將拓撲學的概念引入復變函數論，並發展為Riemann曲面論。
早期拓撲學明確分為兩個分支:壹個是點集拓撲學，從康托爾的貢獻開始；另壹種是組合拓撲學，上世紀末由龐加萊首創。龐加萊通常動作緩慢、笨拙、視力不佳，常常給人心不在焉的印象。但是，龐加萊有著非凡的心算和數學思維能力。龐國來對20世紀的數學有很大的影響。1895年發表了《analysissitus》，第壹次系統地論述了拓撲學的內容。後來在20世紀發展成為拓撲學的壹個碩果累累的分支，龐加萊的研究領域非常廣泛。他在巴黎大學的講座包括毛細科學、彈性、熱力學、光學、電學、宇宙學等。在數學方面，他還涉及非歐幾何、不變量理論和分析力學，包括概率論。
拓撲學是壹門新學科。它壹出現，就迅速滲透到各個領域。