從某種意義上說，現代意義上的數學，即作為演繹系統的純數學，起源於古希臘的畢達哥拉斯學派。這是壹個理想主義的學校，大約在公元前500年繁榮。
他們認為“壹切都是數”(指整數)，數學的知識是可靠的、準確的，可以應用到現實世界中。數學的知識是通過純思維獲得的，不需要觀察、直覺和日常經驗。
整數是在計算對象的有限積分過程中產生的抽象概念。日常生活中，不僅要計算單個物體，還要測量長度、重量、時間等各種量。
為了滿足這些簡單的測量需要，使用了分數。所以，如果把有理數定義為兩個整數的商，實際測量就足夠了，因為有理數系統包括所有的整數和分數。
第二，第二次數學危機
17、18世紀關於微積分的激烈爭論被稱為第二次數學危機。從歷史或邏輯的角度來看，它的發生也是必然的。
第三，第三次數學危機
數學基礎第三次危機是1897的突然沖擊造成的，整體上還沒有解決到滿意的程度。這種危機是由康托的壹般集合論邊緣發現的悖論引起的。
因為集合的概念已經滲透到數學的許多分支，事實上集合論已經成為數學的基礎，集合論中悖論的發現自然引起了對整個數學基本結構有效性的懷疑。