23．已知：關於x的方程 有兩個實數根 ，關於y的方程 有兩個實數根 ，且 。當 時，求m的取值範圍。
八、（本題滿分8分）
24．已知：AB是半圓O的直徑，點C在BA的延長線上運動（點C與點A不重合），以OC為直徑的半圓M與半圓O交於點D，∠DCB的平分線與半圓M交於點E。
（1）求證：CD是半圓O的切線（圖1）；
（2）作EF⊥AB於點F（圖2），猜想EF與已有的哪條線段的壹半相等，並加以證明；
（3）在上述條件下，過點E作CB的平行線交CD於點N，當NA與半圓O相切時（圖3），求∠EOC的正切值。
圖1
圖2
圖3
23．解：∵關於x的方程 有兩個實數根x1和x2
解得 ①
∵關於y的方程 有兩個實數根
解得0≤n≤4
由根與系數的關系得
整理，得
由二次函數 的圖象可得
當 ②
由①、②得m的取值範圍是
八、
24．（1）證明：如圖1，連結OD，則OD為半圓O的半徑
圖1
∵OC為半圓M的直徑
∴∠CDO=90°
∴CD是半圓O的切線。
（2）猜想： 。
證法三：如圖，連結OD、ME，OD、ME相交於點H
∵CE平分∠DCB
∴ ∴ME⊥OD，OH
∵EF⊥CO ∴∠MFE=∠MHO=90°
∵∠EMF=∠OMH，ME=MO
∴△MEF≌△MOH
∴EF=OH ∴
（3）解：如圖3，延長OE交CD於點K
圖3
設OF=x，EF=y，則OA=2y
∵NE//CB，EF⊥CB，NA切半圓O於點A
∴四邊形AFEN是矩形
∴
同（2）證法壹，得E是OK的中點
∴N是CK的中點
∴Rt△CEF∽Rt△EOF
∴
∴
解得
∴tan∠EOC=3
25．（1）解：∵拋物線 與x軸交於A、B兩點
∴關於x的方程 有兩個不相等的實數根
解得
∵點A在點B的左邊，且m>0，∴A（－m，0），B（2m，0）
解法二：如圖2，過點O作OG//AC交BE於點G
圖2
∴△CED∽△OGD ∴
∵DC=DO ∴CE=OG
∵OG//AC ∴△BOG∽△BAE ∴
∵OB=2m，AB=3m ∴
（3）解法壹：如圖3
圖3
∵點C在拋物線上（與點A不重合），C、A兩點到y軸的距離相等
∴C（m，2m2）
過點E作DC邊上的高EP，過點A作OC邊上的高AQ
∴EP//AQ
∴△CEP∽△CAQ
∴
∵
∴
解得m=2
∴拋物線的解析式為
點C的坐標為（2，8），點B的坐標為（4，0）
分別過點D、C作x軸的垂線，交x軸於點M、N
∴DM//CN
∵D是OC的中點
∴
∴D點的坐標為（1，4）
設直線BE的解析式為
∴直線BE的解析式為
解法二：如圖4，連結OE
圖4
∵D是OC的中點
∴
以下同（3）解法壹
23．如圖①，OP是∠MON的平分線，請妳利用該圖形畫壹對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請妳參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交於點F。請妳判斷並寫出FE與FD之間的數量關系；
（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，妳在（1）中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。
24．已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交於點A（0，3），與x軸分別交於B（1，0）、C（5，0）兩點。
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點D為線段OA的壹個三等分點，求直線DC的解析式；
（3）若壹個動點P自OA的中點M出發，先到達x軸上的某點（設為點E），再到達拋物線的對稱軸上某點（設為點F），最後運動到點A。求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，並求出這個最短總路徑的長。
25．我們給出如下定義：若壹個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊形為等對角線四邊形。請解答下列問題：
（1）寫出妳所學過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；
（2）探究：當等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和與其中壹條對角線的大小關系，並證明妳的結論。
23．解：（1）FE與FD之間的數量關系為FE＝FD。
（2）答：（1）中的結論FE＝FD仍然成立。
證法壹：如下圖，在AC上截取AG＝AE，連結FG
因為∠1＝∠2，AF為公***邊
可證△AEF≌△AGF
所以 ∠AFE＝∠AFG，FE＝FG
由∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線
可得∠2＋∠3＝60°
所以∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°
所以∠CFG＝60°
由∠3＝∠4及FC為公***邊，可得△CFG≌△CFD
所以FG＝FD
所以FE＝FD
24．解：（1）根據題意，c＝3
所以
解得
所以 拋物線解析式為
（2）依題意可得OA的三等分點分別為（0，1），（0，2）
設直線CD的解析式為
當點D的坐標為（0，1）時，直線CD的解析式為
當點D的坐標為（0，2）時，直線CD的解析式為
（3）如圖，由題意，可得
點M關於x軸的對稱點為
點A關於拋物線對稱軸 的對稱點為A'（6，3）
連結A'M'
根據軸對稱性及兩點間線段最短可知，A'M'的長就是所求
點P運動的最短總路徑的長
所以A'M'與x軸的交點為所求E點，與直線x＝3的交點為所求F點。
可求得直線A'M'的解析式為
可得E點坐標為（2，0），F點坐標為（3， ）
由勾股定理可求出
所以點P運動的最短總路徑（ME＋EF＋FA）的長為 。
25．解：（1）略。
（2）結論：等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和大於或等於壹條對角線的長。
已知：四邊形ABCD中，對角線AC、BD交於點O，AC＝BD
且∠AOD＝60°
求證：BC＋AD≥AC
證明：過點D作DF‖AC，在DF上截取DE，使DE＝AC
連結CE、BE
故∠EDO＝60°，四邊形ACED是平行四邊形
所以△BDE是等邊三角形，CE＝AD
所以DE＝BE＝AC
①當BC與CE不在同壹條直線上時（如下圖）
在△BCE中，有BC＋CE＞BE
所以BC＋AD＞AC
②當BC與CE在同壹條直線上時（如下圖）
則BC＋CE＝BE
因此 BC＋AD＝AC
綜合①、②，得 BC＋AD≥AC。
即等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和大於或等於其中壹條對角線的長。
23. 如圖，已知
（1）請妳在 邊上分別取兩點 、 （ 的中點除
外），連結 、 ，寫出使此圖中只存在兩對面
積相等的三角形的相應條件，並表示出面積相等的
三角形；
（2）請妳根據使（1）成立的相應條件，
證明 .
23. 如圖，已知
（1）請妳在 邊上分別取兩點 、 （ 的中點除
外），連結 、 ，寫出使此圖中只存在兩對面
積相等的三角形的相應條件，並表示出面積相等的
三角形；
（2）請妳根據使（1）成立的相應條件，
證明 .
解：
（1）相應的條件是： BD = CE ≠ DE ；
兩對面積相等的三角形分別是： △ABD和△ACE，△ABE和△ACD .
證法2：如圖，分別過點A、E作CB、CA的平行線，兩線交於F點，EF與AB交於G點，連結BF. 則四邊形FECA是平行四邊形，所以 FE = AC，AF = CE.
因為 BD = CE
所以 BD = AF
所以 四邊形FBDA是平行四邊形
所以 FB = AD
在△AGE中，AG + EG ＞AE
在△BFG中，BG + FG ＞FB
可推得 AG + EG + BG + FG ＞AE + FB
所以 AB + AC ＞AD + AE
24. 在平面直角坐標系 中，拋物線 經過 ， 兩點.
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為 ，將直線 沿 軸向下平移兩個單位得到直線 ，直線 與拋物線的對稱軸交於 點，求直線 的解析式；
（3）在（2）的條件下，求到直線 、 、 距離相等的點的坐標.
解：（1）由題意可得
故拋物線的解析式為： .
（2）由 可知拋物線的頂點坐標為B（ ），故C（ ），且直線 過原點. 設直線 的解析式為 ，則有 . 故直線 的解析式為 .
（3）到直線OB、OC、BC距離相等的點有四個.
由勾股定理可知OB=OC=BC=2，故△OBC為等邊三角形，四邊形ABCO是菱形，且∠BCO=60°，連接AC交x軸於壹點M，易證點M到OB、OC、BC的距離相等. 由點A在∠BCO的平分線上，故它到BC、CO的距離相等均為 ，
同時不難計算出點A到OB的距離為 ，故點A也算其中壹個. 同理，不難想到向左、向下可以分別作與ABCO全等的菱形（如圖所示，其中△OBC為新菱形的壹半），此時必然存在兩個點，使得它到直線OB、OC、BC的距離相等.
此四個點的坐標分別為：M（ ）、A（0，2）、（0，-2）、（ ）.
25. 我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，類似地，我們定義：至少有壹組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形.
（1）請寫出壹個妳學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；
（2）如圖，在 中，點 、 分別在 、 上，設 、 相交於 ，若 ， ，請妳寫出圖中壹個與 相等的角，並猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形；
（3）在 中，如果 是不等於60?的銳角，點 、 分別在 、 上，且 ，探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，並證明妳的結論.
解：
（1）平行四邊形、等腰梯形等滿足條件的即可.
（2）與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）
四邊形DBCE是等對邊四邊形.
（3）此時存在等對邊四邊形DBCE.
證明1：如圖，作CG⊥BE於G點，作BF⊥CD交CD的延長線於F點.
∵∠DCB=∠EBC= ∠A，BC為公***邊
∴△BGC≌△CFB
∴BF=CG
∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A
∠GEC=∠ABE+∠A
∴△BDF≌△CEG
∴BD=CE
故四邊形DBCE是等對邊四邊形.
證明2：如圖，在BE上取壹點F，使得BF=CD，連接CF.
易證△BCD≌△CBF，故BD=CF，∠FCB=∠DBC.
∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A
∠CEF=∠ABE+∠A
∴CF=CE
∴BF=CE
故四邊形DBCE是等對邊四邊形.