一问题的重述
110警车在街道上巡逻，既能够对违法犯罪分子进行击杀行动，降低犯罪率，又能够增加群众的安全感，同时也加大了接听力度 处警时间，提高了反应时效，为社会和谐提供了强有力的保障。
现给出某城市内一个区域，其道路数据和地图数据已知，该区域内三个重点地点的 坐标分别为：（5112，4806），（9126， 4266），（7434 ，1332）。该区域内***有307个道路交叉口，为简化问题，相邻两个交叉路口之间的道路相似 认为是直线，且所有事发现场均在下图的速度上。
该市拟增加配备有GPS卫星定位系统及先进通讯设备的110警车。设置110警车的平均巡逻 为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h。警车配置及巡逻方案要满足以下要求：
D1. 警车在接警后三分钟内赶到现场的比例不低于90％；而赶到重点部位的时间必须在两分钟之内。
D2. 使巡逻效果更显着；
D3. 警车巡逻规律应有一定的一致性。
现在我们需要解决以下几个问题：
一. 若要求满足D1，该区最少需要配置多少辆警车巡逻？
二．
三．请给出满足D1且尽量满足D2条件的警车巡逻方案及其评价指标值。
四． 在第三问的基础上，再考虑D3条件，给出你们的警车清理方案及其评价指标值。
五．如果该区域仅配置10辆警车，应如何制定巡逻方案， 使D1、D2首先得到满足？
六． 若警车接警后的平均行驶速度提高到50km/h，回答问题三。
七. 你们认为还有哪些因素、哪些情况需要考虑？给出了你们相应的解决方案。
二问题分析
本题为城区道路网络中警车配置及巡逻问题。 进行警车配置时，首先要考虑警车在接警后在规定期限赶到现场的比例，在此条件下，以车数最少为目标，建模、仿真；在制定巡逻方案时，要考虑巡逻的效果 及它认知性问题。
问题一只要求满足D1，求最少的警车配置数，可以认为警车是不动的，在三分钟或两分钟内它能到达的区域就是覆盖范围 据此，在满足所有街道的覆盖率不低于90%的条件下，寻找最优解。
问题二要评价巡逻效果，有两个方面需要考虑：一是巡逻 的全面性，即经过一段时间后警车经过的街道数占总街道数的比例；二是巡逻的均匀性，即经过一段时间后警车经过每一条街道的次数增加不大，用下文来精简
问题三是在满足D1的条件上尽量满足问题二所给的指标，并给出评价方案的指标。首先找到一组满足D1的各警车位置，然后在和各警车 位置完整的点中随机寻找一个点，判断新的点是否满足D1，如果满足则警车行驶到该点，否则重新寻找，直到满足种群。一段时间后统计所有车经过的点数及每个点被 走过的次数，用问题二给出的两个指标进行评价。综合两个指标，可判断该路径的好坏，重复这个过程，直到综合评价指标达到满意的价值状况。
< 问题四增加了队列性要求，首先提出评价队列性的指标，队列性可用队列的随机性来评价，将其加入到问题三的模型中去进行活动。问题 五限制警车数量为10，要综合考虑D1、D2，先分配这10个所有权使道路的覆盖率最高，然后按照问题三的步骤进行仿真，其中每一步对D1的判断只需使道路的覆盖率 达到高即可。
问题六同问题三，只需将车速改为50km/h即可。
三个模型的假设
1. 警车都在路上巡逻，巡逻警去处理案件的时间不考虑；
2. 所有事发现场都在道路上，案件在道路上任一点是等概率发生的；
3. 警车最初的停靠点是随机的，但尽量让它们分散分布，一个警车分区一个分区；
4． 设想各个划分区域内，短时间内，最多会发生一个案件；
5. 假设区域内的每条道路都是双行线，不考虑转弯对结果造成的影响；
6． 如果重点地点位于道路上的，假设这些重点地点位于他们最近的道路上；
7. 后果
四个符号说明
表示警车数量
表示警车初始巡逻点到各道路的最短距离
表示整个区域的道路总长度
表示不能在3分钟内到达该区域的道路总长度
表示非重点地点的警车在3分钟内不能到达 现场的比例
表示三分钟内能从接警位置赶到事发现场的最大距离是
表示整个区域总的离散点个数
表示第一个迭代的节点个数
表示迭代调整函数
表示模拟衰退的时间，表征温度值
表示迭代调整函数
表示迭代调整函数
>
表示全面性指标
表示不均匀性指标
表示综合评价指标
表示第一个货物经过每条道路的次数
表示综合性指标
p>表示整个区域每条道路经过的平均费用
五个模型的建立与算法的设计
5.1满足D1时，该区所需要配置的最少警车 循环和巡逻方案
5.1.1 满足D1条件时，区域最少警车的规律
题目要求警车的配置和巡逻方案满足D1要求时，整个区域所需要配置的 警车数目最少。由假设可知警车都在道路上，且所有事发现场也都在道路上，但区域内总的道路长度是个设定值的；警车在接警后赶到事发现场有时间限制概率和 限制：三分钟内赶到区域普通案发现场的比例不低于90％，而赶到重点地点的时间必须控制在两分钟之内。由此可知每辆警车的分区范围不会很大，因此 考虑将整个区域串联几个分区，每辆警车轴线一个分区域。
由上面的分析，活化整个区域的警车最少这个问题可转化为活动每辆警车轴线的一个分区。 因此我们想出使每辆警车圆周的范围尽量大的规律。为了简化问题，我们不考虑赶到现场的90%的额定限制，只对警车能在三分钟内赶到 事发现场的情况作定性分析，其分析提示如图1所示。警车的初始救援位置是随机的分布在道路上的任一节点上，我们假设一辆警车停靠在一个点上。
图1警车曼哈顿范围分析地图
由于警车的平均巡逻速度为20km/h，接警车后的平均行驶速度为40km/h，由于距离信息比较容易得到，因此 我们将时间限制转化为距离限制，这样进行分析和急救。当警车接警后，在三分钟内能从接警位置赶到事发现场的最大距离是，其中。
如图1 ，我们在A点设置警车初始营地位置，A点是道路1、2、3、4的道路交叉口。我们只以警车在道路1的巡逻来进行分析，警车以在道路1的速度 上A到巡逻点之间，与初始停靠点A的距离为。
由于案件可能在道路上一点发生，当警车巡逻到A点时，若案发现场在道路2、3、4时发生，警车以40km/h的速度向事发现场行驶，警车能在三 分钟内从点赶到现场的最大距离为。如果警车在道路1上继续向前行驶，则该警车能在三分钟内赶到现场的距离继续缩小，当警车从初始点向A点行驶但没有 到达点时，此时该警车的最大管辖范围比警车到达点时的最大管辖范围大。为了使警车的管辖范围先大，警车的巡逻范围越小越好，当时，即警车在初始点 静止不动时，警车的管辖范围达到巅峰。
图1我们所分析的是特殊的情况，道路1，2，3，4优先分配，现在来针对一般的情况进行分析
图2.1所示的情况是道路。
图2.1所示的情况是道路
图2一辆警车最大曼哈顿范围分析地图
图2.1所示的情况是道路 分布并不理想，与图1相比，图2.1所示的道路方向和角度都改变了，图2.3中的情况发生更为复杂。参照图1的分析方法，我们分析这两种情况下，警车 巡逻时能在三分钟内赶到现场的最大距离的规律，我们只分析图2.2的情况，道路1，2，3，4，5相交于C点，同时道路1与道路6也有一个道路交叉口 D，由于警车巡逻时是在道路上行驶的，行走的路线是分段直线，并不影响路径的长度，所以当警车巡逻到距离终点终点C点远处的D，此时若有案件发生 此时，该警车要在三分钟内赶到现场处理案件，在其内最大行驶距离，如果警车在道路1上继续向前行驶，则该警车要在三分钟内赶到现场的距离继续缩小， 当警车没有行驶到D点时，此时该警车的最大管辖范围比大，为了使警车的管辖范围转动大，警车的巡逻范围越小越好。当此时，即警车静止不动时， 警车的曼哈顿范围能力激增。
以上分析的只是作定性的分析，三个对于重点部位也可以达到同理分析，所得的结论是一致的，以上的分析没有考虑到90 %的初步限制，但在设计算法中需要充分考虑。
综上所述，当警车重新在初始停靠点时，在三分钟时间内，警车能够从初始停靠点赶到 事发现场的最大距离为 。
5.1.2 将道路离散化
由于事发现场是在道路上的等概率分布，由区域地图可以发现，整个 区域中的道路长度不均，为了使计算结果更加准确，可将这些道路离散化。只要提出几种合适的离散方案，就可以使警车在经过道路上的离散点时就绕过该道路 这样，必须是启动警车初始停靠点还启动警车赶到事发现地点经过的道路时，所计算得到的结果显然只是比整条道路的叉路口要精确修剪。
区域中***有307个道路交叉口，458条速度道路。我们采用线性插值方法对道路进行离散化，以一分钟的距离作为步长的行走，一分钟时间的选择是相关问题三的 结果要求来设定的，步长。用线性插值的方法，从道路的一个方向进行线性插值，实现将每条道路离散化的目标，考虑到有些道路不是的整数倍，我们就一般情况进行讨论 ，其分析提示如图3所示。道路AB长度为一个与长度的和，为了更准确的处理CB段道路，那么就要考虑在CB之间是否要插入一个新的点，根据的长度不同，其 对应的处理方式也有所不同。
图3道路离散化分析示意图
引进临界指数，大约大小的标准是使尝试离散化后警车的平均巡逻速度相似 和问题给定的速度（ ）的差值偏小，经过计算得时候，不再插入新的坐标点时能使整个区域的道路离散效果较好。
此时，将CB段长度设定为处理，那么离散后的AB道路长度会比实际长度短一些；这时，需要在两个点之间再插入一点，因为这样处理能使整个区域的整体道路 如图3所示，在C与B间再插入新的坐标点，插入的位置在距C点的D点处，这样处理后所得的道路长度比实际长度长了。 利用这样的方法进行线性插值，我们利用MATLAB编程实现对整个区域道路的离散，所得的离散结果如图4所示，离散后***得到762个节点，比原始数据多了455个节点，分区 后面的节点数据附件中的“newpoint.txt”。
图4整个区域离散结果图
采用这种插值方法路径离散后，将直线上的无穷多 个点转化为有限个点，根据分析问题和实现相应的算法，由图4可知，所取得的整体离散效果还是比较理想的。
5.1.3分区区域活动警车数量的算法设计
考虑到警车配置和巡逻方案需要满足：警车在接警后三分钟内赶到普通部位案件发现场的比例不低于90%，赶到重点部位控制必须在两分钟之内 的要求。设计算法的目标就是消防车出在满足D1情况下，总的警车数量，即每个区域都需要多地覆盖道路节点。由于警车的初始位置是未知的，我们可设置警车初始车站 在道路上的一点，即分布在图4所示的762个分区点中的某些点节点上，总体思路是让每两个分区之间进行分区分布，一个警车分区一个分区， 用这些分区覆盖整个区域。
于是我们设计算法1，步骤如下所示：
Step1：将整个区域预分配为一个分区，每个分区分配一个警车 ，警车的初始车站位置设置在预选区分配中心的道路节点上，若区域的中心不在道路节点上，则将警车放在离中心最近的道路节点上；
Step2：统计分区 不能覆盖的节点，调整警车的初始节点，使分区覆盖问题多的道路，节点调整分割调整和区间调整方案：（1）迭代调整按照模拟拓扑思想构造的函数，在区间调整 调整车辆中心点的位置（后文中有详细说明），当分区内节点数分布时，调整的概率小数，分区内节点数分布时，调整的概率大数，（2）当区域中存在未 被覆盖的节点或节点群（大于等于三个节点集中在一个范围内）时，将警车初始位置的调整方向为朝向这些被覆盖的节点按一定的规则（在算法说明中有详细叙述） 移动，同时要保证3个重点地点能在2分钟之内100%到达；
Step3：用Floyd算法计算出警车初始停靠点到周边各道路节点的最短距离；
Step4：以一个划分区域未覆盖的总的道路长度与整个区域的道路总长度的比值来表示警车不能3分钟内到达现场的概率；
Step5：模拟足够多的道路 次数，若 ，将车辆数减1，跳转到Step1；
Step6：计算结束后，比较当时所对应的值，当取得简单时，记录此时的区域划分方案， 即为最少的警车数量。
对算法的几点说明：
（1）该算法所取的车辆数量是由多到少进行计算的，初始值设定 为20，这个值的分布是根据区域图提示的。
(2)预分区的优点使分区的警车的初始位置需要均匀地分散分布，警车的初始停靠点在一个的 中心点附近寻找得到，终端在整个区域随机生成停靠点，计算效率明显得到提高。
预分配之后，需要对整个区域不断地进行调整，调整时需要考虑调整方向和调整 概率。
警车调整阵型的模拟稀疏算法的方法，为了使分区内包含道路节点数分布的分区的初始停车点调整的概率小一些，而分区内包含道路节点数的少一些 分区内的最终停车点调整的概率大一些，我们构造了一个调整概率函数，
（1）
（1）中式，第一个参数，为整个区域 车辆数，为第一个分区内覆盖的节点数，为时间，同时也能表征模拟死亡的温度变化情况：初始温度最高，区域调整速度较快，随着时间的增加，温度不断下降，区域调整 逐渐变慢，这个调整速度变化也比较符合实际情况的。
由式（1）可以得出调整概率函数 ，假设在相同的温度（时间）的条件下，由于总的车辆 数目是定值，当 时，即第一个分区内的节点数大于第一个分区的节点数时，分区调整的大概率小，分区调整的概率小数。分析其原因：当分区内包含了分区的节点 个数时，该省的警车终点站位置有些地比较合适了，而当分区内包含的道路节点数时，说明警车的终点站位置没有选好，需要更大概率的调整，这样的结论
对于所有分区外带覆盖的道路节点和很多节点（重点节点群），用于调整警车位置迁移的方向，其分析示意图如图5所示 调整方案的目标是使迭代覆盖的节点数优先的少。在设计调整方向函数时，需要考虑：（1）节点群内节点的数量；（2）警车距离节点群的位置。优先考虑距离， 所以在公式（2）中，用距离的平方来描述调整方向函数。
由于某一个区域范围内的更新覆盖节点数，整个区域更新覆盖的节点总数，分割区域与 相邻覆盖的节点或节点群的距离等几个因素会影响到调整的方案，所以要综合考虑这些因素。于是设计了区间调整函数 ，
式中，表示第一个分区内 相邻覆盖的节点数， 表示第一个分区域与相邻覆盖的节点或节点群的距离， 表示相邻覆盖的节点和节点群数。
现在简要分析第一个分区按区间调整 函数的调整方案，当某两个节点群的节点密度不同，但是距离不等时，如 ，由区间调整公式可知，该节点向节点群分区方向调整。当某与两个节点群的距离可靠， 但节点群的内节点个数不一致，如时，由（4）可知，该分区域会想节点群方向调整。
注意在整个调整过程中，调整思路是否控制调整， 调整方向函数控制调整的方向，寻找在这种调整方案下的最优化结果。
图5调整分区域地图
（3）在step3中，使用Floyd算法 计算出警车初始停靠点到周边各节点的最短距离，目的是当区域内有情况发生时，警车能在要求的时间内到达现场。
（4）求出较优 警车驻点，采用模拟退火算法，计算出局部最优的方案。
5.1.4警车的配置和巡逻方案
使用MATLAB编程实现算法1得到，整个区域 配备13辆警车，这些警车静止在终点车站时，能满足D1要求。警车的终点车站位置分别为道路交叉节点6，25，30，37，82，84，110，111，126，214，253 ，258，278处。每个警车所曼哈顿的交叉点（原始的交叉节点）如图6所示，分区的结果见附录所示。
图6满足D1条件下的分区划分图
13个分区***覆盖了252个交叉点，另外的55个原始交叉点没有被这些分区区域覆盖 ：137，138，151，159，167，168，170，174，175，186，188，189，211，215，226，242，255，260，261，262，263，267，270，271，272 ，275，282，283 ，284，287，288，289，292，296，297，299，304，305，307。在这个分区方案下，这些点中，每两个连续的点间的道路分割 因此，在整个区域13辆警车中每辆警车在初始救援点静止不动，当有案件发生时，离开案发现场最近的警车从初始救援点 赶到现场。
5.2评价巡逻效果显着的指标
110警车街道上巡逻的目的是为了对违法犯罪分子恐怖袭击发挥作用，降低犯罪率，又能够 增加市民的安全意识，同时还加大了接处警力（接受报警并赶赴现场处理事件）时间，提高了反应时效，为社会和谐提供了强有力的保障。巡警在城市拥挤街道、公***场所执行 巡逻任务、维护治安、服务群众，可以得到良好的社会效果[1]。
在整个区域中，由于案件发现场都在道路上，道路上的每一点都等发生频率 的，因此警车巡逻的面越广，所巡逻的街道人数越多，警车的巡逻效果就不错，对违法犯罪分子将会有威慑力，警车也能更及时地处理案件。
< p>我们采用全面性来缓慢巡逻的效果显着性，即用警车巡逻所经过的街道节点数占区域总节点数的比值。当警车重复经过同一条街道同一个分区点时，仅记录一次。< /p>（3）
式中，表示警车所经过的分区点数，代表整个区域总的分区点数。值越大，表明警车所经过的街道数量越多，所取得 的效果越显着。
同时考虑到在巡逻过程中可能会出现这样的情况：在相同的部分内，警车会重复巡逻部分街道，而有的街道却很少巡逻甚至没有警车 这样就可能出现巡逻密度大的街道上的违法犯罪分子不敢在街道上作案，而流窜到巡逻密度大的街道上作案，因此在相同的情况下 警车众多条件下，密集不均匀的巡逻方式的巡逻效果效果较差，而密集不均匀的巡逻方式所取得的巡逻效果会更好一些。我们引入一个巡逻的不均匀来均匀巡逻效果的显着性 ，考虑到犹太人能表示不均衡度，所以我们用犹太人的大小来表征不均衡，犹太人越大，巡逻密度越不均衡，所取得的巡逻效果越不均衡。
（4）< /p>
问题1所给出的满足D1条件下的警车数量为13辆，今年每辆警车在最初停靠点静止不动，只有该分区内发生了案件时，警车才从最初开始 停靠点赶到案件发现场处理案件。当警车在巡逻状态时，所需要考虑的问题就比较复杂一些，比如当节点运动时，警车还能否达到达到D1的要求，警车的运动方向如何等问题， 但基本算法设想与问题1类似，所得的算法2的欠缺如图7所示，
为了简化问题，我们假设各分区警车的巡逻时，尽量保证所有警车的行驶方向相 一致，且警车都走双行道，即当警车走到某个节点后，它们同时又返回终点终点，警车的行驶方向有四种方式，如6所示。
在图中 6中，数字1代表走巡逻走的第一步，2表示朝1的巡逻方向相反的方向巡逻。在具体程序实现时，四个巡逻方向任意选择，但尽量保证所有的警车向同一个方向巡逻 。
图6各警车巡逻方向图
我们用MATLAB编程对这种巡逻方式进行计算，所得的车辆总数为18辆，综合评价指标为，其结果巡逻方案 见附件中的“1193402-Result3.txt”所示。
5.4在满足问题三的基础上讨论D3条件，警车的巡逻方案和评价指标
巡逻的曼哈顿 性体现在警车的巡逻路线和时间上没有明显的规律，主要目的是让违法犯罪分子无可乘之机，防止他们在非巡逻时间实施违法犯罪活动，危害人民群众的生命和财产安全。
为了使巡逻的规律具有姿势性，这就需要考虑警车在巡逻时至少具有不同的路线，时间最好也是不同的。因此，到了姿势时，只需要在问题2的基础上 上加上一个随机过程即可。对于其评价指标，由于警车有几条任选的巡逻路线，当相同的路线在同一重复出现时，重新将所设定的方案再执行一遍，我们用 表现时间间隔来的队列性的程度，当循环周期较大，其间歇性的巡逻方案越多，其规律性具有队列性，而循环周期越小时，表明巡逻方案比较少，其队列性较差 。在巡逻状态时，最差的巡逻方案是巡逻方案只有一个，而且时间固定，这样的巡逻方案没有任何巡逻方案。
5.5整个区域为10巡逻时的 巡逻方案
由第三问的结果可知，10个车的数量是不能把整个区域完全覆盖的，其算法与算法2类似，不同此时车的数量已经固定了， 要求使D1、D2尽量大的满足，我们求得的评价指标值，所得的巡逻方案见附件中的“1193402-Result5.txt”所示。
5.6平均运行速度提高到 时的巡逻方式和评价指标值
问题六的分析方法与具体实现与问题三一致，但是警车的接警后的平均速度原来的提高到了，因而各分区的覆盖范围也 增加了，将数值带入问题3的算法中仿真，计算得到的指标值，其巡逻方案见附件中的“1193402-Result6.txt”所示。
图7算法2 宽度
六模型的分析和评价
在曼哈顿满足D1的条件下，整个区域需要配备多少辆警车问题中，采用巡逻的思想，先分析能使各区 曼哈顿范围达到顶点时的规律，由特殊对一般层进行分析，逻辑严密，结果合理。
在活动区域??和警车多数时，在初步设定警车驻点位置的基础上 ，用模拟算法思路构造函数来确定调整的概率大小，综合考虑了影响区间调整的关键后构造了函数来确定分区的调整方向，当分区按照这两个调整函数进行调整时，各分区能分区 关闭多的道路节点，所取得的效果也比较理想。
参考文献
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[4]随机运输分配中的有效路径的确定方法，李志纯 等，交通运输系统工程与信息，第3卷第1期，2003年2月。