數學（理工農醫類）
壹、 選擇題：本大題***8小題，每小題5分，***40分，在每小題給出的四個選項中，只有壹項是符合題目要求的。
1． 若 a＜0， ＞1，則 (D)
A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0
2．對於非0向時a,b,“a//b”的確良 （A）
A．充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C．充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
3．將函數y=sinx的圖象向左平移 0 ＜2 的單位後，得到函數y=sin 的圖象，則 等於 （D）
A． B． C. D.
4．如圖1，當參數 時，連續函數 的圖像分別對應曲線 和 , 則 [ B]
A B
C D
5.從10名大學生畢業生中選3個人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數位 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m [ C]
A 85 B 56 C 49 D 28
6. 已知D是由不等式組 ，所確定的平面區域，則圓 在區域D內
的弧長為 [ B]
A B C D
7．正方體ABCD— 的棱上到異面直線AB，C 的距離相等的點的個數為（C）
A．2 B．3 C. 4 D. 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
8.設函數 在（ ，+ ）內有定義。對於給定的正數K，定義函數
取函數 = 。若對任意的 ，恒有 = ，則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A．K的最大值為2 B. K的最小值為2
C．K的最大值為1 D. K的最小值為1 D
二、填空題：本大題***7小題，每小題5分，***35分，把答案填在答題卡中對應題號後的橫線上
9．某班***30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛兵乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數為_12__
10．在 的展開式中， 的系數為___7__(用數字作答)
11、若x∈(0, )則2tanx+tan( -x)的最小值為2 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
12、已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中，有壹個內角為60 ，則雙曲線C的離心率為
13、壹個總體分為A，B兩層，其個體數之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取壹個容量為10的樣本，已知B層中甲、乙都被抽到的概率為 ，則總體中的個數數位 50 。
14、在半徑為13的球面上有A , B, C 三點，AB=6，BC=8，CA=10，則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（1）球心到平面ABC的距離為 12 ；
（2）過A，B兩點的大圓面為平面ABC所成二面角為（銳角）的正切值為 3
15、將正⊿ABC分割成 （ ≥2，n∈N）個全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個三角形的頂點各放置壹個數，使位於⊿ABC的三遍及平行於某邊的任壹直線上的數（當數的個數不少於3時）都分別壹次成等差數列，若頂點A ,B ,C處的三個數互不相同且和為1,記所有頂點上的數之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2)
三．解答題：本大題***6小題，***75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16.（本小題滿分12分）
在 ，已知 ，求角A，B，C的大小。
解：設
由 得 ，所以
又 因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由 得 ，於是
所以 ， ，因此
，既
由A= 知 ，所以 ， ，從而
或 ，既 或 故
或 。
17.（本小題滿分12分）
為拉動經濟增長，某市決定新建壹批重點工程，分別為基礎設施工程、民生工程和產業建設工程三類，這三類工程所含項目的個數分別占總數的. 、 、 ，現在3名工人獨立地從中任選壹個項目參與建設。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（I）求他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；
（II）記 為3人中選擇的項目屬於基礎設施工程、民生工程和產業建設工程的人數，求 的分布列及數學期望。
解:記第1名工人選擇的項目屬於基礎設施工程、民生工程和產業建設工程分別為事件 , , ，i=1，2，3.由題意知 相互獨立， 相互獨立， 相互獨立， , , （i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互獨立，且P（ ）=，P（ ）= ，P（ ）=
（1） 他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率
P=3！P（ ）=6P（ ）P（ ）P（ ）=6 =
(2) 解法1 設3名工人中選擇的項目屬於民生工程的人數為 ，由己已知， -B（3， ），且 =3 。
所以P（ =0）=P（ =3）= = ，
P（ =1）=P（ =2）= = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
P（ =2）=P（ =1）= =
P（ =3）=P（ =0）= =
故 的分布是
0 1 2 3
P
的數學期望E =0 +1 +2 +3 =2
解法2 第i名工人選擇的項目屬於基礎工程或產業工程分別為事件 ，
i=1,2,3 ，由此已知， ?D， 相互獨立，且
P（ ）-（ ， ）= P（ ）+P（ ）= + =
所以 -- ,既 ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故 的分布列是
1 2 3
18.（本小題滿分12分）
如圖4，在正三棱柱 中，
D是 的中點，點E在 上，且 。
（I） 證明平面 平面
（II） 求直線 和平面 所成角的正弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解 （I） 如圖所示，由正三棱柱 的性質知 平面
又DE 平面A B C ，所以DE AA .
而DE AE。AA AE=A 所以DE 平面AC C A ，又DE 平面ADE，故平面ADE 平面AC C A 。
（2）解法1 如圖所示，設F使AB的中點，連接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- A B C 的性質及D是A B的中點知A B C D， A B DF w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又C D DF=D，所以A B 平面C DF，
而AB∥A B，所以
AB 平面C DF，又AB 平面ABC，故
平面AB C 平面C DF。
過點D做DH垂直C F於點H，則DH 平面AB C 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
連接AH，則 HAD是AD和平面ABC 所成的角。
由已知AB= A A ，不妨設A A = ，則AB=2，DF= ，D C = ，
C F= ，AD= = ，DH= = — ，
所以 sin HAD= = 。
即直線AD和平面AB C 所成角的正弦值為 。
解法2 如圖所示，設O使AC的中點，以O為原點建立空間直角坐標系，不妨設
A A = ，則AB=2，相關各點的坐標分別是
A(0,-1,0)， B（ ，0，0）， C （0，1， ）， D（ ，- ， ）。
易知 =( ，1，0)， =(0，2， )， =( ，- ， ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
設平面ABC 的法向量為n=（x，y，z）,則有
解得x=- y， z=- ，
故可取n=(1，- ， )。
所以， (n? )= = = 。
由此即知，直線AD和平面AB C 所成角的正弦值為 。
19.（本小題滿分13分）
某地建壹座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距 米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經預測，壹個橋墩的工程費用為256萬元，距離為 米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為 萬元。假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為 萬元。
（Ⅰ）試寫出 關於 的函數關系式；
（Ⅱ）當 =640米時，需新建多少個橋墩才能使 最小？
解 （Ⅰ）設需要新建 個橋墩，
所以
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
令 ，得 ，所以 =64
當0< <64時 <0， 在區間（0，64）內為減函數；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
當 時， >0. 在區間（64，640）內為增函數，
所以 在 =64處取得最小值，此時，
故需新建9個橋墩才能使 最小。
20（本小題滿分13分）
在平面直角坐標系xOy中，點P到點F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當P點運動時，d恒等於點P的橫坐標與18之和w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅰ）求點P的軌跡C；
（Ⅱ）設過點F的直線I與軌跡C相交於M，N兩點，求線段MN長度的最大值。
解（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），則 3︳x-2︳
由題設
當x>2時，由①得
化簡得
當 時 由①得
化簡得
故點P的軌跡C是橢圓 在直線x=2的右側部分與拋物線 在直線x=2的左側部分（包括它與直線x=2的交點）所組成的曲線，參見圖1
（Ⅱ）如圖2所示，易知直線x=2與 ， 的交點都是A（2， ），
B（2， ），直線AF，BF的斜率分別為 = ， = .
當點P在 上時，由②知
. ④
當點P在 上時，由③知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
⑤
若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為
（i）當k≤ ，或k≥ ，即k≤-2 時，直線I與軌跡C的兩個交點M（ ， ），N（ ， ）都在C 上，此時由④知
∣MF∣= 6 - ∣NF∣= 6 - w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
從而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( + )
由 得 則 ， 是這個方程的兩根，所以 + = *∣MN∣=12 - （ + ）=12 -
因為當
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
當且僅當 時，等號成立。
（2）當 時，直線L與軌跡C的兩個交點 分別在 上，不妨設點 在 上，點 上，則④⑤知，
設直線AF與橢圓 的另壹交點為E
所以 。而點A，E都在 上，且
有（1）知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
若直線 的斜率不存在，則 = =3，此時
綜上所述，線段MN長度的最大值為
21.（本小題滿分13分）
對於數列 若存在常數M＞0,對任意的 ，恒有
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
則稱數列 為B-數列
（1） 首項為1，公比為 的等比數列是否為B-數列？請說明理由;
請以其中壹組的壹個論斷條件，另壹組中的壹個論斷為結論組成壹個命題
判斷所給命題的真假，並證明妳的結論；
（2） 設 是數列 的前 項和，給出下列兩組論斷；
A組：①數列 是B-數列 ②數列 不是B-數列
B組：③數列 是B-數列 ④數列 不是B-數列
請以其中壹組中的壹個論斷為條件，另壹組中的壹個論斷為結論組成壹個命題。
判斷所給命題的真假，並證明妳的結論；
（3） 若數列 都是 數列，證明：數列 也是 數列。
解（1）設滿足題設的等比數列為 ,則 ，於是
因此｜ - ｜+｜ - ｜+…+｜ - ｜=
因為 所以 即w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故首項為1，公比為 的等比數列是B-數列。
（2）命題1：若數列 是B-數列，則數列 是B-數列
次命題為假命題。
事實上，設 ，易知數列 是B-數列，但
由 的任意性知，數列 是B-數列此命題為。
命題2：若數列 是B-數列，則數列 是B-數列
此命題為真命題
事實上，因為數列 是B-數列，所以存在正數M，對任意的 有
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
即 。於是
所以數列 是B-數列。
（III）若數列 { }是 數列，則存在正數 ，對任意的 有
註意到
同理： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
記 ，則有
因此
+
故數列 是 數列w.w.w.k.s.5.u.c.o.m