微積分的中值定理是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的總稱。微分中值定理完整地出現經歷了壹個過程，是眾多數學家***同研究的成果。從費馬定理到柯西中值定理，是壹個逐步完善、不斷向前發展的過程，而且隨著相關數學理論知識的不斷完善，微分中值定也隨之得以完整起來，證明方法也出現了多樣化。
壹、微分中值定理的歷史演變過程
微分中值定理，是微分學的核心定理，是研究函數的重要工具，是溝通函數與導數之間的橋梁，歷來受到人們的重視。
微分中值定理有著明顯的幾何意義。以拉格朗日中值定理為例，它表明“壹個可微函數的曲線段，必有壹點的切線平行於曲線端點的弦。”從這個意義上來說，人們對微分中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代。
古希臘數學家在幾何研究中，得到如下結論：“過拋物線弓形的頂點的切線必平行於拋物線弓形的底”。這正是拉格朗日中值定理的特殊情況，希臘著名數學家阿基米德正是巧妙地利用這壹結論，求出拋物線弓形的面積。
大利數學家卡瓦列裏在《不可分量幾何學》中，給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3是基於幾何觀點的，它敘述了同樣壹個事實：曲線段上必有壹點的切線平行於曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為“卡瓦列裏定理”。
人們對微分中值定理的研究，從微積分建立之初就開始了。1637年，著名法國數學家費馬在《求最大值和最小值的方法》中給出了費馬定理，在教科書中，人們通常將它作為微分中值定理的第壹個定理。1691年，法國數學家羅爾在《方程的解法》壹文中，給出多項式形式的羅爾定理。
1797年，法國數學家拉格朗日在《解析函數論》壹書中，給出拉格朗日定理，並給出最初的證明，對微分中值定理進行系統研究是法國數學家柯西。
他是數學分析嚴格化運動的推動者，他的三部巨著《分析教程》、《無窮小計算教程概論》和《微分計算教程》，以嚴格化為其主要目標，對微積分理論進行了重構。他首先賦予中值定理以重要作用，使其成為微分學的核心定理。在《無窮小計算教程概論》中，柯西首先嚴格地證明了拉格朗日定理。
又在《微分計算教程》中，又將其推廣為廣義中值定理——柯西定理，從而發現了最後壹塊拼圖，也就是最後壹個微分中值定理。
二、微分中值定理
1、微分中值定理簡介
1.1費馬定理
費馬在研究極大和極小問題的解法時，得到統壹解法“虛擬等式法”，從而得出原始形式的費馬定理。
費馬的“虛擬等式法”可能基於壹種非常直觀的想法，當時微積分還處於初創階段，並沒有明確導數、極限、連續等概念。用現代觀點來看，其論斷是不嚴格的。我們現在看到的費馬定理是後人根據微積分理論和費馬發現的實質重新創造的。
1.2羅爾定理
最初的羅爾定理和現代羅爾定理不僅內容有所不同，而且證明也大相徑庭，它是羅爾利用純代數理論方法加以證明的，與微積分並沒有什麽聯系。我們現在看到的羅爾定理，是後人根據微積分理論重新證明，並把它推廣為壹般函數。“羅爾定理”這壹名稱是由德羅比什在1834年給出，並由意大利數學家貝拉維蒂斯在1846年發表的論文中正式使用的。
1.3拉格朗日定理
拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理。
歷史上拉格朗日定理證明，最初是拉格朗日在《解析函數論》中給出的。這個證明很大程度上建立在直觀基礎上，也是直觀的：“假設變量連續地變化，那麽函數將會產生相應變化，但是如果不經過壹切中間值，它就不會從壹個值過渡到另壹個值。”
19世紀初，在以柯西等為代表的微積分嚴格化運動中，人們給出了極限、連續和導數的嚴格定義，也給出了拉格朗日定理新的證明。
現代形式的拉格朗日定理，是由法國數學家博內。他不是利用f'（x）的連續性，而是利用羅爾定理，對拉格朗日定理加以重新證明。達布則利用這個結論證明了：當f'（x）可積時。從而使微分中值定理成為微積分的重要研究工具。
1.4柯西定理
柯西定理是拉格朗日定理的推廣，柯西的證明與拉格朗日對“拉格朗日中值定理”的證明很相似 。微分中值定理在柯西的微積分理論系統中占有重要地位。
例如：他利用微分中值定理給出洛必達法則嚴格的證明，並研究泰勒定理的余項.從柯西起，微分中值定理就成為微分學的重要組成部分和研究函數的重要工具。
人們對微分中值定理的研究，大約經歷了200多年的時間。它從費馬定理開始，經歷了從特殊到壹般，從直觀到抽象，從強條件到弱條件的發展階段。人們正是在這壹發展過程中，逐漸認識到它們的內在聯系和本質。
當博內通過設輔助函數的方法，利用羅爾定理證明了拉格朗日定理，後人又利用拉格朗日定理證明了羅爾定理，微分中值定理形成濃縮型的普遍化，而這種普遍化如同美國數學家克拉默所說：“在對數學史上任壹時期中人們對數學做出貢獻進行評價的，那些能把過去統壹起來並同時為未來的拓廣開辟了廣闊道路的概念，應當算做是最為深刻的概念”。
2、多元函數的微分中值定理
前面介紹的微分中值定理都是壹元微分學和平面領域上的微分中值定理，而在實際應用上，很多情況下都要突破這壹局限。為充分利用微分中值定理這個重要工具，將其進行推廣，使之能夠在n元微分學和n維空間下得以使用。
3、高階微分中值定理
有些實際問題涉及函數高階導數或高階微分，將微分中值定理推廣到高階微分的情形。
4、復函數的微分中值定理
分析中有壹套重要且應用廣泛的微分中值定理。同樣，復雜分析中也可以得到相應的微分中值定理，並且由它可以導出與實分析中值定理類似的若幹復分析微分中值定理。但是，分析中的微分中值定理壹般情況下在復函數中是不成立的，這就需要對它們進行壹些約束和改進，使之能夠在復函數中適用，這也是微分中值定理的壹種推廣。
文章主要介紹了微積分和微分中值定理歷史演變過程，從中引出微分中值定理的三種形式；從多元函數的微分中值定理和高階微分中值定理兩個方面，研究探討了微分中值定理的推廣；另外，在復函數中，給出了與實分析中相對應的微分中值定理。