聚類分析，亦稱群分析或點分析，是研究多要素事物分類問題的數量方法。其基本原理是，根據樣本自身的屬性，用數學方法按照某些相似性或差異性指標，定量地確定樣本之間的親疏關系，並按親疏關系的程度對樣本進行聚類（徐建華，1994）。
聚類分析方法，應用在地下水中，是在各種指標和質量級別標準約束條件下，通過樣品的各項指標監測值綜合聚類，以判別地下水質量的級別。常見的聚類分析方法有系統聚類法、模糊聚類法和灰色聚類法等。
（壹）系統聚類法
系統聚類法的主要步驟有：數據標準化、相似性統計量計算和聚類。
1.數據標準化
在聚類分析中，聚類要素的選擇是十分重要的，它直接影響分類結果的準確性和可靠性。在地下水質量研究中，被聚類的對象常常是多個要素構成的。不同要素的數據差異可能很大，這會對分類結果產生影響。因此當分類要素的對象確定之後，在進行聚類分析之前，首先對聚類要素進行數據標準化處理。
假設把所考慮的水質分析點（G）作為聚類對象（有m個），用i表示（i=1，2，…，m）；把影響水質的主要因素作為聚類指標（有n個），用j表示（j=1，2，…，n），它們所對應的要素數據可用表4-3給出。在聚類分析中，聚類要素的數據標準化的方法較多，壹般采用標準差法和極差法。
表4-3 聚類對象與要素數據
對於第j個變量進行標準化，就是將xij變換為x′ij。
（1）總和標準化
區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究
這種標準化方法所得的新數據x′ij滿足
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（2）標準差標準化
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式中： ；
由這種標準化方法所得的新數據x′ij，各要素的平均值為0，標準差為1，即有
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（3）極差標準化
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經過這種標準化所得的新數據，各要素的極大值為1，極小值為0，其余的數值均在［0，1］閉區間內。
上述式中：xij為j變量實測值；xj為j變量的樣本平均值；sj為樣本標準差。
2.相似性統計量
系統聚類法要求給出壹個能反映樣品間相似程度的壹個數字指標，需要找到能量度相似關系的統計量，這是系統聚類法的關鍵。
相似性統計量壹般使用距離系數和相似系數進行計算。距離系數是把樣品看成多維空間的點，用點間的距離來表示研究對象的緊密關系，距離越小，表明關系越密切。相似系數值表明樣本和變量間的相似程度。
（1）距離系數
常采用歐幾裏得絕對距離，其中i樣品與j樣品距離dij為
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dij越小，表示i，j樣品越相似。
（2）相似系數
常見的相似系數有夾角余弦和相關系數，計算公式為
1）夾角余弦
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在式（4-20）中：-1≤cosθij≤1。
2）相關系數
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式中：dij為i樣品與j樣品的歐幾裏得距離；cosθij為i樣品與j樣品的相似系數；rij為i樣品與j樣品的相關系數；xik為i樣品第k個因子的實測值或標準化值；xjk為j樣品第k個因子的實測值或標準化值； 為i樣品第k個因子的均值， ； 為j樣品第k個因子的均值， ；n為樣品的數目；k為因子（變量）數。
3.聚類
在選定相似性統計量之後，根據計算結果構成距離或相似性系數矩陣（n×n），然後通過壹定的方法把n個樣品組合成不同等級的分類單位，對類進行並類，即將最相似的樣品歸為壹組，然後，把次相似的樣品歸為分類級別較高的組。聚類主要有直接聚類法、距離聚類法（最短距離聚類法、最遠距離聚類法）。
（1）直接聚類法
直接聚類法，是根據距離或相似系數矩陣的結構壹次並類得到結果，是壹種簡便的聚類方法。它首先把各個分類對象單獨視為壹類，然後根據距離最小或相似系數最大的原則，依次選出壹對分類對象，並成新類。如果壹對分類對象正好屬於已歸的兩類，則把這兩類並為壹類。每壹次歸並，都劃去該對象所在的列與列序相同的行。經過n-1次把全部分類對象歸為壹類，最後根據歸並的先後順序作出聚類分析譜系圖。
（2）距離聚類法
距離聚類法包括最短距離聚類法和最遠距離聚類法。最短距離聚類法具有空間壓縮性，而最遠距離聚類法具有空間擴張性。這兩種聚類方法關於類之間的距離計算可以用壹個統壹的公式表示：
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當γ=-0.5時，式（4-22）計算類之間的距離最短；當γ=0.5時，式（4-22）計算類之間的距離最遠。
最短、最遠距離法，是在原來的n×n距離矩陣的非對角元素中找出dpq=min（dij）或dpq=max（dij），把分類對象Gp和Gq歸並為壹新類Gr，然後按計算公式：
dpq=min（dpk，dqk）（k≠ p，q） （4-23）
dpq=max（dpk，dqk）（k≠ p，q） （4-24）
計算原來各類與新類之間的距離，這樣就得到壹個新的（n-1）階的距離矩陣；再從新的距離矩陣中選出最小或最大的dij，把Gi和Gj歸並成新類；再計算各類與新類的距離，直至各分類對象被歸為壹類為止。最後綜合整個聚類過程，作出最短距離或最遠距離聚類譜系圖（圖4-1）。
圖4-1 地下水質量評價的聚類譜系圖
（二）模糊聚類法
模糊聚類法是普通聚類方法的壹種拓展，它是在聚類方法中引入模糊概念形成的。該方法評價地下水質量的主要步驟，包括數據標準化、標定和聚類3個方面（付雁鵬等，1987）。
1.數據標準化
在進行聚類過程中，由於所研究的各個變量絕對值不壹樣，所以直接使用原始數據進行計算就會突出絕對值大的變量，而降低絕對值小的變量作用，特別是在進行模糊聚類分析中，模糊運算要求必須將數據壓縮在［0，1］之間。因此，模糊聚類計算的首要工作是解決數據標準化問題。數據標準化的方法見系統聚類分析法。
2.標定與聚類
所謂標定就是計算出被分類對象間的相似系數rij，從而確定論域集U上的模糊相似關系Rij。相似系數的求取，與系統聚類分析法相同。
聚類就是在已建立的模糊關系矩陣Rij上，給出不同的置信水平λ（λ∈［0，1］）進行截取，進而得到不同的分類。
聚類方法較多，主要有基於模糊等價關系基礎上的聚類與基於最大樹的聚類。
（1）模糊等價關系方法
所謂模糊等價關系，是指具有自反性（rii=1）、對稱性（rij=rji）與傳遞性（R·R?R）的模糊關系。
基於模糊等價關系的模糊聚類分析方法的基本思想是：由於模糊等價關系R是論域集U與自己的直積U×U上的壹個模糊子集，因此可以對R進行分解，當用λ-水平對R作截集時，截得的U×U的普通子集Rλ就是U上的壹個普通等價關系，也就是得到了關於U中被分類對象元素的壹種。當λ由1下降到0時，所得的分類由細變粗，逐漸歸並，從而形成壹個動態聚類譜系圖（徐建華，1994）。此類分析方法的具體步驟如下。
第壹步：模糊相似關系的建立，即計算各分類對象之間相似性統計量。
第二步：將模糊相似關系R改造為模糊等價關系R′。模糊等價關系要求滿足自反性、對稱性與傳遞性。壹般而言，模糊相似關系滿足自反性和對稱性，但不滿足傳遞性。因此，需要采用傳遞閉合的性質將模糊相似關系改造為模糊等價關系。改造的方法是將相似關系R自乘，即
R2=R·R
R4=R2·R2
這樣計算下去，直到：R2k=Rk·Rk=Rk，則R′=Rk便是壹個模糊等價關系。
第三步：在不同的截集水平下進行聚類。
（2）最大樹聚類方法
基於最大樹的模糊聚類分析方法的基本思路是：最大樹是壹個不包含回路的連通圖（圖4-2）；選取λ水平對樹枝進行截取，砍去權重低於λ 的枝，形成幾個孤立的子樹，每壹棵子樹就是壹個類的集合。此類分析方法的具體步驟如下。
圖4-2 最大聚類支撐樹圖
第壹步：計算分類對象之間的模糊相似性統計量rij，構建最大樹。
以所有被分類的對象為頂點，當兩點間rij不等於0時，兩點間可以用樹幹連接，這種連接是按rij從大到小的順序依次進行的，從而構成最大樹。
第二步：由最大樹進行聚類分析。
選擇某壹λ值作截集，將樹中小於λ值的樹幹砍斷，使相連的結點構成壹類，即子樹，當λ由1到0時，所得到的分類由細變粗，各結點所代表的分類對象逐漸歸並，從而形成壹個動態聚類譜系圖。
在聚類方法中，模糊聚類法比普通聚類法有較大的突破，簡化了運算過程，使聚類法更易於掌握。
（三）灰色聚類法
灰色聚類是根據不同聚類指標所擁有的白化數，按幾個灰類將聚類對象進行歸納，以判斷該聚類對象屬於哪壹類。
灰色聚類應用於地下水水質評價中，是把所考慮的水質分析點作為聚類對象，用i表示（i=1，2，…，n）；把影響水質的主要因素作為聚類指標，用j表示（j=1，2，…，m），把水質級別作為聚類灰數（灰類），用k表示（k=1，2，3）即壹級、二級、三級3個灰類（羅定貴等，1995）。
灰色聚類的主要步驟：確定聚類白化數、確定各灰色白化函數fjk、求標定聚類權重ηjk、求聚類系數和按最大原則確定聚類對象分類。
1.確定聚類白化數
當各灰類白化數在數量上相差懸殊時，為保證各指標間的可比性與等效性，必須進行白化數的無量綱化處理。即給出第i個聚類對象中第j個聚類指標所擁有的白化數，i=1，2，…，n；j=1，2，…，m。
2.確定各灰色白化函數
建立滿足各指標、級別區間為最大白化函數值（等於1），偏離此區間愈遠，白化函數愈小（趨於0）的功效函數fij（x）。根據監測值Cki，可在圖上（圖4-3）解析出相應的白化函數值fjk（Cik），j=1，2，…，m；k=1，2，3。
3.求標定聚類權重
根據式（4-25），計算得出聚類權重ηjk的矩陣（n×m）。
區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究
式中：ηjk為第j個指標對第k個灰類的權重；λjk為白化函數的閾值（根據標準濃度而定）。
圖4-3 白化函數圖
註：圖4-3白化函數f（x）∈［0，1］，具有下述特點：①平頂部分，表示該量的最佳程度。這部分的值為最佳值，即系數（權）為1，f（x）=max=1（峰值），x∈［x2，x3］。②白化函數是單調變化的，左邊部分f（x）=L（x），單調增，x∈（x1，x2］，稱為白化的左支函數；右邊部分f（x）=R（x），單調減，x∈［x3，x4），稱為白化的右支函數。③白化函數左右支函數對稱。④白化函數，為了簡便，壹般是直線。⑤白化函數的起點和終點，壹般來說是人為憑經驗確定。
4.求聚類系數
σik=∑fjk（dij）ηjk （4-26）
式中：σik為第i個聚類對象屬於第k個灰類的系數，i=1，2，…，n；k=1，2，3。
5.按最大原則確定聚類對象分類
由σik構造聚類向量矩陣，行向量最大者，確定k樣品屬於j級對應的級別。
用灰色聚類方法進行地下水水質評價，能最大限度地避免因人為因素而造成的“失真、失效”現象。
聚類方法計算相對復雜，但是計算結果與地下水質量標準級別對應性明顯，能夠較全面反映地下水質量狀況，也是較高層次定量研究地下水質量的重要方法。