因2的x次方加49 ，被4除的余數必為1，顯然，Y是個奇數，且必是個大於7的奇數。
不妨令Y = 2M + 7 M為正整數
則根據題意有：
(2M + 7)^2 = 2^X + 49
即：
4M^2 + 28M + 49 = 2^X + 49
即：
4M^2 + 28M = 2^X
即：
M^2 + 7M = 2^(X - 2)
即：
M(M + 7) = 2^(X - 2)
顯然等號右邊只含有因數1、2，則等號左邊M、M + 7亦必僅含因數1、2。
而當M含有大於等於1個因數2時，M + 7是奇數、必含有除1、2外的其他因數。
推得M只能 = 1，M + 7 = 8
此時：
X = 3 + 2 = 5
Y = 2*1 + 7 = 9
此題正整數範圍內僅有此壹解。
平方數被4除的余數僅有1或0的證法，可設N = 2T及N = 2T + 1證明N?的整除性。