勾股定理的三個證明方法為面積相等法、相似三角形法和四邊形法。
1、面積相等法：
以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形。則每個直角三角形的面積等於1/2ab。設AEa,BE=b,CE=c，作DE⊥BC於E。
則△ADE和△BCE是兩個相似的三角形，它們的面積之比為AE/EC=a/c,BC/EB=b/c。因此，兩個相似三角形的面積之比為ab/(ab+bc)=(a2+b2)/c^2。所以，a^2+b^2=c^2。
2、相似三角形法：
作直角三角形ABC，以斜邊c為底邊，分別以直角邊a、b為高，作兩個相似的三角形△ADB和△CEB。則有AB/BD=BC/CE，即AB*CE=BC*BD。
由於BD=a,CE=b，所以AB*b=BC*a。同理，AC*BD=AB*CE，可得AC*a=AB*b。將上述兩式相加得：AB*(a+b)=BC*(a+b)。因此，a^2+b^2=c^2。
3、四邊形法：
作四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c。將這四個三角形拼成壹個邊長為c的正方形，該正方形的面積為c^2。
同時，這四個三角形也可以拼成壹個邊長為a+b的矩形，該矩形的面積為(a+b)*c/2。由於這兩個圖形的面積相等，所以有c^2=(a+b)*c/2。解得a^2+b^2=c^2。
以上這些證明方法只是勾股定理眾多證明方法中的壹部分，實際上，千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要，甚至有國家總統。據說，現時世上壹***有超過300個對勾股定理的證明。