雞兔同籠 問題是我國民間廣為流傳的數學趣題,最早出現在《孫子算經》中。下面我給妳分享數學廣角雞兔同籠論文，歡迎閱讀。
數學廣角雞兔同籠論文篇壹教學目標：1.使學生了解?雞兔同籠?問題，掌握用嘗試法、假設法替換法解決問題，初步形成解決此類問題壹般性策略。
2.通過自主探索、合作交流，讓學生經歷用不同的方法解決?雞兔同籠?問題的過程，在解決問題的過程中，培養學生的思維能力。
3.使學生感受古代數學問題的趣味性，體會到?雞兔同籠?問題在生活中的廣泛應用，提高學習數學的興趣。
教學重點：用假設法解決?雞兔同籠?問題。
教學具準備：電腦課件
壹、問題引入，分配任務。(每人發壹個信封，裏面裝有題卡和學具)
?有五元和二元兩種面額的人民幣壹***10張，總計32元。兩種人民幣各有幾張?
二、合作探究，展現拔高。(抽壹生上臺壹壹替換，老師記錄)
1.啟發演示：/讓學生先假設這10張全是二元的。於是動手拿出10張二元的(壹***二十元，顯然不合要求)//然後再壹壹替換，抽出1張二元的，換上1張五元的，就多了3元，變成了20+3=23元，///再抽出1張二元的，換上1張五元的，就又多了3元，變成了23+3=26////再抽出1張二元的，換上1張五元的，就又多了3元，變成了26+3=29/////再抽出1張二元的，換上1張五元的，就又多了3元，變成了29+3=32。
2.方法探究：32-20=12元，少12元正好換了4次，說明五元的有4張。5元換2元壹張多了3元，12/3=4。換4張才能把少的12元換回。
同樣方法演示全是5元的，再拿二元去替換也可以。
3.抽象算法(形成策略)：
(32-2?10)/(5-2)=4張五元或(5?10-32)/(5-2)=6張二元。
三、類化鞏固(自主練習)。
①出示問題2。?有五元和二元兩種面額的人民幣壹***100張，總計365元，兩種人民幣各有幾張?
先由學生小組討論，在抽生上臺展示算法：
假設100張全是五元的，則壹***有5?100=500元，多出了500-365=135元，拿多少個2元去換呢?壹張2元換5元就少5-2=3元，135/3=45張2元。則5元有100-45=55張。
同樣，假設100張全是二元的，則壹***有2?100=200元，少了365-200=165元，拿多少個5元去換呢?壹張5元換2元就多5-2=3元，165/3=55張5元。則2元有100-55=45張。
②自己出題，交換答案.
展示學生甲出的題：42人去劃船，壹***租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租有的大船和小船各有幾只?
展示學生乙的分析過程：(提示：假設10條都租小船。10*3=30人，42-30=12人沒坐上，則用大船替換，壹只大船換壹只小船就多5-3=2人，12/2=6只大船剛好換完。小船為：10-6=4只)或(5?10-42=8，8/(5-3)=4只小船)
四、歸納提高：
解決問題的策略：①制定解題計劃，假設與替換(同時滿足兩個條件，假設滿足了第壹個條件入手) ②猜想與嘗試.(在想的基礎上去試壹試)③反推.(驗證假設是否正確).
五、知識拓展。
其實我們剛才研究的這類題，早在古代，就有很多的數學家也做了研究，妳瞧。幻燈出示。
?雞兔同籠問題?是我國古算術《孫子算經》中著名的數學問題，其內容是：?今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雞兔各幾何?
六、 解決生活問題(達標測試)：
1.必作題： ①我班派12名同學植樹，男同學每人栽了3棵數，女同學每人載了兩棵數，壹***栽了32棵樹，問男女同學各幾人?(學生獨立完成，教師巡視指導)指名板演。
②小明買了6角和8角的郵票***花5元，分別買了多少張?
2.選作題：
①有5元和2元的人民幣100張，總計290元，各有幾張2元，5元的?
②2個大盒，5個小盒裝球100個，每個大盒比小盒多裝8個，問大盒和小盒各裝幾個?
反思
《基礎教育課程改革綱要(試行)》明確要求：教師在教學過程中應與學生積極互動，***同發展，要處理好傳授知識與培養能力的關系，關註個體差異，滿足不同學生的學習需要。
首先，我由問題引入，采用的是獨學的方式讓學生獨立思考，在啟發演示中抽壹生上臺壹壹替換，其余學生拿出信封裏的演示幣來換，再讓學生小組討論：在這個過程中什麽沒變，什麽變了?(張數沒變，錢多少變了).這壹過程體現了小組學習合作探究的學習方式。實踐證明：學生學得輕松，學得明白，也體現了高效課堂的途徑--核心：自主、合作、探究。
在探究過程中我讓學生當小老師，自己出題，交換答案，這樣提高了學生的學習興趣，讓學生主動發展，滿足不同需要。
在布置作業環節，我采取必作和選作，旨在使每個學生都能得到提高，體現了因材施教的教學原則.同時題的設計緊密結合實際，讓學生學會在生活中解決問題，能解決生活中的數學問題，讓數學不再孤立，不再陌生。
本堂課我力求做到了三動：身動、心動、神動.
隨著教學形式的發展，打造高效課堂，教給學生正確的學習方法已勢在必行。?授人以魚不如授人以漁?，我認為應從以下幾個方面來培養學生，打造高效課堂： 1.培養好的學習習慣。2.掌握高效學習方法：①預習。采用有效的預習方法。邊預習邊作好筆記，動筆練壹練，做壹做。重要的數學概念公式，不懂的作上記號，以便記憶和探討。在老師講解的時候認真聽。②有效的復習。孔子曰：?學而時習之，不亦樂乎?及時復習。分步記憶法：學習後的半天，壹天，三天，七天，半月後，分步進行。階段系統復習――從時間上有周復習，期中復習，期習等。可以先回憶再看書，先看題後做題，先復習後筆記。③學習中要舉壹反三。不要滿足於也有答案，數學題，可用分步，就能用綜合，用了方程，看算術是否更簡單。④學會梳理知識點。
數學廣角雞兔同籠論文篇二在?雞兔同籠?問題的教學中，教師通常會將我國古代《孫子算經》的簡單介紹附加到教學過程中，意圖在於體現數學的歷史發展，向學生滲透數學歷史中的文化因素。這種想法固然好，但這種?附加?式的介紹對於實現這樣的目的很難有實質性的作用。為了變?附加?為?融入?，讓數學史中的知識與文化更好地發揮育人功能，教師就需要對數學史的相關內容做較為廣泛、深入的了解。
?雞兔同籠?問題在我國古代可以說源遠流長，從問題的敘述到問題的算法都經歷了不同形式的變化，了解這些內容對於課程內容的編制和教學設計會有所裨益。
壹、 《孫子算經》中的?雉兔同籠?
?雞兔同籠?問題始見於公元3～4世紀的《孫子算經》，該書作者不詳。從清代的《子部集成?科學技術?數理化學?孫子算經?孫子算經(宋刻本)?卷下》中看，?雞兔同籠?問題的敘述為：?今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何。?[1](見圖1)
其中的?雉?是?野雞?的意思，?幾何?是?多少?的意思。用現在的語言可以把這個問題敘述為：?雞和兔在同壹個籠子中，總頭數為35，總足數為94。問雞和兔各有多少只?《孫子算經》中對這個問題的解法分為如下的四個步驟：
第壹步：上置三十五頭，下置九十四足
我國古代是用算籌進行計算的，所謂?算籌?就是用於計算的小棒，是古人用於計算的壹種工具。這裏所說的?上置三十五頭，下置九十四足?，就是把題目中的頭數?35?和足數?94?用小棒分別擺在上面的位置(上位)和下面的位置(下位)。(見圖2)
古人用算籌表示數時，擺放方式分縱式和橫式兩種。通常用縱向小棒擺放個位數字，橫向小棒擺放十位數字，以後依次縱橫交替擺放。比如?35?就擺放成如圖3形式。
如果橫向擺放的數大於5，就用縱向小棒代表5，比如圖2中的?就表示5+4=9。
第二步：半其足得四十七
意思是求出下位總足數94的壹半等於47。圖2就變成了圖4的形式。
圖4中?上面的橫向小棒表示?5?，下面兩條縱向小棒表示?2?，因此?表示5+2=7。
第三步：上三除下三，上五除下五
這裏的?除?是?除去?或?減少?的意思，?上三除下三?就是?從下位四十七中除去與上位相同的三十?，?上五除下五?就是?從下位四十七中除去與上位相同的五?。(見圖5)
用現在的語言說，就是從47中減去35為12，得到兔子的只數。這壹過程在《孫子算經》的?術?中叫做?以少減多再命之?(見圖1)，意思是以少減多之後，下位?總足數?的含義發生了改變，需要重新命名，也就是把?總足數?重新命名為?兔頭數?。(見圖5)
第四步：下有壹除上壹，下有二除上二即得
與前面類似，這句話的意思是用總只數35減去兔只數12就得到雞的只數了。上位的?總頭數?需要重新命名為?雞頭數?。(見圖6)
以上算法的合理性並不難理解。總足數94取半成為47，此時相當於所有雞都成為了金雞獨立的?獨足雞?，所有兔都站立起來成為了?雙足兔?。此時每只雞的頭數和足數都是1，每只兔的頭數是1，足數是2，所以用47減去總頭數35就得到兔的只數是12。最後用總頭數35減去12就得到雞的只數。《孫子算經》中把這壹算法概括為：?上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭即得。?不妨稱此方法為?半足法?，右上的表格可以更加清晰地呈現這壹過程。
二、 《算法統宗》中的?雞兔同籠?
?雞兔同籠?問題後來又收錄於明代程大位(1533年～1606年)所著《算法統宗》第八卷的?少廣章?。[2](見圖7)
其中對問題的敘述把?雉?改為了?雞?，因此?雞兔同籠?的說法沿用至今。《算法統宗》中對問題給出了兩種算法，這兩種算法與《孫子算經》中的算法是不壹樣的，相當於現在所說的?假設法?。第壹種算法的過程為：
第壹步：?置總頭倍之得七十?，意思是將總頭數35加倍，也就是乘2，得到70。
第二步：?與總足內減七十余二四?，也就是從總足數94中減去70得到24。
第三步：?折半得壹十二是兔?，將24折半(也就是24除以2)，得到12，這就是兔的只數。
第四步：?以四足乘之得四十八足?，用每只兔的足數4乘12，得到兔的總足數48。
第五步：?總足減之余四十六足為雞足?，用總足數94減去兔的總足數48得到46，就是雞的總足數。
第六步：?折半得二十三?，將雞的總足數46折半(46除以2)，就得到雞的只數為23。
另外壹個算法是先求雞的只數，與前面先求兔只數的程序基本相同，這壹算法可以用下面表格的形式呈現出來。
《算法統宗》中關於?雞兔同籠?問題的兩個算法，在書中概括為兩句話：?倍頭減足折半是兔?和?四頭減足折半是雞?(見圖7)。第壹句話的意思是把求兔只數的過程分為了倍頭、減足和折半三個步驟，?倍頭?就是把總頭數35加倍變成70;?減足?是用總頭數94減去70得到24;?減半?就是取24的壹半得到兔子的只數為12。這個過程寫成如今的算式就是：
(94-35?2)?2=12(只)
第二句話的意思是把求雞只數的過程分為了四頭、減足和折半三個步驟，?四頭?就是用4乘總頭數35得到140;?減足?是用140減去總足數94得到46;與求兔只數的過程類似，?折半?就是取46的壹半得到雞的只數23。寫成算式就是：
(35?4-94)?2=23(只)
這樣的過程顯然與《孫子算經》中的?半足法?不同，半足法首先將總足數減半。這裏的第壹步是用每只雞或兔的足數(2或4)去乘總頭數，因此不妨把這個方法叫做?倍頭法?。不難發現，?倍頭法?背後的道理其實就是現在所說的?假設法?。
《算法統宗》中的雞兔同籠問題出現於該書第八卷中，實際上在之前的第五卷中就已經出現了與?雞兔同籠?問題數量關系類似的?米麥問題?：?今有米麥五百石，***價銀四百零五兩七錢，只雲米每石價八錢六分，麥每石價七錢二分五厘。問米麥各若幹。?
數學廣角雞兔同籠論文篇三摘 要中國傳統數學名題是在時間長河裏洗練出來的具有經典意義的數學問題,它具有自己的數學思想和背景文化。文章主要研究了中國傳統數學名題―雞兔同籠問題及其中滲透的數學思想,使大家在情感態度、思維能力與價值觀等方面得以提升,增強數學文化素養。
關鍵詞雞兔同籠;解題思路;求解方法;數學思想
雞兔同籠，這個問題，是我國古代著名趣題之壹。大約在1500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：?今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何?這四句話的意思是：有若幹只雞兔同在壹個籠子裏，從上面數，有35個頭;從下面數，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔?
解題思路：先假設它們全是雞，於是根據雞兔的總數就可以算出在假設下***有幾只腳，把這樣得到的腳數與題中給出的腳數相比較，看看差多少，每差2只腳就說明有1只兔，將所差的腳數除以2，就可以算出***有多少只兔。概括起來，解雞兔同籠題的基本關系式是：兔數=(實際腳數-每只雞腳數?雞兔總數)?(每只兔子腳數-每只雞腳數)。類似地，也可以假設全是兔子。
解：假設全是雞：2?35=70(只) 比總腳數少的：94-70=24 (只) 它們腿的差：4-2=2(條) 24?2=12 (只) ――兔35-12=23(只)――雞
方程：
解：設兔有x只，則雞有35-x只。 4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=24 x=12 35-x=35-12=23
答：兔有12只，雞有23只。
我們也可以采用列方程的辦法：設兔子的數量為X，雞的數量為Y 那麽：X+Y=35那麽4X+2Y=94 這個算方程解出後得：兔子有12只，雞有23只用假設法來解
對於這個問題，我們給出如下幾種求解方法，並給出相應的公式;
解法1：(兔的腳數?總只數-總腳數)?(兔的腳數-雞的腳數)=雞的只數 總只數-雞的只數=兔的只數
解法2：( 總腳數-雞的腳數?總只數)?(兔的腳數-雞的腳數)=兔的只數 總只數-兔的只數=雞的只數
解法3：總腳數?2-總頭數=兔的只數 總只數-兔的只數=雞的只數
解法4：兔的只數=總腳數?2―總頭數 總只數-兔的只數=雞的只數
解法5(方程)：X=( 總腳數-雞的腳數?總只數)?(兔的腳數-雞的腳數)(X=兔的只數) 總只數-兔的只數=雞的只數
解法6(方程)：X=：(兔的腳數?總只數-總腳數)?(兔的腳數-雞的腳數)(X=雞的只數) 總只數-雞的只數=兔的只數
解法7 雞的只數=(4?雞兔總只數-雞兔總腳數)?2 兔的只數=雞兔總只數-雞的只數
解法8 兔總只數=(雞兔總腳數-2?雞兔總只數)?2 雞的只數=雞兔總只數-兔總只數
解法9 總腿數/2-總頭數=兔只數 總只數-兔只數=雞的只數
?雞兔同籠?中的數學思想方法
壹、化歸思想
化歸是基本而典型的數學思想。化歸是指將有待解決的問題，通過轉化歸結為壹類已經解決或較易解決的問題中去，以求得解決。我們常常用到的如化未知為已知、化難為易、化繁為簡、化曲為直等都是這壹思想方法的運用。?雞兔同籠?原題中的數據比較大，不利於首次接觸該類問題的學生進行探究，根據化繁為簡的思想，先安排數據較小的問題，如?籠子裏有若幹只雞和兔。從上面數，有7個頭，從下面數，有18只腳。雞和兔各有幾只?(以下均以此題為例)待學生探索出解決此類問題的壹般方法後，再應用於解決《孫子算經》中數據較大的原題，學生將易如反掌。?雞兔同籠?問題在生活中有很多變式，比如?龜鶴問題?、?坐船問題?等，這些問題可以通過化歸，歸結為?雞兔同籠?問題，再進壹步求解，使學生感受?雞兔同籠?問題的變式及其在生活中的廣泛應用，體會?化歸法?在解題中的魅力。
二、假設思想
假設是壹種重要的數學思想方法。假設法是先假定壹種情況或結果，然後通過推導、驗證來解決問題的方法。合理運用假設法，往往可以使問題化難為易，使解題另辟蹊徑，有利於培養學生靈活的解題技能，發展學生的邏輯推理能力。
用假設法解答上題有多種思路，可以先假設全部都是雞或全部都是兔，再計算實際與假設情況下總腳數之差，最後推理出雞和兔的只數。比如假設7只都是雞，那麽兔有(18-7?2)?(4-2)=2(只)，雞有7-2=5(只)。運用假設法解題是教學的難點，教師可以先讓學生用上述的?畫圖法?，學生會在直觀操作活動中通過數形結合而建立思維的表象，再進壹步抽象，這樣有助於學生真正理解?假設法?，形成有序地、嚴密地思考問題的意識。教師也可以向學生介紹古人解決?雞兔同籠?問題的?擡腳法?，其中也應用了?假設法?。
三、方程思想
方程是刻畫現實世界的有效模型，通過把生活語言?翻譯?成代數語言，根據問題中的已知數和未知數之間的等量關系，在已知數與未知數之間建立壹個等式，這就是方程思想的由來。在?雞兔同籠?的問題中，可以設雞或兔中任意壹種有X只，然後根據雞、兔的只數與腳的總只數的關系列方程來解答。例如設兔有X只，則雞有(7-X)只，可列方程：4X+2(7-X)=18，解得X=2，於是雞有：7-2=5(只)。方程解法思路比較簡單，且具有壹般性，教學中要突出方程解法的優越性，不斷滲透方程思想。
四、建模思想
弗賴登塔爾認為：學生與其學數學，不如學習數學化。在小學階段，就是把數學研究對象的某些特征進行抽象，用數學語言、圖形或模式表達出來，建立數學模型。在解決了?雞兔同籠?問題後，可以引導學生觀察、思考，概括提煉出解題模型：兔數=(實際的腳數-雞兔總數?2)?(4-2)，雞數=(雞兔總數?4-實際的腳數)?(4-2)。之後在應用中引導學生鞏固、擴展這個模型，把?雞?與?兔?換成烏龜和仙鶴等，變式為?龜鶴問題?、?坐船問題?、?植樹問題?、?答題問題?等問題，溝通這些問題與?雞兔同籠?問題的聯系，使?雞兔同籠?成為這些問題的模型，並應用模型解決問題，不斷促進模型的內化。教學中教師要重視學生建模思想的培養，使數學建模成為學生思考問題與解決問題的壹種思想和方法。
以上是?雞兔同籠?問題的各種解法中蘊含的主要的數學思想方法，從上述討論中看出壹種解法中可以蘊含不同的數學思想，而不同解法中可以蘊含同壹種數學思想。
參考文獻：