一.基本概念与性质
形如y=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0,b,c,d为方程)的函数称为三次函数。
三次函数的图像是一条曲线----回归式抛物线（不同于普通抛物线），具有比较特殊性。
函数y=f(x)=ax^ 3+px,其中p=(3ac-b^2)/(3a)的函数图像向上平移(2b^3+27da^2-9abc)/(27a^2)个单位，在向左平移b/( 3a)个单位可得函数y=ax^3+bx^2+cx+d。
这里以f(x)=ax^3+px为例，其他复杂的三次函数皆可 平移成这种形式，且一般出现在应用方面，可忽略不计。
函数f(x)=ax^3+px的顶点最多有2个，这里只探讨偏右的一个。
*当ap≤0时，顶点坐标为[(-3ac)^(0.5)/(3a),2b(-3ac)^(0.5)/(9a)]
< p>*当ap≥0时，顶点与伪顶点重合，为(0，0)二.零点求法
求零点函数可用盛金公式：盛金 公式或传统解法
盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍
三次方程广泛应用。用根号解一元三次方程， 虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏洞察性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元 三次方程的式一般新求根公式，并建立了新判别法。
1.盛金公式
一元三次方程aX3＋bX2＋cX＋d=0，（a，b，c， d∈R，且a≠0）。
重根判别式：
A=b2－3ac；
B=bc－9ad；
C=c2－3bd，
总判别式：Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：
X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式②：< /p>
X1=(－b－(Y11/3＋Y21/3))/(3a)；
X2，3=(－2b＋Y11/3＋Y21/3±31/2
(Y11/3－Y21/3)i)/(6a)；
其中Y1，2=Ab＋3a
(－B±(B2－4AC)1 /2)/2，i2=－1。
当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：
X1=－b/a＋K；X2=X3 =－K/2，
其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B2－4AC<0时，盛金公式④：
p>
X1=
(－b－2A1/2cos(θ/3)
)/(3a)；
X2，3=
(－b＋A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)；
其中θ=arccosT，T=< /p>
(2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1 2.盛金判别法 ①：当A=B=0时，方程有一个三重实根； ②：当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对***税务虚 根； ③：当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个重根； ④：当Δ=B2－4AC<0时 这时，求解有三个不太确定的实根。 3.盛金定理 当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当 A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。 当b=0，c=0时，盛金公式 ①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下答案： 盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必然有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。< /p> 盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必然有c≠0（此时，适用盛金公式①解题）。 盛金定理3：当A=B=0时，则必然有C=0（此时，适用盛金公式①解题）。 盛金定理4：当A=0时， 若B≠0，则必然有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。 盛金定理5：当A＜0时，则必然有Δ＞0（此） 时，适用盛金公式②解题）。 盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必然有A=0（此时，适用盛金公式①解） 盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。 。 盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A ＜0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任何实效系数的一元三次方程都可以激发盛金公式绘图动画。
当Δ=0时 (d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率更高；盛金判别的别 重根判别式A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B2－ 4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的判别的式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B2－4AC)1/2 )/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的和谐、简洁、和谐与简洁美。
4.传统解法
另外 ，一元二次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配法只能将型式如ax^3+bx^2+cx+d+ 0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的活动公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程 、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如
x^3+px+q=0 的一元三次方程的求根公式的形式应为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为二开立方之和。导出产生一元三次方程的求根公式 形式上，下一步的工作就是求出里面的内容，清楚用p和q表示A和B。
方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)同时立方可以得到
（2）x^3= (A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1 /3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项 可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和??特殊型x^3+px+q =0作比较，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（ 6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为一元二次方程的求根公式问题 ，因为A和B可以解为一元二次方程的两个根，而(6)关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A=y1 ，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10) 由于型式为ay^2+by+c=0的一元二次方程 求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^） 2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a) ^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/ 2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q /2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3) +B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2 )）^（1/3）+（－（q/2）+（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）
式
(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，然而按韦达定理一元三次方程只要求生长其中一个 根，另外两个根就很容易生长。