這種由很多項相加的形式就是級數。
對於函數就是如下這個形式：
在工程中，我們經常會遇到各種各樣的周期性的波形。這些波形很難找到壹個函數去表達他，或者原函數無法很好的去分析波的特征。
所以我們需要找到壹個函數 去近似原函數 ，而且這個 有很好的特性，方便去做分析。
法國數學家傅裏葉就發現，任何周期函數都可以用正弦函數和余弦函數構成的無窮級數來表示。
看壹個動圖來理解下這句話。
右邊的波形就是由左邊幾個基礎波形(三角函數)合成的。
下面給出傅裏葉級數的數學公式。
原函數 就由無數個 組成的。這個公式理解起來也很簡單， 是個常數項，因為正弦和余弦函數都是在0點位置上下波動，想要讓其脫離0點，就必須加入 這個偏移項，當然妳也可以理解為 。
便是無數個sin和cos的組合，其中 就相當於上面動圖中的 代表著振幅，也就是圓半徑的大小。 就相當於動圖中的 前的系數1，3，5，7代表著頻率，也就是圓轉壹圈用的速度。so，是不是很容易理解。
代表這頻率，那其中的 代表著什麽呢？ 就是函數 的周期， 的作用就是構建壹個周期為 的波形，只是隨著 的增大，波的頻率越來越高。例如 都是周期 的函數，只是 的最小周期不在是 ，所以其頻率就變大了。
這裏強調下，傅裏葉級數是針對周期函數的，對於非周期的函數就是傅裏葉變換了。
很多博主在解讀傅裏葉級數的時候，上來就說時域，頻閾，復頻域，歐拉公式。其實那些都是在不同場景下的不同的表現形式，本質都是壹樣的。先理解了上面的公式，以此為基礎進行展開，會更加容易理解。
還記得我們的目標嗎？找出壹個函數 去近似原函數 ， 樣子已經有了：
我們只需要求出 就可以得到 。
所以這裏有個前提，我們在看下需要求解的波形：
對於原函數 是什麽樣的我們並不知道，但我們知道 在每個x處的取值，畢竟這個波是我們自己采樣得到的。
所以求解 最簡單得方法就是，構建n個 方程等式，求解壹個n元壹次方程，如上面所示。這裏 是常數， 得數量由自己定義。
當然上面是小學生的解法，大家不要當真。
在給大家介紹傅裏葉級數的解之前，我們先看下周期為 的傅裏葉級數，令 帶入：
其對應的解為：
想要求出這幾個解，我們要先了解下三角函數的正交性，而理解三角函數的正交最好就是從周期為 的函數開始。
什麽是正交？在線性代數中，正交就是兩個向量垂直，如下圖(A)。
和 正交，就表現為 ,也就是兩個向量的內積等於0
而在函數上的正交就表現為積分的形式:
其中 就是 的內積，當其為零的時候就說明兩個函數在 區間內正交。
回到傅裏葉級數，下面就是傅裏葉級數中所有的三角函數集合。
{ }
任意兩個三角函數壹定條件下在 和 之間是正交的,詳細如下：
關於其證明網上有很多，這裏就不細說了。
下面看如何利用上面的性質來接
將函數兩邊同時積分
將 移到前面。
其中 可以看成 ,根據前面的正交性，得到這兩項都等於0，於是上面的函數就等於
於是:
下面求解下
將兩邊乘上 ，然後兩邊同時積分
將 移到前面。
同樣根據正交性 等於0. 而 只有 的項不為0，其他的也會為0，所以：
在正交性那塊我給出了 ，所以:
關於 求法是壹樣得，這裏就不細說了。
上面便是傅裏葉級數得求解過程，但是這裏我們定義得頻率是 。
如何把傅裏葉級數擴展到任意周期上，以及傅裏葉變換，在 通俗易懂的傅裏葉級數和傅裏葉變換(二)
中會詳細介紹，希望以上得內容能幫到妳。